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例2 如图2，∠1的度数为.
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察∠1的位置，它是三角形的一个外角。我们可以通过两种思路求解：思路一，直接利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，直接将两个不相邻的内角度数相加即可得到∠1的度数；思路二，先利用三角形内角和为180°，计算出三角形中与∠1相邻的内角度数，再根据平角为180°的性质，用180°减去这个内角的度数得到∠1的度数。
【解析】
方法一：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ 1=45°+55°=100°$
方法二：
1. 计算三角形与∠1相邻的内角度数：
根据三角形内角和为180°，可得该内角的度数为$180°-45°-55°=80°$
2. 计算∠1的度数：
∠1与该内角组成平角，和为180°，因此$∠ 1=180°-80°=100°$
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题，重点考查三角形相关角度性质的理解与应用，只要找准角的位置关系，结合对应定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先观察∠1的位置，它是三角形的一个外角。我们可以通过两种思路求解：思路一，直接利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，直接将两个不相邻的内角度数相加即可得到∠1的度数；思路二，先利用三角形内角和为180°，计算出三角形中与∠1相邻的内角度数，再根据平角为180°的性质，用180°减去这个内角的度数得到∠1的度数。
【解析】
方法一：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ 1=45°+55°=100°$
方法二：
1. 计算三角形与∠1相邻的内角度数：
根据三角形内角和为180°，可得该内角的度数为$180°-45°-55°=80°$
2. 计算∠1的度数：
∠1与该内角组成平角，和为180°，因此$∠ 1=180°-80°=100°$
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题，重点考查三角形相关角度性质的理解与应用，只要找准角的位置关系，结合对应定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例3 如图4是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角$∠ O$的大小，需将$∠ O$转化为与它相等的角，则图中与$∠ O$相等的角是（）.
A. $∠ BEA$
B. $∠ DEB$
C. $∠ ECA$
D. $∠ ADO$
解析 由图4可知，$△ DOA$和$△ DBE$都是直角三角形，
$\therefore ∠ O + ∠ ADO = 90°$，$∠ DEB + ∠ ADO = 90°$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ O$，
故选B.
A. $∠ BEA$
B. $∠ DEB$
C. $∠ ECA$
D. $∠ ADO$
解析 由图4可知，$△ DOA$和$△ DBE$都是直角三角形，
$\therefore ∠ O + ∠ ADO = 90°$，$∠ DEB + ∠ ADO = 90°$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ O$，
故选B.
答案
解：
由图可知，$DA⊥ OA$，$DB⊥ OB$，
$\therefore ∠ OAD = 90°$，$∠ DBE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOA$中，$∠ O + ∠ ADO = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，$∠ DEB + ∠ ADO = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ DEB = ∠ O$。
故选B。
由图可知，$DA⊥ OA$，$DB⊥ OB$，
$\therefore ∠ OAD = 90°$，$∠ DBE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOA$中，$∠ O + ∠ ADO = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，$∠ DEB + ∠ ADO = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ DEB = ∠ O$。
故选B。
解析
【分析】
要找出与∠O相等的角，首先观察图形特征：图中存在两条垂线，可得到两个直角三角形，两个直角三角形有公共的锐角∠ADO，可知∠O和待求的等角都是∠ADO的余角，再根据余角的性质就能确定与∠O相等的角。
【解析】
由图可知，$DA⊥ OA$，$DB⊥ OB$，
$\therefore ∠ OAD = 90°$，$∠ DBE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOA$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ O + ∠ ADO = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，同理可得$∠ DEB + ∠ ADO = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ DEB = ∠ O$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义、直角三角形两锐角互余、同角的余角相等
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的实际场景考查几何角度关系，将实际问题转化为基础几何问题，解题核心是找到公共余角，灵活运用余角的性质判断等角，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.85
要找出与∠O相等的角，首先观察图形特征：图中存在两条垂线，可得到两个直角三角形，两个直角三角形有公共的锐角∠ADO，可知∠O和待求的等角都是∠ADO的余角，再根据余角的性质就能确定与∠O相等的角。
【解析】
由图可知，$DA⊥ OA$，$DB⊥ OB$，
$\therefore ∠ OAD = 90°$，$∠ DBE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOA$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ O + ∠ ADO = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，同理可得$∠ DEB + ∠ ADO = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ DEB = ∠ O$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义、直角三角形两锐角互余、同角的余角相等
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的实际场景考查几何角度关系，将实际问题转化为基础几何问题，解题核心是找到公共余角，灵活运用余角的性质判断等角，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.85
例4 如图 6，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 60°$，$∠ B = 50°$，$AD // BC$，则$∠ 1$的度数为（）。
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
解析 $\because ∠ BAC = 60°$，$∠ B = 50°$，
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 50° = 70°$。
$\because AD // BC$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ C = 70°$，
故选 C。
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
解析 $\because ∠ BAC = 60°$，$∠ B = 50°$，
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 50° = 70°$。
$\because AD // BC$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ C = 70°$，
故选 C。
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先已知△ABC的两个内角度数，可先利用三角形内角和为180°求出第三个内角∠C的度数；再结合AD//BC的条件，观察到∠1和∠C是平行线AD、BC被AC所截形成的内错角，根据平行线的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠C的度数：
