10. (★★)如图,已知线段$a,b,c$,用圆规和无刻度的直尺作线段,使它等于$2a+b-c$,并比较$a$与$b+c$的大小.(只需画图,不要求写画法)

解：
如图，在射线上顺次截取两段长度为$a$的线段、一段长度为$b$的线段后，再从总线段的末端向起点方向截取长度为$c$的线段，最终得到的线段即为所求的等于$2a+b-c$的线段。
通过叠合法比较线段长度，可得：$\boldsymbol{a ＜ b + c}$。

【分析】
解题分为两部分：①作等于$2a+b-c$的线段：遵循尺规作线段和差的规律，作线段和时同向顺次截取，作差时反向截取。先在射线上顺次截取2段长度为$a$、1段长度为$b$的线段，得到总长度为$2a+b$的线段，再从该线段末端向起点方向截取长度为$c$的线段，剩余部分即为所求。②比较$a$与$b+c$的大小：采用叠合法，先作出长度为$b+c$的线段，再和$a$对齐一端对比长度，即可得到大小关系。
【解析】
1. 作线段$2a+b-c$：
① 作射线$AP$；
② 在射线$AP$上从端点$A$开始，顺次截取$AB=a$，$BC=a$，$CD=b$，此时$AD=2a+b$；
③ 在线段$AD$上，从$D$向$A$方向截取$DE=c$，则剩余线段$AE=2a+b-c$，$AE$就是所求作的线段。
2. 比较$a$与$b+c$的大小：
先顺次截取长度为$b$、$c$的线段，得到长度为$b+c$的线段，将其与线段$a$一端对齐叠放，可观察到$a$的长度小于$b+c$的长度，因此$a ＜ b+c$。
【答案】
按要求作出对应线段（作图略），$\boldsymbol{a ＜ b + c}$
【知识点】
尺规作线段和差；线段大小比较；线段和差计算
【点评】
本题是线段模块的基础题型，重点考查尺规作图的基本操作能力和线段大小比较的常用方法，熟练掌握“同向截加、反向截减”的作图规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

11. (★★)已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$,直线$AB$上有一点$C$,且$BC=4\ \mathrm{cm}$,点$M$是线段$AC$的中点,求$AM$的长.

解：分两种情况讨论：
(1) 当点C在线段AB上时，
$AC = AB - BC = 10 - 4 = 6\ \mathrm{cm}$，
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时，
$AC = AB + BC = 10 + 4 = 14\ \mathrm{cm}$，
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 14 = 7\ \mathrm{cm}$。
答：AM的长为3 cm或7 cm。

【分析】
题目中点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种可能：一是点C在线段AB上，二是点C在线段AB的延长线上，解题时需分两种情况讨论，避免漏解。先根据线段的和差关系分别计算两种情况下AC的长度，再结合线段中点的性质，即中点将线段分为长度相等的两段，即可求出AM的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
(1) 当点C在线段AB上时，
$AC = AB - BC = 10 - 4 = 6\ \mathrm{cm}$，
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时，
$AC = AB + BC = 10 + 4 = 14\ \mathrm{cm}$，
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 14 = 7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
AM的长为3 cm或7 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略直线上点的位置的多样性，仅考虑点C在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意区分直线和线段的差异，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.7

12. (★)在线段MN上,分别以点M,N为圆心,c为半径画弧,交线段MN于点E,F,如图,则线段MF与NE的大小关系是 【 】


A.$MF＞NE$
B.$MF＜NE$
C.$MF=NE$
D.不能确定

C

【分析】
解题时首先根据画弧的规则，明确以M、N为圆心、c为半径画出的弧对应的线段ME、NF长度都等于半径c，即ME=NF；接下来观察线段MF和NE的组成：MF由ME和EF两段组成，NE由NF和EF两段组成，根据等式的性质，相等的量加上同一个量，结果仍然相等，即可判断二者的大小关系。
【解析】
解：由题意可知，以点M为圆心，c为半径画弧，交MN于E，因此$\boldsymbol{ME = c}$；
以点N为圆心，c为半径画弧，交MN于F，因此$\boldsymbol{NF = c}$；
所以$ME = NF$。
观察线段组成：
$MF = ME + EF$，$NE = NF + EF$，
因为$ME=NF$，同时加上公共线段EF，可得$ME + EF = NF + EF$，即$MF = NE$。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算，同圆半径相等，等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，结合尺规作图的操作考察线段和差的应用，解题关键是从作图条件中提取出相等的线段，再通过拆分待比较线段的组成即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

13. (★)如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，下列等式正确的个数是
【 】

①$CD = AC - DB$；②$CD = AD - BC$；③$CD = \frac{1}{2}AB - BD$；④$CD = \frac{1}{4}AB$.

