1. 下列所画的平面直角坐标系正确的是()。

1. D

【分析】
要判断平面直角坐标系是否正确，首先需要明确平面直角坐标系的构成要求：①有两条互相垂直、原点重合的数轴；②水平的数轴叫做x轴，规定向右为正方向；③竖直的数轴叫做y轴，规定向上为正方向；④两条数轴一般取相同的单位长度，且要标注正方向箭头。解题时对照这些要求逐一排查四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：x轴的箭头向左，不符合x轴“向右为正方向”的规定，错误。
选项B：y轴的箭头向下，不符合y轴“向上为正方向”的规定，错误。
选项C：x轴和y轴都没有标注表示正方向的箭头，不符合数轴的要求，错误。
选项D：两条数轴互相垂直、原点重合，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，且标注了单位长度，符合平面直角坐标系的所有规定，正确。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系的概念；数轴的三要素
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对平面直角坐标系基本定义的理解和识别，只要牢记平面直角坐标系的构成规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 在图 3-2-1 所示的平面直角坐标系中,点 M，N 的坐标分别为()。


A.$M(-1,2),N(2,1)$
B.$M(2,-1),N(2,1)$
C.$M(-1,2),N(1,2)$
D.$M(2,-1),N(1,2)$

2. A

【分析】
要确定平面直角坐标系中点的坐标，首先回忆坐标的确定规则：点的坐标由横坐标和纵坐标组成，书写顺序为（横坐标，纵坐标）。横坐标是过点向x轴作垂线，垂足在x轴上对应的数值，向右为正方向；纵坐标是过点向y轴作垂线，垂足在y轴上对应的数值，向上为正方向。解题时可以先通过点所在象限的符号特征排除错误选项，再验证剩余选项的坐标是否正确，提高解题效率。首先看点M的位置，M在第二象限，第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，由此可直接排除横坐标为正的B、D选项；再验证剩余A、C选项中点N的坐标，即可得到正确答案。
【解析】
1. 明确坐标确定规则：平面直角坐标系中，点的坐标记作（横坐标，纵坐标），过点向x轴作垂线，垂足对应x轴的数为横坐标（右正左负）；过点向y轴作垂线，垂足对应y轴的数为纵坐标（上正下负）。
2. 利用象限符号特征排除错误选项：
点M位于第二象限，第二象限内点的坐标符号为（负，正）。
选项B中$M(2,-1)$、选项D中$M(2,-1)$的横坐标为正、纵坐标为负，不符合第二象限点的符号特征，因此排除B、D。
3. 验证点N的坐标：
过点N向x轴作垂线，垂足对应x轴的数值为2，即横坐标为2；过点N向y轴作垂线，垂足对应y轴的数值为1，即纵坐标为1，因此N的坐标为$(2,1)$。
选项C中N的坐标为$(1,2)$，不符合，排除C。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系点坐标确定；象限内点的符号特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查点坐标的识别方法，既可以通过直接确定两点坐标选出答案，也可以通过象限符号特征用排除法快速解题，掌握坐标定义和各象限点的符号规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 点$M(3,4)$到$x$轴的距离是________个单位长度，到原点的距离是________个单位长度。

3. 4 5

【分析】
解题时先对应两个问题匹配相关知识点：1.求点到x轴的距离，要用到平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值；2.求点到原点的距离，原点坐标为(0,0)，可以用勾股定理推导的点到原点的距离公式计算，代入对应坐标就能得到结果。
【解析】
1. 计算点$M(3,4)$到$x$轴的距离：
平面直角坐标系中，点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，点$M$的纵坐标为4，因此距离为$|4|=4$。
2. 计算点$M(3,4)$到原点的距离：
原点坐标为$(0,0)$，根据勾股定理，点$(x,y)$到原点的距离为横坐标、纵坐标的平方和的算术平方根，即$d=\sqrt{x^2+y^2}$。
代入点$M$的坐标得：$d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
4；5
【知识点】
1.点到坐标轴的距离 2.两点间距离计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，考查点的距离相关基础概念的应用，考点明确，解题逻辑清晰，属于该模块需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9

4. 如图3-2-2，在平面直角坐标系中放置了一个边长为$\sqrt{5}$的正方形，点B在y轴上，且坐标是(0,2)，点C在x轴上，则点D的坐标为。

4. (3,1)

