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15. (1) 算一算下面两组算式：$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$. 每组中两个算式的结果是否相同？
(2) 想一想，$(ab)^3$等于什么？
(3) 猜一猜，当$n$为正整数时，$(ab)^n$等于什么？你能利用乘方的意义说明理由吗？
(4) 利用上述结论，求$(-8)^{2025}×(0.125)^{2026}$的值.
(2) 想一想，$(ab)^3$等于什么？
(3) 猜一猜，当$n$为正整数时，$(ab)^n$等于什么？你能利用乘方的意义说明理由吗？
(4) 利用上述结论，求$(-8)^{2025}×(0.125)^{2026}$的值.
答案
15. (1) 因为$(3×5)^2 = 225$,$3^2 × 5^2 = 225$,所以$(3×5)^2 = 3^2 × 5^2$.因为$[(-2)×3]^2 = 36$,$(-2)^2 × 3^2 = 36$,所以$[(-2)×3]^2 = (-2)^2 × 3^2$. 所以每组中两个算式的结果相同
(2) 由(1)可知,$(ab)^3 = a^3b^3$
(3) 由(2)可猜想,$(ab)^n = a^nb^n$.理由如下:因为$(ab)$的$n$次方相当于$n$个$ab$相乘,即$(ab)^n = ab · ab · ab · \dots · ab = a · a · a · \dots · a · b · b · b · \dots · b = a^nb^n$
(4) 由(3)知,$(ab)^n = a^nb^n$,所以$(-8)^{2025} × (0.125)^{2026} = [(-8)×0.125]^{2025} × 0.125 = (-1)^{2025} × 0.125 = (-1)×0.125 = -0.125$
(2) 由(1)可知,$(ab)^3 = a^3b^3$
(3) 由(2)可猜想,$(ab)^n = a^nb^n$.理由如下:因为$(ab)$的$n$次方相当于$n$个$ab$相乘,即$(ab)^n = ab · ab · ab · \dots · ab = a · a · a · \dots · a · b · b · b · \dots · b = a^nb^n$
(4) 由(3)知,$(ab)^n = a^nb^n$,所以$(-8)^{2025} × (0.125)^{2026} = [(-8)×0.125]^{2025} × 0.125 = (-1)^{2025} × 0.125 = (-1)×0.125 = -0.125$
解析
【分析】
解题思路如下：(1) 按照运算顺序分别计算两组算式的结果：一组先算括号内乘法再算乘方，另一组先算各因数的乘方再算乘积，对比两个结果即可判断是否相等；(2) 结合(1)中发现的“积的乘方等于各因数乘方的积”的规律，推导(ab)³的结果；(3) 根据乘方的意义，将(ab)ⁿ拆解为n个ab连乘，再用乘法交换律、结合律把所有a、所有b分别归类相乘，即可验证猜想的运算规律；(4) 逆用(3)中得到的积的乘方公式，把两个幂的指数调整为相同，先计算底数的乘积，再算最终结果，可简化运算。
【解析】
(1) 计算第一组：
$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$，因此$(3×5)^2=3^2×5^2$；
计算第二组：
$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$，因此$[(-2)×3]^2=(-2)^2×3^2$；
可得每组中两个算式的结果相同。
(2) 由(1)的规律可推出：$(ab)^3=a^3b^3$。
(3) 猜想：当n为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$。
理由：根据乘方的意义，$(ab)^n$是n个ab相乘，即
$(ab)^n=\underbrace{ab·ab·ab·\dots·ab}_{n个ab}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b}=a^nb^n$
(4) 逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}(-8)^{2025}×(0.125)^{2026}&=(-8)^{2025}×(0.125)^{2025}×0.125\\&=[(-8)×0.125]^{2025}×0.125\\&=(-1)^{2025}×0.125\\&=-1×0.125\\&=-0.125\end{aligned}$
【答案】
(1) 每组中两个算式的结果相同；
(2) $(ab)^3=a^3b^3$；
(3) 当n为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$，理由见解析；
(4) $-0.125$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 积的乘方法则
3. 积的乘方逆运算
【点评】
本题从具体数值运算入手，引导学生归纳出积的乘方的运算规律，再考查规律的逆用，既锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，也考查了简便运算的技巧，是乘方运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1) 按照运算顺序分别计算两组算式的结果：一组先算括号内乘法再算乘方，另一组先算各因数的乘方再算乘积，对比两个结果即可判断是否相等；(2) 结合(1)中发现的“积的乘方等于各因数乘方的积”的规律，推导(ab)³的结果；(3) 根据乘方的意义，将(ab)ⁿ拆解为n个ab连乘，再用乘法交换律、结合律把所有a、所有b分别归类相乘，即可验证猜想的运算规律；(4) 逆用(3)中得到的积的乘方公式，把两个幂的指数调整为相同，先计算底数的乘积，再算最终结果，可简化运算。
【解析】
(1) 计算第一组：
$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$，因此$(3×5)^2=3^2×5^2$；
计算第二组：
$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$，因此$[(-2)×3]^2=(-2)^2×3^2$；
可得每组中两个算式的结果相同。
(2) 由(1)的规律可推出：$(ab)^3=a^3b^3$。
(3) 猜想：当n为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$。
