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8. 已知$a$、$b$互为相反数，且$a≠b$，$c$、$d$互为倒数，$x$的绝对值是4，求$x^2 - (a + b + cd) · x + (a + b)^{2026} + (\frac{a}{b})^{2027}$的值。
答案
8. 11或19
解析
【分析】
解题时首先明确题目涉及的基本概念性质：①互为相反数的两个数和为0，且不为0的互为相反数的两个数的商为-1；②互为倒数的两个数乘积为1；③绝对值为正数的数有两个，互为相反数。我们先根据这些性质求出式子中固定部分的取值，再分x的两种取值代入原式计算即可。
【解析】
解：由题意得：
∵a、b互为相反数且$a≠b$，
∴$a+b=0$，$\frac{a}{b}=-1$；
∵c、d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵x的绝对值是4，
∴$x=±4$，$x^2=16$。
分两种情况计算：
①当$x=4$时：
$\begin{aligned}原式&=16 - (0+1)×4 + 0^{2026} + (-1)^{2027}\\&=16 - 4 + 0 -1\\&=11\end{aligned}$
②当$x=-4$时：
$\begin{aligned}原式&=16 - (0+1)×(-4) + 0^{2026} + (-1)^{2027}\\&=16 + 4 + 0 -1\\&=19\end{aligned}$
综上，原式的值为11或19。
【答案】
11或19
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算的综合题，核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的基本概念，解题时要注意绝对值的取值有两种情况，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目涉及的基本概念性质：①互为相反数的两个数和为0，且不为0的互为相反数的两个数的商为-1；②互为倒数的两个数乘积为1；③绝对值为正数的数有两个，互为相反数。我们先根据这些性质求出式子中固定部分的取值，再分x的两种取值代入原式计算即可。
【解析】
解：由题意得：
∵a、b互为相反数且$a≠b$，
∴$a+b=0$，$\frac{a}{b}=-1$；
∵c、d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵x的绝对值是4，
∴$x=±4$，$x^2=16$。
分两种情况计算：
①当$x=4$时：
$\begin{aligned}原式&=16 - (0+1)×4 + 0^{2026} + (-1)^{2027}\\&=16 - 4 + 0 -1\\&=11\end{aligned}$
②当$x=-4$时：
$\begin{aligned}原式&=16 - (0+1)×(-4) + 0^{2026} + (-1)^{2027}\\&=16 + 4 + 0 -1\\&=19\end{aligned}$
综上，原式的值为11或19。
【答案】
11或19
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算的综合题，核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的基本概念，解题时要注意绝对值的取值有两种情况，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
9. 观察式子：$7^1 = 7$，$7^2 = 49$，$7^3 = 343$，$7^4 = 2401$，$7^5 = 16807$，$7^6 = 117649$，……
那么$7^{2025}$的结果的个位数字是
【 】
A.1
B.3
C.7
D.9
那么$7^{2025}$的结果的个位数字是
【 】
A.1
B.3
C.7
D.9
答案
C
解析
【分析】
本题要求$7^{2025}$的个位数字，无需计算完整的乘方结果，只需观察已知式子中7的幂次的个位数字变化规律即可。首先提取各运算结果的个位数字，找到其循环周期，再用指数除以周期，根据余数即可对应得到所求幂次的个位数字。
【解析】
观察给出的式子，提取各结果的个位数字：
$7^1$的个位数字是7，
$7^2$的个位数字是9，
$7^3$的个位数字是3，
$7^4$的个位数字是1，
$7^5$的个位数字是7，
……
可发现个位数字以7、9、3、1这4个数字为一个周期循环出现。
计算2025除以周期长度4的余数：
$2025÷4=506······1$，余数为1。
说明$7^{2025}$的个位数字和周期中第1个数字相同，即为7。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数的乘方
2. 数字规律探究
【点评】