∵ 三角形内角和为180°，∠BAC=60°，∠B=50°
∴ $∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 50° = 70°$
2. 利用平行线性质求∠1：
∵ AD//BC，∠1与∠C是内错角
∴ $∠ 1 = ∠ C = 70°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查三角形内角和与平行线性质的应用，解题核心是准确识别平行线截得的内错角，掌握基础定理即可快速解答，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先已知△ABC的两个内角度数，可先利用三角形内角和为180°求出第三个内角∠C的度数；再结合AD//BC的条件，观察到∠1和∠C是平行线AD、BC被AC所截形成的内错角，根据平行线的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠C的度数：
∵ 三角形内角和为180°，∠BAC=60°，∠B=50°
∴ $∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 50° = 70°$
2. 利用平行线性质求∠1：
∵ AD//BC，∠1与∠C是内错角
∴ $∠ 1 = ∠ C = 70°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查三角形内角和与平行线性质的应用，解题核心是准确识别平行线截得的内错角，掌握基础定理即可快速解答，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
如图 3，分别过$△ ABC$的顶点 A，B 作 $AD // BE$，若 $∠ CAD = 25°$，$∠ EBC = 80°$，则 $∠ ACB$ 的度数为（
A.$65°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$95°$
B
）.A.$65°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$95°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质推导角的等量关系，再结合三角形内角和定理计算待求角的度数：首先观察图形可知AD与BE平行，BC是两条平行线的截线，根据平行线的同位角相等可得到∠ADC与已知∠EBC相等；再在△ADC中，已知两个内角的度数，利用三角形内角和为180°即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：$\because AD// BE$
$\therefore ∠ ADC=∠ EBC=80°$（两直线平行，同位角相等）
在$△ ADC$中，$∠ CAD=25°$，$∠ ADC=80°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB=180°-∠ CAD-∠ ADC=180°-25°-80°=75°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是准确识别平行线被截线形成的同位角，再结合三角形内角和公式计算即可，是平行线与三角形内角和结合的典型考法。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行线的性质推导角的等量关系，再结合三角形内角和定理计算待求角的度数：首先观察图形可知AD与BE平行，BC是两条平行线的截线，根据平行线的同位角相等可得到∠ADC与已知∠EBC相等；再在△ADC中，已知两个内角的度数，利用三角形内角和为180°即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：$\because AD// BE$
$\therefore ∠ ADC=∠ EBC=80°$（两直线平行，同位角相等）
在$△ ADC$中，$∠ CAD=25°$，$∠ ADC=80°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB=180°-∠ CAD-∠ ADC=180°-25°-80°=75°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是准确识别平行线被截线形成的同位角，再结合三角形内角和公式计算即可，是平行线与三角形内角和结合的典型考法。
【难度系数】
0.8
如图 5，在 $△ ABC$ 中，$∠ BCD=30°$，$∠ ACB=80°$，CD 是边 AB 上的高，AE 是 $∠ CAB$ 的平分线，则 $∠ AEB$ 的度数是
图 5
100°
。图 5
答案
100°
解析
【分析】
要求∠AEB的度数，可按以下思路推导：1. 先根据CD是AB边上的高，在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；2. 再在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数；3. 结合AE是∠CAB的平分线，得到∠EAB的度数；4. 最后在△AEB中利用三角形内角和定理计算出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴∠B=90°-∠BCD=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题时需逐步推导角度关系，熟练掌握相关性质和定理即可顺利求解，计算过程中需注意角度数值不要混淆。
【难度系数】
0.7
要求∠AEB的度数，可按以下思路推导：1. 先根据CD是AB边上的高，在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；2. 再在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数；3. 结合AE是∠CAB的平分线，得到∠EAB的度数；4. 最后在△AEB中利用三角形内角和定理计算出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴∠B=90°-∠BCD=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题时需逐步推导角度关系，熟练掌握相关性质和定理即可顺利求解，计算过程中需注意角度数值不要混淆。
【难度系数】
0.7
如图 7，在 $△ ABC$ 中，若 $DE // BC$，$FG // AC$，$∠ BDE = 120°$，$∠ DFG = 115°$，则 $∠ C =$
55
$°$。答案
55
解析
【分析】解题思路如下：首先观察已知条件有两组平行线，我们可以利用平行线的性质找到与△ABC内角相关的角的关系。首先由DE//BC，根据两直线平行同旁内角互补，可直接求出∠B的度数；再由FG//AC，先结合平角的定义求出∠BFG的度数，再利用两直线平行同位角相等得到∠A的度数；最后根据三角形内角和为180°，代入∠A和∠B的度数即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ DE//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”
∴ ∠BDE + ∠B = 180°
∵ ∠BDE=120°
∴ ∠B = 180° - 120° = 60°
∵ 点D、F都在边AB上，∠DFG与∠BFG组成平角
∴ ∠DFG + ∠BFG = 180°
∵ ∠DFG=115°
∴ ∠BFG = 180° - 115° = 65°
∵ FG//AC，根据“两直线平行，同位角相等”
∴ ∠A = ∠BFG = 65°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 65° - 60° = 55°
【答案】55
【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】本题属于几何基础计算类题目，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确找到平行线被截线形成的角的对应关系，再结合三角形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵ DE//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”
∴ ∠BDE + ∠B = 180°
∵ ∠BDE=120°
∴ ∠B = 180° - 120° = 60°
∵ 点D、F都在边AB上，∠DFG与∠BFG组成平角
∴ ∠DFG + ∠BFG = 180°
∵ ∠DFG=115°
∴ ∠BFG = 180° - 115° = 65°
∵ FG//AC，根据“两直线平行，同位角相等”
∴ ∠A = ∠BFG = 65°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 65° - 60° = 55°
【答案】55
【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】本题属于几何基础计算类题目，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确找到平行线被截线形成的角的对应关系，再结合三角形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】0.7