理由：根据乘方的意义，$(ab)^n$是n个ab相乘，即
$(ab)^n=\underbrace{ab·ab·ab·\dots·ab}_{n个ab}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b}=a^nb^n$
(4) 逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}(-8)^{2025}×(0.125)^{2026}&=(-8)^{2025}×(0.125)^{2025}×0.125\\&=[(-8)×0.125]^{2025}×0.125\\&=(-1)^{2025}×0.125\\&=-1×0.125\\&=-0.125\end{aligned}$
【答案】
(1) 每组中两个算式的结果相同；
(2) $(ab)^3=a^3b^3$；
(3) 当n为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$，理由见解析；
(4) $-0.125$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 积的乘方法则
3. 积的乘方逆运算
【点评】
本题从具体数值运算入手，引导学生归纳出积的乘方的运算规律，再考查规律的逆用，既锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，也考查了简便运算的技巧，是乘方运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
1.（长沙中考）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149 600 000 km，可用科学记数法将数据149 600 000表示为 【 】
A.$1.496× 10^{9}$
B.$1.496× 10^{8}$
C.$1.496× 10^{7}$
D.$14.96× 10^{7}$
A.$1.496× 10^{9}$
B.$1.496× 10^{8}$
C.$1.496× 10^{7}$
D.$14.96× 10^{7}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆科学记数法的定义和表示规则：科学记数法是把一个大于10的数表示成$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，n是正整数。解题时分两步走：第一步确定a的数值，需要把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1到10之间的要求；第二步确定n的数值，n等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，最后对照选项排除不符合规则的答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为正整数。
1. 确定a的值：将149600000的小数点向左移动8位，得到$a=1.496$，满足$1≤1.496＜10$的要求。
2. 确定n的值：小数点向左移动了8位，因此$n=8$。
综上，$149600000=1.496×10^8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，解题核心是准确把握a的取值范围和n的确定方法，熟练掌握规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要回忆科学记数法的定义和表示规则：科学记数法是把一个大于10的数表示成$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，n是正整数。解题时分两步走：第一步确定a的数值，需要把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1到10之间的要求；第二步确定n的数值，n等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，最后对照选项排除不符合规则的答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为正整数。
1. 确定a的值：将149600000的小数点向左移动8位，得到$a=1.496$，满足$1≤1.496＜10$的要求。
2. 确定n的值：小数点向左移动了8位，因此$n=8$。
综上，$149600000=1.496×10^8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，解题核心是准确把握a的取值范围和n的确定方法，熟练掌握规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2.（安徽中考）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿$\mathrm{kW·h}$，其中521.7亿用科学记数法表示为 【 】
A.$521.7× 10^{8}$
B.$5.217× 10^{9}$
C.$5.217× 10^{10}$
D.$0.5217× 10^{11}$
A.$521.7× 10^{8}$
B.$5.217× 10^{9}$
C.$5.217× 10^{10}$
D.$0.5217× 10^{11}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题步骤如下：第一步先将计数单位“亿”换算为常规数字形式，第二步调整$a$的取值到符合$1 ≤ |a| ＜ 10$的范围，同时根据小数点移动的位数确定$n$的值，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 先换算单位：$1\mathrm{亿}=10^8$，因此$521.7\mathrm{亿}=521.7 × 10^8$；
2. 调整$a$的取值：将$521.7$的小数点向左移动2位得到符合要求的$a=5.217$，小数点每左移1位，$10$的指数加1，因此指数$n=8+2=10$；
3. 整理得$521.7\mathrm{亿}=5.217 × 10^{10}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法、计数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础常规考题，核心考查科学记数法的书写规范，解题时需要注意特殊计数单位（如亿、万）的换算，同时牢记$a$的取值范围和$n$的确定方法，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题步骤如下：第一步先将计数单位“亿”换算为常规数字形式，第二步调整$a$的取值到符合$1 ≤ |a| ＜ 10$的范围，同时根据小数点移动的位数确定$n$的值，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 先换算单位：$1\mathrm{亿}=10^8$，因此$521.7\mathrm{亿}=521.7 × 10^8$；
