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例3 在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，点D在射线AB上，$AD=AC$，连接CD，$∠ BCD=10°$，则$∠ ABC=$
40°或60°
。答案
如图4，
∵∠A=80°, AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=50°.
∴∠ABC=∠ADC−∠BCD=50°−10°=40°.
如图5，
∵∠A=80°, AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=50°.
∴∠ABC=∠ADC+∠BCD=50°+10°=60°.
故答案为：40°或60°.
解析
【分析】
解题时首先注意到“点D在射线AB上”，未明确D的位置，因此需要分两种情况讨论：①D在线段AB上；②D在AB的延长线上（点B的外侧）。已知AD=AC，可得△ADC是等腰三角形，结合∠A=80°，可先根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，求出∠ADC和∠ACD的度数，再结合∠BCD=10°，利用三角形外角的性质或角的和差关系，分别计算两种情况下∠ABC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AB上时（对应图4）：
∵ ∠A=80°，AD=AC，
∴ △ADC为等腰三角形，$∠ ADC=∠ ACD=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$。
∵ ∠ADC是△BCD的外角，根据三角形外角性质，$∠ ADC=∠ ABC+∠ BCD$，
∴ $∠ ABC=∠ ADC-∠ BCD=50°-10°=40°$。
2. 当点D在AB的延长线上时（对应图5）：
∵ ∠A=80°，AD=AC，
∴ △ADC为等腰三角形，$∠ ADC=∠ ACD=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$。
∵ ∠ABC是△BCD的外角，根据三角形外角性质，$∠ ABC=∠ ADC+∠ BCD$，
∴ $∠ ABC=50°+10°=60°$。
【答案】
40°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题的易错点是忽略“射线AB”包含两种位置情况，导致漏解。解题时遇到“射线”“直线”这类未明确点的位置的条件时，要注意分类讨论，同时需要熟练掌握等腰三角形和三角形角的相关性质，灵活运用角的和差或外角性质计算角度。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意到“点D在射线AB上”，未明确D的位置，因此需要分两种情况讨论：①D在线段AB上；②D在AB的延长线上（点B的外侧）。已知AD=AC，可得△ADC是等腰三角形，结合∠A=80°，可先根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，求出∠ADC和∠ACD的度数，再结合∠BCD=10°，利用三角形外角的性质或角的和差关系，分别计算两种情况下∠ABC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AB上时（对应图4）：
∵ ∠A=80°，AD=AC，
∴ △ADC为等腰三角形，$∠ ADC=∠ ACD=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$。
∵ ∠ADC是△BCD的外角，根据三角形外角性质，$∠ ADC=∠ ABC+∠ BCD$，
∴ $∠ ABC=∠ ADC-∠ BCD=50°-10°=40°$。
2. 当点D在AB的延长线上时（对应图5）：
∵ ∠A=80°，AD=AC，
∴ △ADC为等腰三角形，$∠ ADC=∠ ACD=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$。
∵ ∠ABC是△BCD的外角，根据三角形外角性质，$∠ ABC=∠ ADC+∠ BCD$，
∴ $∠ ABC=50°+10°=60°$。
【答案】
40°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题的易错点是忽略“射线AB”包含两种位置情况，导致漏解。解题时遇到“射线”“直线”这类未明确点的位置的条件时，要注意分类讨论，同时需要熟练掌握等腰三角形和三角形角的相关性质，灵活运用角的和差或外角性质计算角度。
【难度系数】
0.6
例4 三角形具有稳定性，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图7是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC=4.8 m，∠C=30°，则EF的长为
解析 ∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8 m，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 (m).
∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°.
∵∠C=30°，∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 (m).
故答案为：1.2.
1.2
m.解析 ∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8 m，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 (m).
∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°.
∵∠C=30°，∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 (m).
故答案为：1.2.
答案
∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8 m，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 (m).
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°.
∵∠C=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 (m).
故答案为：1.2.