本题是典型的乘方相关的规律探索题，核心是找到个位数字的循环周期，不需要进行复杂的大数运算，只要掌握周期规律的分析方法就能快速得出结果，是规律类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.8
本题要求$7^{2025}$的个位数字，无需计算完整的乘方结果，只需观察已知式子中7的幂次的个位数字变化规律即可。首先提取各运算结果的个位数字，找到其循环周期，再用指数除以周期，根据余数即可对应得到所求幂次的个位数字。
【解析】
观察给出的式子，提取各结果的个位数字：
$7^1$的个位数字是7，
$7^2$的个位数字是9，
$7^3$的个位数字是3，
$7^4$的个位数字是1，
$7^5$的个位数字是7，
……
可发现个位数字以7、9、3、1这4个数字为一个周期循环出现。
计算2025除以周期长度4的余数：
$2025÷4=506······1$，余数为1。
说明$7^{2025}$的个位数字和周期中第1个数字相同，即为7。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数的乘方
2. 数字规律探究
【点评】
本题是典型的乘方相关的规律探索题，核心是找到个位数字的循环周期，不需要进行复杂的大数运算，只要掌握周期规律的分析方法就能快速得出结果，是规律类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.8
10. 一张纸的厚度为0.2 mm，假设它可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为【 】
A.102.4 mm
B.204.8 mm
C.2 mm
D.2 cm
A.102.4 mm
B.204.8 mm
C.2 mm
D.2 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时首先梳理纸张对折的厚度变化规律：每对折1次，纸张层数变为原来的2倍，厚度也对应变为原来的2倍。由此可推出：对折1次厚度是原厚度的$2^1$倍，对折2次厚度是原厚度的$2^2$倍，以此类推，对折n次厚度就是原厚度的$2^n$倍。本题要求对折10次的高度，只需用原厚度0.2mm乘$2^{10}$，计算出结果后匹配选项即可。
【解析】
解：根据对折的性质，每对折1次，纸的厚度扩大为原来的2倍。
则对折10次后，纸的厚度为原厚度的$2^{10}$倍。
已知纸张原厚度为0.2mm，因此对折10次后的高度为：
$0.2×2^{10}=0.2×1024=204.8\ \mathrm{mm}$
所以选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的意义及运算，解题核心是归纳出对折次数与厚度倍数的对应规律，理解“每次对折厚度翻倍”的逻辑即可顺利求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理纸张对折的厚度变化规律：每对折1次，纸张层数变为原来的2倍，厚度也对应变为原来的2倍。由此可推出：对折1次厚度是原厚度的$2^1$倍，对折2次厚度是原厚度的$2^2$倍，以此类推，对折n次厚度就是原厚度的$2^n$倍。本题要求对折10次的高度，只需用原厚度0.2mm乘$2^{10}$，计算出结果后匹配选项即可。
【解析】
解：根据对折的性质，每对折1次，纸的厚度扩大为原来的2倍。
则对折10次后，纸的厚度为原厚度的$2^{10}$倍。
已知纸张原厚度为0.2mm，因此对折10次后的高度为：
$0.2×2^{10}=0.2×1024=204.8\ \mathrm{mm}$
所以选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的意义及运算，解题核心是归纳出对折次数与厚度倍数的对应规律，理解“每次对折厚度翻倍”的逻辑即可顺利求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
11. 若$|x+2|$与$(y-3)^2$互为相反数，则$x^y$的值为 【 】
A.$-6$
B.$9$
C.$-8$
D.$8$
A.$-6$
B.$9$
C.$-8$
D.$8$
答案
C
解析
【分析】
首先根据互为相反数的两个数之和为0，列出关于x、y的等式；再结合绝对值和平方都具有非负性（结果均大于等于0）的性质，可知两个非负数相加得0时，只有各自都为0才能成立，据此求出x、y的值；最后代入$x^y$按照乘方运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$|x+2|$与$(y-3)^2$互为相反数
∴$|x+2| + (y-3)^2 = 0$
又
∵任意数的绝对值都是非负数，任意数的平方也都是非负数，即$|x+2|≥0$，$(y-3)^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需同时满足：
$x+2=0$，$y-3=0$
解得：$x=-2$，$y=3$