2. 调整$a$的取值：将$521.7$的小数点向左移动2位得到符合要求的$a=5.217$，小数点每左移1位，$10$的指数加1，因此指数$n=8+2=10$；
3. 整理得$521.7\mathrm{亿}=5.217 × 10^{10}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法、计数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础常规考题，核心考查科学记数法的书写规范，解题时需要注意特殊计数单位（如亿、万）的换算，同时牢记$a$的取值范围和$n$的确定方法，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
3.（淄博中考）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显示，2024年1月至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记数法表示为$3.07×10^{n}$，则$n$的值是 【 】
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B
解析
【分析】
要确定n的值，首先需要将带计数单位的“30.7万”转化为普通整数，再结合科学记数法的定义求解：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，n为正整数，n的值等于原数变为a时小数点向左移动的位数。
【解析】
1. 单位换算：因为$1\mathrm{万}=10000$，所以$30.7\mathrm{万}=30.7×10000=307000$。
2. 转化为科学记数法：将307000的小数点向左移动5位可得到符合要求的a值3.07，因此$307000=3.07×10^5$，对比$3.07×10^n$可得$n=5$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题核心是先统一计数单位，再根据科学记数法的规则确定指数n，属于基础类考题，需熟练掌握相关规则。
【难度系数】
0.8
要确定n的值，首先需要将带计数单位的“30.7万”转化为普通整数，再结合科学记数法的定义求解：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，n为正整数，n的值等于原数变为a时小数点向左移动的位数。
【解析】
1. 单位换算：因为$1\mathrm{万}=10000$，所以$30.7\mathrm{万}=30.7×10000=307000$。
2. 转化为科学记数法：将307000的小数点向左移动5位可得到符合要求的a值3.07，因此$307000=3.07×10^5$，对比$3.07×10^n$可得$n=5$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题核心是先统一计数单位，再根据科学记数法的规则确定指数n，属于基础类考题，需熟练掌握相关规则。
【难度系数】
0.8
4. 据2025年《政府工作报告》报道，2024年国内生产总值达到134.9万亿元，同比增长5%，增速居世界主要经济体前列。其中134.9万亿用科学记数法表示为 【 】
A.$1.349×10^6$
B.$1.349×10^{10}$
C.$1.349×10^{12}$
D.$1.349×10^{14}$
A.$1.349×10^6$
B.$1.349×10^{10}$
C.$1.349×10^{12}$
D.$1.349×10^{14}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数写成$a × 10^n$的形式，其中要求$1 ≤ |a| ＜10$，$n$为整数。解题步骤分为两步：第一步先完成单位换算，把“134.9万亿”转化为带幂的计数形式；第二步调整$a$的取值满足1到10的范围，同时对应调整$10$的指数$n$，最终匹配选项即可。
【解析】
科学记数法的标准形式为$a × 10^n$（$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数）。
1. 单位换算：$1万=10^4$，$1亿=10^8$，因此$1万亿=10^4 × 10^8 = 10^{12}$，则$134.9万亿=134.9 × 10^{12}$。
2. 调整为标准科学记数法：将134.9的小数点向左移动2位得到符合要求的$a=1.349$，小数点每向左移动1位，$10$的指数加1，因此指数变为$12+2=14$。
最终可得134.9万亿用科学记数法表示为$1.349 × 10^{14}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；同底数幂的乘法；单位换算
【点评】
本题重点考查科学记数法对大数的表示能力，易错点在于“万亿”单位换算时指数计算错误，以及调整a的取值时漏算小数点移动对应的指数变化，解题时可通过数原数的整数位数验证$n$的取值是否正确。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确科学记数法的表示规则：科学记数法是将一个数写成$a × 10^n$的形式，其中要求$1 ≤ |a| ＜10$，$n$为整数。解题步骤分为两步：第一步先完成单位换算，把“134.9万亿”转化为带幂的计数形式；第二步调整$a$的取值满足1到10的范围，同时对应调整$10$的指数$n$，最终匹配选项即可。
【解析】
科学记数法的标准形式为$a × 10^n$（$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数）。
1. 单位换算：$1万=10^4$，$1亿=10^8$，因此$1万亿=10^4 × 10^8 = 10^{12}$，则$134.9万亿=134.9 × 10^{12}$。
2. 调整为标准科学记数法：将134.9的小数点向左移动2位得到符合要求的$a=1.349$，小数点每向左移动1位，$10$的指数加1，因此指数变为$12+2=14$。
最终可得134.9万亿用科学记数法表示为$1.349 × 10^{14}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；同底数幂的乘法；单位换算
