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基础知识·预习
问题1 用因式分解法解一元二次方程的依据是什么？
问题2 分解因式后，为什么要让每个因式分别等于0？
问题3 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
问题1 用因式分解法解一元二次方程的依据是什么？
问题2 分解因式后，为什么要让每个因式分别等于0？
问题3 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案
解：
问题1：用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个数为0，即若$a· b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：分解因式后，一元二次方程可变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，根据“两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，令每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为已学的一元一次方程求解，得到的两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。
问题3：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
① 移项，将方程的右边化为0；
② 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④ 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
问题1：用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个数为0，即若$a· b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：分解因式后，一元二次方程可变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，根据“两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，令每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为已学的一元一次方程求解，得到的两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。
问题3：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
① 移项，将方程的右边化为0；
② 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④ 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
解析
【分析】
这三个问题均围绕因式分解法解一元二次方程的基础原理与操作流程设置，解题思路如下：
1. 思考问题1时，回忆乘积为0的有理数性质，即可得到该解法的底层依据；
2. 思考问题2时，结合一元二次方程“降次转化为一元一次方程求解”的核心思路，就能理解令每个因式为0的本质是利用零乘积性质实现降次，把陌生的二次方程转化为已掌握的一次方程求解；
3. 思考问题3时，按操作的先后逻辑梳理：首先要满足零乘积性质的使用前提（等式右边为0），再对左边做因式分解，之后令每个因式为0得到一次方程，最后解一次方程得到原方程的解，按顺序整理即可得到一般步骤。
【解析】
问题1：依据是零乘积性质：如果两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个数为0，即若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：分解因式后，一元二次方程可变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，根据零乘积性质，令每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为已学的一元一次方程求解，得到的解就是原一元二次方程的解。
问题3：按操作顺序可分为四步：先将方程右边化为0，再把左边分解为两个一次因式的乘积，之后令每个因式分别为0得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【答案】
问题1：用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个数为0，即若$a· b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：分解因式后，一元二次方程可变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，根据“两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，令每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为已学的一元一次方程求解，得到的两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。
问题3：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
① 移项，将方程的右边化为0；
② 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④ 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
【知识点】
零乘积性质，因式分解法解方程，一元二次方程降次
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对因式分解法解一元二次方程的原理理解和操作流程的掌握，是熟练运用该方法解方程的核心基础，需要准确记忆并理解。
【难度系数】
0.9
这三个问题均围绕因式分解法解一元二次方程的基础原理与操作流程设置，解题思路如下：
1. 思考问题1时，回忆乘积为0的有理数性质，即可得到该解法的底层依据；
2. 思考问题2时，结合一元二次方程“降次转化为一元一次方程求解”的核心思路，就能理解令每个因式为0的本质是利用零乘积性质实现降次，把陌生的二次方程转化为已掌握的一次方程求解；
3. 思考问题3时，按操作的先后逻辑梳理：首先要满足零乘积性质的使用前提（等式右边为0），再对左边做因式分解，之后令每个因式为0得到一次方程，最后解一次方程得到原方程的解，按顺序整理即可得到一般步骤。
【解析】
问题1：依据是零乘积性质：如果两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个数为0，即若$a·b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：分解因式后，一元二次方程可变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，根据零乘积性质，令每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为已学的一元一次方程求解，得到的解就是原一元二次方程的解。
问题3：按操作顺序可分为四步：先将方程右边化为0，再把左边分解为两个一次因式的乘积，之后令每个因式分别为0得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【答案】
问题1：用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个数为0，即若$a· b=0$，则$a=0$或$b=0$。
问题2：分解因式后，一元二次方程可变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，根据“两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，令每个因式分别等于0，就可以将一元二次方程降次，转化为已学的一元一次方程求解，得到的两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。
问题3：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
① 移项，将方程的右边化为0；
② 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④ 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
【知识点】
零乘积性质，因式分解法解方程，一元二次方程降次
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对因式分解法解一元二次方程的原理理解和操作流程的掌握，是熟练运用该方法解方程的核心基础，需要准确记忆并理解。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】用因式分解法解下列方程.
(1)$x^2 -7x=-12$.
(2)$(x-3)^2=7x-21$.
(3)$(3x-1)^2=4(2x+3)^2$.