A.1
B.2
C.3
D.4

D

【分析】
解题时先利用线段中点的性质梳理出各线段的数量关系：首先C是AB中点，可得AC=BC=½AB；D是BC中点，可得CD=DB=½BC，进一步可得CD=¼AB。再将4个等式分别结合线段和差关系逐一验证，统计正确的等式个数即可。
【解析】
解：已知C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
又已知D是线段BC的中点，同理可得：
$CD=BD=\frac{1}{2}BC$，因此$CD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB$，故等式④成立。
接下来逐个验证剩余等式：
① 因为$AC=BC$，且$BC=CD+DB$，所以$AC=CD+DB$，移项可得$CD=AC-DB$，等式①成立；
② 因为$AD=AC+CD$，且$BC=AC$，所以$AD-BC=(AC+CD)-AC=CD$，等式②成立；
③ 因为$\frac{1}{2}AB=BC$，且$BC=CD+BD$，所以$\frac{1}{2}AB-BD=BC-BD=CD$，等式③成立。
综上，①②③④4个等式均正确，正确的个数是4个。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是通过中点性质梳理各线段的数量关系，再结合线段和差变形验证等式，只要理清线段之间的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

14. (★★★)如图,点 C 在线段 AB 上,AC=8 cm,CB=6 cm,点 M,N 分别是 AC,CB 的中点.

(1)求线段 MN 的长.
(2)若 C 为线段 AB 上任意一点,且满足 AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想出 MN 的长度吗? 请你用一句简洁的话描述你发现的结论.
(3)若点 C 在线段 AB 的延长线上,且满足 AC-CB=b cm,M,N 分别为 AC,CB 的中点,你能猜想出 MN 的长度吗? 请画出图形并写出你的结论.

解：
(1) ∵ 点M是AC的中点，点N是CB的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $MN=MC+CN=4+3=7\ \mathrm{cm}$。
(2) 猜想：$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$。
结论：当点C在线段AB上，M、N分别是AC、CB的中点时，线段MN的长度恒等于线段AB长度的一半。
(3) 所画图形：
```
A——————M———B——N——C
```
∵ 点M是AC的中点，点N是CB的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}CB$，
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}(AC-CB)=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$。
结论：线段MN的长为$\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$。

【分析】
本题是线段中点相关的计算与规律探究题，解题思路如下：
(1) 观察图形可知MN由MC和CN两部分组成，已知M、N分别是AC、CB的中点，先根据线段中点的性质求出MC、CN的长度，再求和即可得到MN的长；
(2) 当AC+CB=a时，仍利用中点性质将MN表示为MC+CN，提取公因式$\frac{1}{2}$后代入AC+CB=a，即可得到MN和a的关系，进而总结出普遍规律；
(3) 当C在线段AB延长线上时，先按要求画出图形，此时MN的长度为MC与NC的差，再利用中点性质将MC、NC分别用AC、CB表示，代入AC-CB=b即可求出MN的长度。
【解析】
(1)
∵ 点M是AC的中点，点N是CB的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $MN=MC+CN=4+3=7\ \mathrm{cm}$。
(2) 猜想：$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$。
结论：当点C在线段AB上，M、N分别是AC、CB的中点时，线段MN的长度恒等于线段AB长度的一半。
(3) 所画图形：
```
A——————M———B——N——C
```
∵ 点M是AC的中点，点N是CB的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}CB$，
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}(AC-CB)=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$。
结论：线段MN的长为$\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $7\ \mathrm{cm}$；
(2) $MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$，当点C在线段AB上，M、N分别是AC、CB的中点时，线段MN的长度恒等于线段AB长度的一半；
(3) $MN=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$，图形见解析。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，规律探究
【点评】
本题是线段计算的经典题型，从特殊值到一般情况，再到点位置变化的拓展，既考查了线段中点、线段和差的基础计算能力，又培养了归纳总结、分类讨论的思维，掌握该类题型的推导逻辑可快速解决同类线段中点相关的计算问题。
【难度系数】
0.65