【分析】
要求点D的坐标，可通过构造全等三角形求解。首先正方形的邻边相等且夹角为90°，我们过点D作x轴的垂线，就能得到和△BOC全等的三角形：先利用勾股定理求出OC的长度，再通过同角的余角相等得到对应角相等，结合正方形边相等的性质证明两个直角三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等计算出点D到x轴、y轴的距离，即可得到坐标。
【解析】
过点D作$DE⊥ x$轴于点E。
∵ 四边形是正方形，
∴ $BC=CD$，$∠ BCD=90°$，
∴ $∠ BCO + ∠ DCE = 90°$。
又
∵ $∠ BOC=90°$，
∴ $∠ OBC + ∠ BCO = 90°$，
∴ $∠ OBC=∠ DCE$。
在$△ BOC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ BOC=∠ CED=90° \\∠ OBC=∠ DCE \\BC=CD\end{cases}$
∴ $△ BOC≌△ CED$（AAS）。
已知$B(0,2)$，则$OB=2$，又$BC=\sqrt{5}$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{BC^2 - OB^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{5-4}=1$。
由全等三角形的性质得：$CE=OB=2$，$DE=OC=1$，
∴ $OE=OC+CE=1+2=3$。
∵ 点D在第一象限，横坐标为OE的长度，纵坐标为DE的长度，
∴ 点D的坐标为$(3,1)$。
【答案】
$(3,1)$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的基础题型，解题关键是通过作垂线构造全等三角形，将已知线段长度转化为所求点到坐标轴的距离，熟练掌握全等三角形的构造方法和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.65

5. 小明家位于公园的正西方向100米处，从小明家出发向北走200米就到小华家。若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米长，则公园的坐标是。

5. (100,-200)

【分析】
解题时首先明确坐标系的规则：原点为小华家，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，单位长度1米。我们可以先通过小明家和小华家的位置关系求出小明家的坐标，再通过小明家和公园的位置关系推导公园的坐标：第一步，根据“从小明家出发向北走200米到小华家”，反向可知小明家在小华家正南200米处，对应y轴负方向，东西方向无位移，因此小明家x坐标为0，y坐标为-200；第二步，根据“小明家位于公园正西100米”，反向可知公园在小明家正东100米处，对应x轴正方向，南北方向无位移，因此公园的x坐标在小明家x坐标基础上加100，y坐标和小明家一致，即可得到最终坐标。
【解析】
解：由题意可知，平面直角坐标系的原点为小华家，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，1个单位长度代表1米。
① 先求小明家的坐标：
从小明家向北走200米到达小华家，因此小明家在小华家正南方向200米处，正南为y轴负方向，东西方向无偏移，故小明家的坐标为$(0, -200)$。
② 再求公园的坐标：
已知小明家位于公园正西100米，因此公园在小明家正东方向100米处，正东为x轴正方向，南北方向无偏移，因此公园的x坐标为$0+100=100$，y坐标与小明家相同，为$-200$。
综上，公园的坐标为$(100, -200)$。
【答案】
$(100,-200)$
【知识点】
平面直角坐标系；坐标表示位置；方位与坐标转换
【点评】
本题是平面直角坐标系在实际生活中的基础应用，解题核心是理清不同地点的相对方位，结合坐标系正方向的规定判断坐标的正负，避免混淆东西、南北方向对应的坐标轴及正负性即可正确解题。
【难度系数】
0.7

6. 在如图 3-2-3 的平面直角坐标系中,请完成下列各题:
(1)写出图中 A,B,C,D 各点的坐标;
(2)描出点 $E(1,0),F(-1,3),G(-3,0),H(-1,-3)$;
(3)顺次连接点 A,B,C,D,A,再顺次连接点 E,F,G,H,E,围成的两个封闭图形分别是什么图形？

图 3-2-3

6. 解:(1)A(2,3),B(2,-3),C(-4,-3),D(-4,3)。
(2)如答图3-2-1所示。
(3)四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形。