【解】(1)移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2)整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3)整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\frac{5}{7},x_2=-7$.
(1)$x^2 -7x=-12$.
(2)$(x-3)^2=7x-21$.
(3)$(3x-1)^2=4(2x+3)^2$.
【解】(1)移项,得$x^2 -7x +12=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-4)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-4=0$,
即$x_1=3,x_2=4$.
(2)整理,得$(x-3)^2 -7(x-3)=0$.
左边分解因式,得$(x-3)(x-3-7)=0$.
于是$x-3=0$,或$x-3-7=0$,
即$x_1=3,x_2=10$.
(3)整理,得$(3x-1)^2 -[2(2x+3)]^2=0$.
左边分解因式,得$[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$.
整理,得$(7x+5)(-x-7)=0$.
于是$7x+5=0$,或$-x-7=0$,
即$x_1=-\frac{5}{7},x_2=-7$.
答案
解：
(1) 移项，得 $x^2 - 7x + 12 = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-4)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-4=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 整理，得 $(x-3)^2 - 7(x-3) = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-3-7)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-10=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=10$。
(3) 整理，得 $(3x-1)^2 - [2(2x+3)]^2 = 0$。
左边分解因式，得 $[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$。
整理，得 $(7x+5)(-x-7)=0$。
于是 $7x+5=0$，或 $-x-7=0$，
即 $x_1=-\dfrac{5}{7}$，$x_2=-7$。
(1) 移项，得 $x^2 - 7x + 12 = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-4)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-4=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 整理，得 $(x-3)^2 - 7(x-3) = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-3-7)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-10=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=10$。
(3) 整理，得 $(3x-1)^2 - [2(2x+3)]^2 = 0$。
左边分解因式，得 $[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$。
整理，得 $(7x+5)(-x-7)=0$。
于是 $7x+5=0$，或 $-x-7=0$，
即 $x_1=-\dfrac{5}{7}$，$x_2=-7$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为“左边是若干个一次因式乘积、右边为0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
(1) 先将常数项移到方程左边得到标准一元二次方程，再用十字相乘法对左边的二次三项式分解因式；
(2) 先把右边的$7x-21$提取公因式7变形为$7(x-3)$，移项后将$(x-3)$作为公因式整体提取，分解为两个一次因式的乘积；
(3) 把右边的项移到左边，式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 7x + 12 = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-4)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-4=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 整理，得 $(x-3)^2 - 7(x-3) = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-3-7)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-10=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=10$。
(3) 整理，得 $(3x-1)^2 - [2(2x+3)]^2 = 0$。
左边分解因式，得 $[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$。
整理，得 $(7x+5)(-x-7)=0$。
于是 $7x+5=0$，或 $-x-7=0$，
即 $x_1=-\dfrac{5}{7}$，$x_2=-7$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=4$；(2) $x_1=3,x_2=10$；(3) $x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，分别对应十字相乘法、提公因式法、平方差公式三种常见的因式分解场景，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为“左边是若干个一次因式乘积、右边为0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
(1) 先将常数项移到方程左边得到标准一元二次方程，再用十字相乘法对左边的二次三项式分解因式；
(2) 先把右边的$7x-21$提取公因式7变形为$7(x-3)$，移项后将$(x-3)$作为公因式整体提取，分解为两个一次因式的乘积；
(3) 把右边的项移到左边，式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 7x + 12 = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-4)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-4=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 整理，得 $(x-3)^2 - 7(x-3) = 0$。
左边分解因式，得 $(x-3)(x-3-7)=0$。
于是 $x-3=0$，或 $x-10=0$，
即 $x_1=3$，$x_2=10$。
(3) 整理，得 $(3x-1)^2 - [2(2x+3)]^2 = 0$。
左边分解因式，得 $[(3x-1)+2(2x+3)][(3x-1)-2(2x+3)]=0$。
整理，得 $(7x+5)(-x-7)=0$。
于是 $7x+5=0$，或 $-x-7=0$，
即 $x_1=-\dfrac{5}{7}$，$x_2=-7$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=4$；(2) $x_1=3,x_2=10$；(3) $x_1=-\dfrac{5}{7},x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，分别对应十字相乘法、提公因式法、平方差公式三种常见的因式分解场景，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
