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15. (★★★)如图,已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.
(1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时,点P在数轴上表示的数是.
(2)另一动点R从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,R同时出发,问:点P运动多长时间时追上点R?
(3)若M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若发生变化,请你说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度.
(1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时,点P在数轴上表示的数是.
(2)另一动点R从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,R同时出发,问:点P运动多长时间时追上点R?
(3)若M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若发生变化,请你说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度.
答案
(1) $\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
(1) 当点P到点A、点B的距离相等时，点P是线段AB的中点，利用数轴上中点坐标的计算方法（两点对应数的平均值）即可求出P对应的数；
(2) 属于追及问题，先求出点P和点R初始的距离差，再计算两者的速度差，根据“追及时间=路程差÷速度差”即可求解；
(3) 利用线段中点的性质，将MN的长度转化为AP、PB长度和的一半，最终等于AB长度的一半，因此不受点P运动的影响，长度固定。
【解析】
(1) 已知点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点P是AB中点时PA=PB，因此点P对应的数为$\frac{6+(-4)}{2}=1$。
(2) 初始时，点P在6的位置，点R在-4的位置，两点的距离为$6-(-4)=10$个单位长度。
点P的速度为6单位/秒向左，点R的速度为4单位/秒向左，两者的速度差为$6-4=2$单位/秒。
追及时间为$10÷2=5$秒。
(3) 线段MN的长度不发生变化，求解过程如下：
∵ M是AP的中点，
∴ $MP=\frac{1}{2}AP$，
∵ N是PB的中点，
∴ $NP=\frac{1}{2}PB$，
∴ $MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}(AP+PB)=\frac{1}{2}AB$，
又
∵ $AB=6-(-4)=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
即点P运动过程中，线段MN的长度恒为5，不发生变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{5}$秒；(3) 线段MN长度不变，为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴动点问题；线段中点性质；追及问题计算
【点评】
本题是数轴与线段结合的典型题型，既考查了数轴上两点距离的计算，也涉及中点性质和行程中追及问题的应用，解题时注意结合动点的运动规律，将线段关系转化为数量关系计算即可。
【难度系数】
0.6
(1) 当点P到点A、点B的距离相等时，点P是线段AB的中点，利用数轴上中点坐标的计算方法（两点对应数的平均值）即可求出P对应的数；
(2) 属于追及问题，先求出点P和点R初始的距离差，再计算两者的速度差，根据“追及时间=路程差÷速度差”即可求解；
(3) 利用线段中点的性质，将MN的长度转化为AP、PB长度和的一半，最终等于AB长度的一半，因此不受点P运动的影响，长度固定。
【解析】
(1) 已知点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点P是AB中点时PA=PB，因此点P对应的数为$\frac{6+(-4)}{2}=1$。
(2) 初始时，点P在6的位置，点R在-4的位置，两点的距离为$6-(-4)=10$个单位长度。
点P的速度为6单位/秒向左，点R的速度为4单位/秒向左，两者的速度差为$6-4=2$单位/秒。
追及时间为$10÷2=5$秒。
(3) 线段MN的长度不发生变化，求解过程如下：
∵ M是AP的中点，
∴ $MP=\frac{1}{2}AP$，
∵ N是PB的中点，
∴ $NP=\frac{1}{2}PB$，
∴ $MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}(AP+PB)=\frac{1}{2}AB$，
又
∵ $AB=6-(-4)=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
即点P运动过程中，线段MN的长度恒为5，不发生变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{5}$秒；(3) 线段MN长度不变，为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴动点问题；线段中点性质；追及问题计算
【点评】
本题是数轴与线段结合的典型题型，既考查了数轴上两点距离的计算，也涉及中点性质和行程中追及问题的应用，解题时注意结合动点的运动规律，将线段关系转化为数量关系计算即可。
【难度系数】
0.6
16. (★★★)(1)如图①,已知A,B在直线l的两侧,在l上求作一点P,使PA+PB最小.