∴$x^y=(-2)^3=-8$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数的性质，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，再结合乘方运算规则计算即可。
【难度系数】
0.8
首先根据互为相反数的两个数之和为0，列出关于x、y的等式；再结合绝对值和平方都具有非负性（结果均大于等于0）的性质，可知两个非负数相加得0时，只有各自都为0才能成立，据此求出x、y的值；最后代入$x^y$按照乘方运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$|x+2|$与$(y-3)^2$互为相反数
∴$|x+2| + (y-3)^2 = 0$
又
∵任意数的绝对值都是非负数，任意数的平方也都是非负数，即$|x+2|≥0$，$(y-3)^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需同时满足：
$x+2=0$，$y-3=0$
解得：$x=-2$，$y=3$
∴$x^y=(-2)^3=-8$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数的性质，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，再结合乘方运算规则计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 用“☆”“★”定义新运算:对于任意有理数a、b,都有$a☆b=a^b$，$a★b=b^a$.那么$1★[(-3)☆2]=$
9
.答案
12. 9
解析
【分析】
这是一道定义新运算的题目，解题时首先要明确两种新运算的计算规则，再按照有理数混合运算“先算括号内，再算括号外”的顺序逐步计算：第一步先根据“$a☆b=a^b$”计算中括号内的$(-3)☆2$，第二步再根据“$a★b=b^a$”计算外层的1★(括号的计算结果)，计算乘方时注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
第一步：计算中括号内的$(-3)☆2$
根据新运算规则$a☆b=a^b$，这里$a=-3$，$b=2$，则：
$(-3)☆2=(-3)^2=9$
第二步：计算$1★9$
根据新运算规则$a★b=b^a$，这里$a=1$，$b=9$，则：
$1★9=9^1=9$
【答案】
9
【知识点】
定义新运算，有理数乘方运算，混合运算顺序
【点评】
本题核心考查对新定义运算规则的理解应用，以及有理数乘方的基础计算，解题的关键是牢记先算括号内、后算括号外的运算顺序，区分两种新运算的计算法则，避免混淆规则导致出错。
【难度系数】
0.8
这是一道定义新运算的题目，解题时首先要明确两种新运算的计算规则，再按照有理数混合运算“先算括号内，再算括号外”的顺序逐步计算：第一步先根据“$a☆b=a^b$”计算中括号内的$(-3)☆2$，第二步再根据“$a★b=b^a$”计算外层的1★(括号的计算结果)，计算乘方时注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
第一步：计算中括号内的$(-3)☆2$
根据新运算规则$a☆b=a^b$，这里$a=-3$，$b=2$，则：
$(-3)☆2=(-3)^2=9$
第二步：计算$1★9$
根据新运算规则$a★b=b^a$，这里$a=1$，$b=9$，则：
$1★9=9^1=9$
【答案】
9
【知识点】
定义新运算，有理数乘方运算，混合运算顺序
【点评】
本题核心考查对新定义运算规则的理解应用，以及有理数乘方的基础计算，解题的关键是牢记先算括号内、后算括号外的运算顺序，区分两种新运算的计算法则，避免混淆规则导致出错。
【难度系数】
0.8
13. 计算：
(1) $-(-3)^2 × (-2)^3$；
(2) $-(-3)^4 ÷ (-3)^4$。
(1) $-(-3)^2 × (-2)^3$；
(2) $-(-3)^4 ÷ (-3)^4$。
答案
13. (1) 72 (2) -1
解析
【分析】
本题是有理数乘方与乘除的混合运算，解题遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序，同时要牢记负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，注意区分幂本身的符号和幂前面的负号。第(1)题先分别计算两个乘方的结果，再计算乘法；第(2)题先算出$(-3)^4$的结果，再计算除法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-3)^2=9$，$(-2)^3=-8$
代入原式计算：
$-(-3)^2 × (-2)^3 = -9 × (-8) = 72$
(2) 先计算乘方：
$(-3)^4=81$
代入原式计算：
$-(-3)^4 ÷ (-3)^4 = -81 ÷ 81 = -1$
【答案】