【分析】
本题是平面直角坐标系的基础应用问题，解题思路如下：
1. 求解各点坐标：回忆平面直角坐标系中点的坐标的定义，横坐标是点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标是点向y轴作垂线对应的y轴数值，依次读取A、B、C、D四个点的坐标即可。
2. 描给定坐标的点：根据坐标的含义，先在x轴上找到横坐标对应的位置作x轴的垂线，再在y轴上找到纵坐标对应的位置作y轴的垂线，两条垂线的交点就是要描的点，依次描出E、F、G、H四个点。
3. 判断封闭图形的形状：先计算两个四边形各边的长度，再观察边的位置关系（垂直、平行）和对角线的特征，结合正方形、菱形的判定条件确定图形类型。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系中点的坐标定义：过点向x轴作垂线，垂足对应x轴的数为横坐标；过点向y轴作垂线，垂足对应y轴的数为纵坐标。
读取得：A点横坐标为2，纵坐标为3；B点横坐标为2，纵坐标为-3；C点横坐标为-4，纵坐标为-3；D点横坐标为-4，纵坐标为3。
(2) 描点操作：对每个给定坐标的点，分别沿横坐标对应x轴位置作竖直线、沿纵坐标对应y轴位置作水平线，两线交点即为所求点，按要求描出E、F、G、H即可。
(3) 判断图形：
① 四边形ABCD：A、B横坐标相同，AB为竖直线段，长度为$\vert 3-(-3)\vert=6$；B、C纵坐标相同，BC为水平线段，长度为$\vert 2-(-4)\vert=6$；同理可得CD=6，DA=6，四条边长度相等；且AB竖直、BC水平，邻边互相垂直，四个角都是直角，因此ABCD是正方形。
② 四边形EFGH：用勾股定理计算边长，$EF=\sqrt{(1+1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{13}$，$FG=\sqrt{(-1+3)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}$，$GH=\sqrt{(-3+1)^2+(0+3)^2}=\sqrt{13}$，$HE=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{13}$，四条边长度相等；对角线EG在x轴上、FH为竖直线段，对角线互相垂直但长度不相等，因此EFGH是菱形。
【答案】
(1)$A(2,3),B(2,-3),C(-4,-3),D(-4,3)$。
(2)如答图3-2-1所示。
(3)四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形。
【知识点】
点的坐标确定；坐标系内描点；特殊四边形判定
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，综合考查坐标的读写、描点操作以及结合坐标判断图形形状的能力，侧重对基础知识的考察，有助于理解坐标与图形的对应关系。
【难度系数】
0.85

7. 图3-2-4是某地火车站及周围的简单平面图，图中每个小正方形的边长代表1 km，以火车站所在的位置为坐标原点，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系。
(1)请写出体育场、超市、市场、文化宫的坐标；
(2)体育场与市场之间的距离为；
(3)若学校的位置是$(-3,-3)$，请在图3-2-4中标出学校的位置。

图3-2-4

7. (1)解:体育场的坐标为(-4,3),超市的坐标为(0,4),市场的坐标为(4,3),文化宫的坐标为(2,-4)。
(2)8 km
(3)解:如答图3-2-2,学校的位置即为所求。

【分析】
首先明确坐标系的三要素：原点为火车站位置，x轴正方向为正东（向右），y轴正方向为正北（向上），单位长度1km。
(1)求各点坐标：对每个地点，先确定横坐标：在原点左侧横坐标为负，右侧为正，数值为到y轴的水平距离；再确定纵坐标：在原点上方纵坐标为正，下方为负，数值为到x轴的竖直距离，组合得到坐标。
(2)求体育场和市场的距离：观察两点坐标，发现纵坐标相同，说明两点在平行于x轴的水平线上，距离等于两点横坐标差的绝对值。
(3)标注学校位置：根据坐标(-3,-3)，先在x轴负方向找到x=-3的位置，y轴负方向找到y=-3的位置，两者的交点就是学校的位置。
【解析】
(1)根据坐标系规则逐一确定坐标：
体育场在原点左侧4个单位，上方3个单位，因此坐标为$(-4,3)$；
超市在y轴上（x=0），原点上方4个单位，因此坐标为$(0,4)$；
市场在原点右侧4个单位，上方3个单位，因此坐标为$(4,3)$；
文化宫在原点右侧2个单位，下方4个单位，因此坐标为$(2,-4)$。
(2)已知体育场坐标为$(-4,3)$，市场坐标为$(4,3)$，两点纵坐标相同，属于同一水平线上的点，距离为两点横坐标的差的绝对值：
$|4 - (-4)| = 8$，单位为km，因此体育场与市场的距离为8 km。
(3)找到x轴上代表$-3$的位置作x轴的垂线，再找到y轴上代表$-3$的位置作y轴的垂线，两条垂线的交点就是坐标$(-3,-3)$对应的学校位置，标注即可。
【答案】
(1)体育场$(-4,3)$，超市$(0,4)$，市场$(4,3)$，文化宫$(2,-4)$；
(2)$8\ \mathrm{km}$；
(3)如答图3-2-2，学校的位置即为所求。
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标表示；坐标系内两点距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查平面直角坐标系的基础应用，核心是掌握坐标的确定方法，以及同一水平线、竖直线上两点距离的计算规则，同时也考察了根据坐标找点的动手操作能力。
【难度系数】
0.85