(2)如图②,有一个正方体盒子ABCD - A₁B₁C₁D₁,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶点C₁处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行,才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C₁处不动)
(2)如图②,有一个正方体盒子ABCD - A₁B₁C₁D₁,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶点C₁处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行,才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C₁处不动)
答案
解：
(1) 连接点A、B，线段AB与直线l的交点即为所求的点P。
依据：两点之间，线段最短，此时PA+PB=AB，为最小值。
(2) 将正方体包含点A和点C₁的任意一组相邻的两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，连接A、C₁得到的线段就是两点间的最短路径，该线段与两个相邻面的公共棱交于一点，蜘蛛沿着从A出发经过该交点，再到C₁的路径爬行，总路程最短，即可在最短时间内捕捉到苍蝇。
(1) 连接点A、B，线段AB与直线l的交点即为所求的点P。
依据：两点之间，线段最短，此时PA+PB=AB，为最小值。
(2) 将正方体包含点A和点C₁的任意一组相邻的两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，连接A、C₁得到的线段就是两点间的最短路径，该线段与两个相邻面的公共棱交于一点，蜘蛛沿着从A出发经过该交点，再到C₁的路径爬行，总路程最短，即可在最短时间内捕捉到苍蝇。
解析
【分析】
(1) 要在直线$ l $上找一点$ P $使$ PA+PB $最小，可利用“两点之间，线段最短”的性质思考：已知$ A $、$ B $在直线$ l $两侧，若连接$ A $、$ B $，线段$ AB $与$ l $的交点能让$ PA+PB=AB $；若取$ l $上其他点，该点与$ A $、$ B $会构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，此时$ PA+PB $一定大于$ AB $，因此该交点就是所求的点$ P $。
(2) 蜘蛛只能在正方体表面爬行，属于立体表面的最短路径问题，需要将立体问题转化为平面问题：把包含$ A $和$ C_1 $的两个相邻面展开到同一平面内，此时问题就变为平面内两点找最短路径，同样依据“两点之间，线段最短”，连接$ A $、$ C_1 $得到的线段就是最短路径，对应到正方体表面就是蜘蛛的爬行路线。
【解析】
(1) 用直尺连接点$ A $、$ B $，线段$ AB $与直线$ l $的交点即为所求的点$ P $。依据：两点之间，线段最短，此时$ PA+PB=AB $，为最小值。
(2) 将正方体包含点$ A $和点$ C_1 $的任意一组相邻的两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，连接$ A $、$ C_1 $得到的线段就是两点间的最短路径，该线段与两个相邻面的公共棱交于一点，蜘蛛沿着从$ A $出发经过该交点，再到$ C_1 $的路径爬行，总路程最短。
【答案】
(1) 连接点$ A $、$ B $，线段$ AB $与直线$ l $的交点即为所求的点$ P $；
(2) 将正方体包含$ A $和$ C_1 $的一组相邻面展开到同一平面，连接$ A $、$ C_1 $，沿该线段对应的正方体表面路径爬行即可。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题；立体图形展开图
【点评】
本题结合平面、立体两个场景考查最短路径的求解，核心依据是两点之间线段最短的性质，求解立体表面最短路径时需要将立体表面展开转化为平面问题，体现了转化的数学思想，掌握相关性质和转化方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
(1) 要在直线$ l $上找一点$ P $使$ PA+PB $最小，可利用“两点之间，线段最短”的性质思考：已知$ A $、$ B $在直线$ l $两侧，若连接$ A $、$ B $，线段$ AB $与$ l $的交点能让$ PA+PB=AB $；若取$ l $上其他点，该点与$ A $、$ B $会构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，此时$ PA+PB $一定大于$ AB $，因此该交点就是所求的点$ P $。
(2) 蜘蛛只能在正方体表面爬行，属于立体表面的最短路径问题，需要将立体问题转化为平面问题：把包含$ A $和$ C_1 $的两个相邻面展开到同一平面内，此时问题就变为平面内两点找最短路径，同样依据“两点之间，线段最短”，连接$ A $、$ C_1 $得到的线段就是最短路径，对应到正方体表面就是蜘蛛的爬行路线。
【解析】
(1) 用直尺连接点$ A $、$ B $，线段$ AB $与直线$ l $的交点即为所求的点$ P $。依据：两点之间，线段最短，此时$ PA+PB=AB $，为最小值。
(2) 将正方体包含点$ A $和点$ C_1 $的任意一组相邻的两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，连接$ A $、$ C_1 $得到的线段就是两点间的最短路径，该线段与两个相邻面的公共棱交于一点，蜘蛛沿着从$ A $出发经过该交点，再到$ C_1 $的路径爬行，总路程最短。
【答案】
(1) 连接点$ A $、$ B $，线段$ AB $与直线$ l $的交点即为所求的点$ P $；
(2) 将正方体包含$ A $和$ C_1 $的一组相邻面展开到同一平面，连接$ A $、$ C_1 $，沿该线段对应的正方体表面路径爬行即可。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题；立体图形展开图
【点评】
本题结合平面、立体两个场景考查最短路径的求解，核心依据是两点之间线段最短的性质，求解立体表面最短路径时需要将立体表面展开转化为平面问题，体现了转化的数学思想，掌握相关性质和转化方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
