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8. 如图 3-2-5，已知$A(-2,3)$，$B(4,3)$，$C(-1,-3)$。
(1) 求点 C 到 x 轴的距离；
(2) 求$△ ABC$的面积；
(3) 点 P 在 y 轴上，当$△ ABP$的面积为 6 时，请直接写出点 P 的坐标。
图 3-2-5
(1) 求点 C 到 x 轴的距离；
(2) 求$△ ABC$的面积；
(3) 点 P 在 y 轴上，当$△ ABP$的面积为 6 时，请直接写出点 P 的坐标。
图 3-2-5
答案
8. 解:(1)因为C(-1,-3)，所以点C到x轴的距离为3。
(2)因为A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)，所以AB=4-(-2)=6,点C到边AB的距离为3-(-3)=6，所以△ABC的面积为6×6÷2=18。
(3)设点P的坐标为(0,y)。
因为△ABP的面积为6,AB=6，
所以$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，
所以|y-3|=2，
所以y=1或y=5，
所以点P的坐标为(0,1)或(0,5)。
(2)因为A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)，所以AB=4-(-2)=6,点C到边AB的距离为3-(-3)=6，所以△ABC的面积为6×6÷2=18。
(3)设点P的坐标为(0,y)。
因为△ABP的面积为6,AB=6，
所以$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，
所以|y-3|=2，
所以y=1或y=5，
所以点P的坐标为(0,1)或(0,5)。
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值的规则，直接提取点C的纵坐标计算绝对值即可得到结果。
(2) 解题思路：首先观察A、B两点坐标，纵坐标相同说明线段AB平行于x轴，先计算AB的长度（横坐标之差的绝对值）；再计算点C到AB所在直线的距离（两点纵坐标之差的绝对值），最后代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
(3) 解题思路：点P在y轴上，因此它的横坐标为0，可设P坐标为$(0,y)$；△ABP的底AB长度不变，高为点P到AB所在直线的距离，即$|y-3|$，结合已知面积列方程，解绝对值方程即可得到y的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 已知点C的坐标为$(-1,-3)$，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，因此点C到x轴的距离为$|-3|=3$。
(2) 已知$A(-2,3)$，$B(4,3)$，两点纵坐标相同，因此AB的长度为：$AB=4-(-2)=6$；
AB所在直线为$y=3$，点C到AB的距离为：$3-(-3)=6$；
根据三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×6=18$。
(3) 设点P的坐标为$(0,y)$，AB长度为6，点P到AB所在直线$y=3$的距离为$|y-3|$；
由$S_{△ABP}=6$，代入面积公式得：$\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，
化简得$|y-3|=2$，即$y-3=2$或$y-3=-2$，
解得$y=5$或$y=1$，因此点P的坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{18}$；(3) $\boxed{(0,1)}$或$\boxed{(0,5)}$
【知识点】
点到坐标轴的距离；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，重点考查坐标特征与几何计算的结合，解题的关键是掌握平行于坐标轴的线段长度、点到直线距离的计算方法，第三问要注意绝对值方程的解有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值的规则，直接提取点C的纵坐标计算绝对值即可得到结果。
(2) 解题思路：首先观察A、B两点坐标，纵坐标相同说明线段AB平行于x轴，先计算AB的长度（横坐标之差的绝对值）；再计算点C到AB所在直线的距离（两点纵坐标之差的绝对值），最后代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
(3) 解题思路：点P在y轴上，因此它的横坐标为0，可设P坐标为$(0,y)$；△ABP的底AB长度不变，高为点P到AB所在直线的距离，即$|y-3|$，结合已知面积列方程，解绝对值方程即可得到y的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 已知点C的坐标为$(-1,-3)$，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，因此点C到x轴的距离为$|-3|=3$。
(2) 已知$A(-2,3)$，$B(4,3)$，两点纵坐标相同，因此AB的长度为：$AB=4-(-2)=6$；
AB所在直线为$y=3$，点C到AB的距离为：$3-(-3)=6$；
根据三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×6=18$。
(3) 设点P的坐标为$(0,y)$，AB长度为6，点P到AB所在直线$y=3$的距离为$|y-3|$；
由$S_{△ABP}=6$，代入面积公式得：$\frac{1}{2}×6×|y-3|=6$，