解析
【分析】首先从已知条件入手，E是AC中点，可先通过中点的性质求出CE的长度；再根据EF垂直于BC，可得△EFC为直角三角形，结合∠C=30°的条件，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，就能求出EF的长度。
【解析】
∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8 m，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 (m)。
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°。
∵∠C=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 (m)。
【答案】
1.2
【知识点】
线段中点性质；直角三角形30°角性质；垂直的定义
【点评】
本题结合建筑工程的实际场景出题，将几何知识与生活应用相结合，解题关键是准确识别直角三角形，熟练运用特殊直角三角形的边长关系计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
【解析】
∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8 m，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2.4 (m)。
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°。
∵∠C=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1.2 (m)。
【答案】
1.2
【知识点】
线段中点性质；直角三角形30°角性质；垂直的定义
【点评】
本题结合建筑工程的实际场景出题，将几何知识与生活应用相结合，解题关键是准确识别直角三角形，熟练运用特殊直角三角形的边长关系计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
如图 6，$△ ABC$ 为等腰三角形，$AB=AC$，点 $D$ 是 $BC$ 延长线上的一点，$∠ ACD=110°$，则 $∠ A$ 的度数为（
A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
C
）。A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
C
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：首先观察图形可知∠ACB与∠ACD是邻补角，两角之和为180°，结合已知∠ACD的度数可先求出底角∠ACB的度数；再根据AB=AC的条件，利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠B的度数；最后根据三角形内角和为180°，就能计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 点D在BC的延长线上，
∴ ∠ACB + ∠ACD = 180°，
已知∠ACD=110°，代入得：
∠ACB=180°-110°=70°，
又
∵ AB=AC，即△ABC为等腰三角形，
∴ ∠B=∠ACB=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础常考题，核心是对三角形基础性质的应用，解题关键是先求出等腰三角形的底角度数，再计算顶角，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤思考：首先观察图形可知∠ACB与∠ACD是邻补角，两角之和为180°，结合已知∠ACD的度数可先求出底角∠ACB的度数；再根据AB=AC的条件，利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠B的度数；最后根据三角形内角和为180°，就能计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 点D在BC的延长线上，
∴ ∠ACB + ∠ACD = 180°，
已知∠ACD=110°，代入得：
∠ACB=180°-110°=70°，
又
∵ AB=AC，即△ABC为等腰三角形，
∴ ∠B=∠ACB=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础常考题，核心是对三角形基础性质的应用，解题关键是先求出等腰三角形的底角度数，再计算顶角，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
如图8，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地。
甲：$A→C→B$，路程为$l_甲$。
乙：$A→D→E→F→B$，路程为$l_乙$。
丙：$A→G→H→B$，路程为$l_丙$。
下列关系正确的是（
A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$
甲：$A→C→B$，路程为$l_甲$。
乙：$A→D→E→F→B$，路程为$l_乙$。
丙：$A→G→H→B$，路程为$l_丙$。
下列关系正确的是（
D
）。A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$
答案
D
解析
【分析】
解题时先分别推导三条路线的长度与AB长度的关系：首先利用等边三角形的判定和性质求出甲、乙的路程；再通过构造等边三角形，结合三角形三边关系推导丙的路程范围，最终比较三者大小。
【解析】
1. 求甲的路程：
在△ACB中，∠A=∠B=60°，因此∠C=180°-60°-60°=60°，△ACB为等边三角形，可得AC=BC=AB。
则$ l_甲=AC+CB=AB+AB=2AB $。
2. 求乙的路程：
△ADE中，∠A=∠AED=60°，故△ADE是等边三角形，得AD=DE=AE；
△EFB中，∠B=∠FEB=60°，故△EFB是等边三角形，得EF=FB=EB。
则$ l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB $，因此$ l_甲=l_乙 $。
3. 推导丙的路程范围：
延长AG、BH交于点P，△PAB中∠A=∠B=60°，故△PAB为等边三角形，得PA=PB=AB，即$ PA+PB=2AB $。
由PA=PG+AG、PB=PH+HB，可得$ AG+HB + PG+PH = 2AB $。
根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，在△PGH中$ PG+PH＞GH $。
因此$ l_丙=AG+GH+HB ＜ AG + (PG+PH) + HB = 2AB $，即$ l_丙 ＜ l_甲=l_乙 $。
综上可得$ l_甲=l_乙＞l_丙 $。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合路线长度比较考查几何性质的应用，解题关键是准确识别图中的等边三角形，灵活将路程转化为线段和，结合三角形三边关系判断大小，对几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先分别推导三条路线的长度与AB长度的关系：首先利用等边三角形的判定和性质求出甲、乙的路程；再通过构造等边三角形，结合三角形三边关系推导丙的路程范围，最终比较三者大小。
【解析】
1. 求甲的路程：
在△ACB中，∠A=∠B=60°，因此∠C=180°-60°-60°=60°，△ACB为等边三角形，可得AC=BC=AB。
则$ l_甲=AC+CB=AB+AB=2AB $。
2. 求乙的路程：
△ADE中，∠A=∠AED=60°，故△ADE是等边三角形，得AD=DE=AE；
△EFB中，∠B=∠FEB=60°，故△EFB是等边三角形，得EF=FB=EB。
则$ l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB $，因此$ l_甲=l_乙 $。
3. 推导丙的路程范围：
延长AG、BH交于点P，△PAB中∠A=∠B=60°，故△PAB为等边三角形，得PA=PB=AB，即$ PA+PB=2AB $。
由PA=PG+AG、PB=PH+HB，可得$ AG+HB + PG+PH = 2AB $。
根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，在△PGH中$ PG+PH＞GH $。
因此$ l_丙=AG+GH+HB ＜ AG + (PG+PH) + HB = 2AB $，即$ l_丙 ＜ l_甲=l_乙 $。
综上可得$ l_甲=l_乙＞l_丙 $。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合路线长度比较考查几何性质的应用，解题关键是准确识别图中的等边三角形，灵活将路程转化为线段和，结合三角形三边关系判断大小，对几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