【点评】
本题重点考查科学记数法对大数的表示能力，易错点在于“万亿”单位换算时指数计算错误，以及调整a的取值时漏算小数点移动对应的指数变化，解题时可通过数原数的整数位数验证$n$的取值是否正确。
【难度系数】
0.6
5. (黑龙江中考)电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，其总票房超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录. 将数据157亿用科学记数法表示为
$1.57×10^{10}$
.答案
5. $1.57×10^{10}$
解析
【分析】
解题时先回忆科学记数法的定义：科学记数法是将大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。第一步先把带“亿”单位的数转化为不带单位的整数，1亿等于100000000，因此157亿可换算为15700000000；第二步确定$a$的值：把原数的小数点移动到左起第一个非零数字1的后面，得到1.57，满足$1≤ a＜10$的要求；第三步确定$n$的值：数出小数点向左移动的总位数，移动的位数就是$n$的值，最终即可得到科学记数法的表示结果。
【解析】
解：先进行单位换算：
$157\mathrm{亿}=157×100000000=15700000000$
根据科学记数法的表示规则$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）：
将15700000000的小数点向左移动10位得到$a=1.57$，因此$n=10$。
综上，157亿用科学记数法表示为$1.57×10^{10}$。
【答案】
$1.57×10^{10}$
【知识点】
科学记数法，大数单位换算
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法的表示方法，解题核心是正确确定$a$和$n$的取值，遇到带“万”“亿”等单位的数时，要先换算为原数再按规则计算。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆科学记数法的定义：科学记数法是将大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。第一步先把带“亿”单位的数转化为不带单位的整数，1亿等于100000000，因此157亿可换算为15700000000；第二步确定$a$的值：把原数的小数点移动到左起第一个非零数字1的后面，得到1.57，满足$1≤ a＜10$的要求；第三步确定$n$的值：数出小数点向左移动的总位数，移动的位数就是$n$的值，最终即可得到科学记数法的表示结果。
【解析】
解：先进行单位换算：
$157\mathrm{亿}=157×100000000=15700000000$
根据科学记数法的表示规则$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）：
将15700000000的小数点向左移动10位得到$a=1.57$，因此$n=10$。
综上，157亿用科学记数法表示为$1.57×10^{10}$。
【答案】
$1.57×10^{10}$
【知识点】
科学记数法，大数单位换算
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法的表示方法，解题核心是正确确定$a$和$n$的取值，遇到带“万”“亿”等单位的数时，要先换算为原数再按规则计算。
【难度系数】
0.9
6. 中国火星探测器“天问一号”与地球的距离约为$1.92×10^{9}\ \mathrm{km}$，其中$1.92×10^{9}$是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个
十
位数。答案
6. 十
解析
【分析】
要确定科学记数法表示的数的原数是几位数，首先回忆科学记数法的形式：科学记数法表示大数时，形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。有两种解题思路：一是根据规律，原数的整数位数 = $n+1$，直接计算即可；二是把科学记数法还原成原数，直接数整数位数。本题中$10$的指数$n=9$，用两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法1：利用规律求解
科学记数法表示大数时，$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）对应的原数的整数位数为$n+1$。
本题中$n=9$，因此原数的整数位数为$9+1=10$。
方法2：还原原数求解
将$1.92×10^9$还原，即把$1.92$的小数点向右移动9位，得到原数为$1920000000$，数其整数位，共10位。
【答案】
十
【知识点】
科学记数法；科学记数法还原
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，核心考查科学记数法中指数$n$和原数位数的对应关系，掌握对应规律即可快速得出结果，也可通过还原原数验证答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
要确定科学记数法表示的数的原数是几位数，首先回忆科学记数法的形式：科学记数法表示大数时，形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。有两种解题思路：一是根据规律，原数的整数位数 = $n+1$，直接计算即可；二是把科学记数法还原成原数，直接数整数位数。本题中$10$的指数$n=9$，用两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法1：利用规律求解
科学记数法表示大数时，$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）对应的原数的整数位数为$n+1$。
本题中$n=9$，因此原数的整数位数为$9+1=10$。
方法2：还原原数求解
将$1.92×10^9$还原，即把$1.92$的小数点向右移动9位，得到原数为$1920000000$，数其整数位，共10位。
【答案】
十
【知识点】
科学记数法；科学记数法还原
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，核心考查科学记数法中指数$n$和原数位数的对应关系，掌握对应规律即可快速得出结果，也可通过还原原数验证答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