化简得$|y-3|=2$，即$y-3=2$或$y-3=-2$，
解得$y=5$或$y=1$，因此点P的坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{18}$；(3) $\boxed{(0,1)}$或$\boxed{(0,5)}$
【知识点】
点到坐标轴的距离；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，重点考查坐标特征与几何计算的结合，解题的关键是掌握平行于坐标轴的线段长度、点到直线距离的计算方法，第三问要注意绝对值方程的解有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”。当点Q到x轴、y轴的距离相等时,则称点Q为“完美点”。
(1)点A(-3,2)的“短距”为
(2)若点B(3a−1,5)是“完美点”,求a的值;
(3)若点C(9−2b,−5)是“完美点”,求点D(−6,2b−1)的“短距”。
9. 在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”。当点Q到x轴、y轴的距离相等时,则称点Q为“完美点”。
(1)点A(-3,2)的“短距”为
2
;(2)若点B(3a−1,5)是“完美点”,求a的值;
(3)若点C(9−2b,−5)是“完美点”,求点D(−6,2b−1)的“短距”。
答案
9. (1) 2
(2)解:因为点B(3a−1,5)是“完美点”，
所以|3a−1|=5，
所以3a−1=5或3a−1=−5，
解得$a=2$或$a=-\frac{4}{3}$。
(3)解:由题意得|9−2b|=5，
所以9−2b=5或9−2b=−5，
解得b=2或b=7。
当b=2时,点D的坐标为(−6,3)，
因为|−6|=6,6＞3，
所以点D的“短距”为3；
当b=7时,点D的坐标为(−6,13)，
因为|−6|=6,13＞6，
所以点D的“短距”为6。
综上所述,点D(−6,2b−1)的“短距”为3或6。
(2)解:因为点B(3a−1,5)是“完美点”，
所以|3a−1|=5，
所以3a−1=5或3a−1=−5，
解得$a=2$或$a=-\frac{4}{3}$。
(3)解:由题意得|9−2b|=5，
所以9−2b=5或9−2b=−5，
解得b=2或b=7。
当b=2时,点D的坐标为(−6,3)，
因为|−6|=6,6＞3，
所以点D的“短距”为3；
当b=7时,点D的坐标为(−6,13)，
因为|−6|=6,13＞6，
所以点D的“短距”为6。
综上所述,点D(−6,2b−1)的“短距”为3或6。
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系的新定义类题目，解题前先明确两个核心定义：①“短距”是点到x轴、y轴距离的较小值，点(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|，短距即两个距离的较小值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即满足|x|=|y|。
(1) 直接计算点A到两轴的距离，取较小值即可；
(2) 根据“完美点”的定义列绝对值方程，求解即可得到a的值；
(3) 先利用点C是“完美点”列方程求出b的取值，再将b的值代入点D的坐标，计算点D到两轴的距离后取较小值，注意分情况讨论不要漏解。
【解析】
(1) 点A(-3,2)到x轴的距离为|2|=2，到y轴的距离为|-3|=3，较小值为2，因此“短距”为2。
(2) 解：
∵点B(3a−1,5)是“完美点”，
∴点B到x轴、y轴的距离相等，即$|3a−1|=|5|=5$，
∴$3a−1=5$或$3a−1=−5$，
解得$a=2$或$a=-\frac{4}{3}$。
(3) 解：
∵点C(9−2b,−5)是“完美点”，
∴$|9−2b|=|-5|=5$，
∴$9−2b=5$或$9−2b=−5$，
解得$b=2$或$b=7$。
当$b=2$时，点D的坐标为$(-6,2×2-1)$即$(-6,3)$，点D到x轴距离为$|3|=3$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为3，故“短距”为3；
当$b=7$时，点D的坐标为$(-6,2×7-1)$即$(-6,13)$，点D到x轴距离为$|13|=13$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为6，故“短距”为6。
综上所述，点D的“短距”为3或6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{a=2}$或$\boldsymbol{a=-\frac{4}{3}}$；(3) $\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程求解，新定义运用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系基础知识点，解题关键是准确理解“短距”和“完美点”的定义，求解绝对值方程时注意不要漏解，第三问需分情况计算点D的短距，避免丢失结果。
【难度系数】
0.7
本题是平面直角坐标系的新定义类题目，解题前先明确两个核心定义：①“短距”是点到x轴、y轴距离的较小值，点(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|，短距即两个距离的较小值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即满足|x|=|y|。
(1) 直接计算点A到两轴的距离，取较小值即可；
(2) 根据“完美点”的定义列绝对值方程，求解即可得到a的值；
(3) 先利用点C是“完美点”列方程求出b的取值，再将b的值代入点D的坐标，计算点D到两轴的距离后取较小值，注意分情况讨论不要漏解。
【解析】
(1) 点A(-3,2)到x轴的距离为|2|=2，到y轴的距离为|-3|=3，较小值为2，因此“短距”为2。
(2) 解：
∵点B(3a−1,5)是“完美点”，
∴点B到x轴、y轴的距离相等，即$|3a−1|=|5|=5$，
∴$3a−1=5$或$3a−1=−5$，
解得$a=2$或$a=-\frac{4}{3}$。
(3) 解：
∵点C(9−2b,−5)是“完美点”，
∴$|9−2b|=|-5|=5$，
∴$9−2b=5$或$9−2b=−5$，
解得$b=2$或$b=7$。
当$b=2$时，点D的坐标为$(-6,2×2-1)$即$(-6,3)$，点D到x轴距离为$|3|=3$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为3，故“短距”为3；
当$b=7$时，点D的坐标为$(-6,2×7-1)$即$(-6,13)$，点D到x轴距离为$|13|=13$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为6，故“短距”为6。
综上所述，点D的“短距”为3或6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{a=2}$或$\boldsymbol{a=-\frac{4}{3}}$；(3) $\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程求解，新定义运用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系基础知识点，解题关键是准确理解“短距”和“完美点”的定义，求解绝对值方程时注意不要漏解，第三问需分情况计算点D的短距，避免丢失结果。
【难度系数】
0.7
10.【问题背景】
(1)已知点$A(1,2),B(5,2),C(-1,-1),D(3,-3)$,在如图3-2-6所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段$AB$和$CD$的中点$M,N$,然后写出点$M$和点$N$的坐标。
图3-2-6
【尝试应用】
(2)①结合上述结果,我们可以发现:如果线段的两个端点坐标分别为$(a,b),(c,d)$,则这条线段的中点坐标为
②若点$P(-3,7),Q(1,-3)$,用我们发现的结论可以直接得到线段$PQ$的中点坐标为
【拓展创新】
(3)已知三点$E(1,1),F(7,4),H(4,-2)$。
①直接写出线段$EF$的三等分点的坐标；
②三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍,该点叫作三角形的重心。请你直接写出$△ EFH$的重心$G$的坐标。
(1)已知点$A(1,2),B(5,2),C(-1,-1),D(3,-3)$,在如图3-2-6所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段$AB$和$CD$的中点$M,N$,然后写出点$M$和点$N$的坐标。
图3-2-6
【尝试应用】
(2)①结合上述结果,我们可以发现:如果线段的两个端点坐标分别为$(a,b),(c,d)$,则这条线段的中点坐标为
$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$
；②若点$P(-3,7),Q(1,-3)$,用我们发现的结论可以直接得到线段$PQ$的中点坐标为
(-1,2)
。【拓展创新】
(3)已知三点$E(1,1),F(7,4),H(4,-2)$。
①直接写出线段$EF$的三等分点的坐标；
②三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍,该点叫作三角形的重心。请你直接写出$△ EFH$的重心$G$的坐标。
答案
10. (1)解:在平面直角坐标系中描出点A,B,C,D,M,N，如答图3-2-3。
线段AB和CD的中点M,N的坐标分别为(3,2),(1,−2)。
(2)①$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$ ② (−1,2)
(3)解:①线段EF的三等分点的坐标为(3,2),(5,3)。
②△EFH的重心G的坐标为(4,1)。
解析
【分析】
1. 解决第(1)问时，先根据平面直角坐标系内点的坐标定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，描出A、B、C、D四点；观察线段AB平行于x轴，中点的纵坐标和A、B相同，横坐标为两点横坐标的平均值；线段CD的中点同理，横、纵坐标分别为C、D横、纵坐标的平均值，即可得到M、N坐标。
2. 第(2)问根据第(1)问的中点坐标结果，归纳得到通用的线段中点坐标公式，再将P、Q坐标代入公式即可计算PQ的中点坐标。
3. 第(3)问①求三等分点时，先算出E到F的横坐标差、纵坐标差，将差值分别三等分，依次加在E点的横、纵坐标上即可得到两个三等分点坐标；②根据重心的性质，重心坐标为三角形三个顶点横、纵坐标分别求平均值，代入E、F、H坐标计算即可。
【解析】
(1) 按照点坐标的定义描出A(1,2)、B(5,2)、C(-1,-1)、D(3,-3)：
线段AB的中点M：横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，纵坐标与A、B相同为2，故M(3,2)；
线段CD的中点N：横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，纵坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，故N(1,-2)。
(2)① 结合(1)的结果，可归纳得到：若线段两端点为$(a,b)$、$(c,d)$，中点坐标为两端点横、纵坐标分别取平均，即$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$。
② 将P(-3,7)、Q(1,-3)代入中点公式：
横坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，纵坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=2$，故PQ中点坐标为$(-1,2)$。
(3)① E(1,1)、F(7,4)，横坐标差为$7-1=6$，纵坐标差为$4-1=3$，将差值三等分，每份横坐标差为$6÷3=2$，每份纵坐标差为$3÷3=1$：
第一个三等分点（靠近E）：横坐标$1+2=3$，纵坐标$1+1=2$，即(3,2)；
第二个三等分点（靠近F）：横坐标$3+2=5$，纵坐标$2+1=3$，即(5,3)。
② 根据重心性质，重心坐标为三个顶点横、纵坐标的平均值：
横坐标：$\frac{1+7+4}{3}=4$，纵坐标：$\frac{1+4+(-2)}{3}=1$，故重心G的坐标为(4,1)。
【答案】
(1)在平面直角坐标系中描出点A,B,C,D,M,N，如答图3-2-3。
线段AB和CD的中点M,N的坐标分别为$(3,2),(1,-2)$。
(2)①$\boldsymbol{(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})}$；②$\boldsymbol{(-1,2)}$
(3)①线段EF的三等分点的坐标为$\boldsymbol{(3,2),(5,3)}$；
②$△ EFH$的重心G的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$。
【知识点】
平面直角坐标系描点；中点坐标公式；重心坐标规律
【点评】
本题从基础描点、找线段中点出发，引导学生自主归纳中点坐标公式，再拓展到三等分点、三角形重心坐标的计算，既考察了坐标的基础运算能力，也锻炼了归纳推理的能力，是平面直角坐标系应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
1. 解决第(1)问时，先根据平面直角坐标系内点的坐标定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，描出A、B、C、D四点；观察线段AB平行于x轴，中点的纵坐标和A、B相同，横坐标为两点横坐标的平均值；线段CD的中点同理，横、纵坐标分别为C、D横、纵坐标的平均值，即可得到M、N坐标。
2. 第(2)问根据第(1)问的中点坐标结果，归纳得到通用的线段中点坐标公式，再将P、Q坐标代入公式即可计算PQ的中点坐标。
3. 第(3)问①求三等分点时，先算出E到F的横坐标差、纵坐标差，将差值分别三等分，依次加在E点的横、纵坐标上即可得到两个三等分点坐标；②根据重心的性质，重心坐标为三角形三个顶点横、纵坐标分别求平均值，代入E、F、H坐标计算即可。
【解析】
(1) 按照点坐标的定义描出A(1,2)、B(5,2)、C(-1,-1)、D(3,-3)：
线段AB的中点M：横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，纵坐标与A、B相同为2，故M(3,2)；
线段CD的中点N：横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，纵坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，故N(1,-2)。
(2)① 结合(1)的结果，可归纳得到：若线段两端点为$(a,b)$、$(c,d)$，中点坐标为两端点横、纵坐标分别取平均，即$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$。
② 将P(-3,7)、Q(1,-3)代入中点公式：
横坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，纵坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=2$，故PQ中点坐标为$(-1,2)$。
(3)① E(1,1)、F(7,4)，横坐标差为$7-1=6$，纵坐标差为$4-1=3$，将差值三等分，每份横坐标差为$6÷3=2$，每份纵坐标差为$3÷3=1$：
第一个三等分点（靠近E）：横坐标$1+2=3$，纵坐标$1+1=2$，即(3,2)；
第二个三等分点（靠近F）：横坐标$3+2=5$，纵坐标$2+1=3$，即(5,3)。
② 根据重心性质，重心坐标为三个顶点横、纵坐标的平均值：
横坐标：$\frac{1+7+4}{3}=4$，纵坐标：$\frac{1+4+(-2)}{3}=1$，故重心G的坐标为(4,1)。
【答案】
(1)在平面直角坐标系中描出点A,B,C,D,M,N，如答图3-2-3。
线段AB和CD的中点M,N的坐标分别为$(3,2),(1,-2)$。
(2)①$\boldsymbol{(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})}$；②$\boldsymbol{(-1,2)}$
(3)①线段EF的三等分点的坐标为$\boldsymbol{(3,2),(5,3)}$；
②$△ EFH$的重心G的坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$。
【知识点】
平面直角坐标系描点；中点坐标公式；重心坐标规律
【点评】
本题从基础描点、找线段中点出发，引导学生自主归纳中点坐标公式，再拓展到三等分点、三角形重心坐标的计算，既考察了坐标的基础运算能力，也锻炼了归纳推理的能力，是平面直角坐标系应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