(1) $\boxed{72}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题侧重考察乘方的符号规则和混合运算顺序，易错点是计算时容易忽略幂前面的负号，或者搞错负数乘方的符号，计算时要先确定符号，再计算数值大小。
【难度系数】
0.8
本题是有理数乘方与乘除的混合运算，解题遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序，同时要牢记负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，注意区分幂本身的符号和幂前面的负号。第(1)题先分别计算两个乘方的结果，再计算乘法；第(2)题先算出$(-3)^4$的结果，再计算除法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-3)^2=9$，$(-2)^3=-8$
代入原式计算：
$-(-3)^2 × (-2)^3 = -9 × (-8) = 72$
(2) 先计算乘方：
$(-3)^4=81$
代入原式计算：
$-(-3)^4 ÷ (-3)^4 = -81 ÷ 81 = -1$
【答案】
(1) $\boxed{72}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题侧重考察乘方的符号规则和混合运算顺序，易错点是计算时容易忽略幂前面的负号，或者搞错负数乘方的符号，计算时要先确定符号，再计算数值大小。
【难度系数】
0.8
14. 已知$(a - 1)^{2026} + |2b - 3| + (c + 1)^2 = 0$，求$a^3 · b^2 · c^{2025}$的值.
答案
根据题意,得$a-1=0$,$2b-3=0$,$c+1=0$,所以$a=1$,$b=\dfrac{3}{2}$,$c=-1$.所以$a^3 · b^2 · c^{2025} = 1^3 × (\dfrac{3}{2})^2 × (-1)^{2025} = -\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
等式左边由偶次幂、绝对值、平方三类式子相加得到，这三类数的取值都大于等于0，属于非负数。当几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都只能是0，据此可分别列方程求出a、b、c的取值，再将取值代入所求代数式，按照乘方、乘法的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 偶次幂、绝对值、平方的运算结果均为非负数，且$(a - 1)^{2026} + |2b - 3| + (c + 1)^2 = 0$
∴ 等式中每一项的值都为0，即：
$a-1=0$，$2b-3=0$，$c+1=0$
解得：$a=1$，$b=\dfrac{3}{2}$，$c=-1$
将a、b、c代入$a^3 · b^2 · c^{2025}$计算：
原式$=1^3 × (\dfrac{3}{2})^2 × (-1)^{2025}$
$=1 × \dfrac{9}{4} × (-1)$
$=-\dfrac{9}{4}$
【答案】
$-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
非负数的性质，有理数乘方运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是掌握多个非负项相加和为0时，每一项均为0的规律，计算乘方时要注意区分负数的奇次幂、偶次幂的符号差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
等式左边由偶次幂、绝对值、平方三类式子相加得到，这三类数的取值都大于等于0，属于非负数。当几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都只能是0，据此可分别列方程求出a、b、c的取值，再将取值代入所求代数式，按照乘方、乘法的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 偶次幂、绝对值、平方的运算结果均为非负数，且$(a - 1)^{2026} + |2b - 3| + (c + 1)^2 = 0$
∴ 等式中每一项的值都为0，即：
$a-1=0$，$2b-3=0$，$c+1=0$
解得：$a=1$，$b=\dfrac{3}{2}$，$c=-1$
将a、b、c代入$a^3 · b^2 · c^{2025}$计算：
原式$=1^3 × (\dfrac{3}{2})^2 × (-1)^{2025}$
$=1 × \dfrac{9}{4} × (-1)$
$=-\dfrac{9}{4}$
【答案】
$-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
非负数的性质，有理数乘方运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是掌握多个非负项相加和为0时，每一项均为0的规律，计算乘方时要注意区分负数的奇次幂、偶次幂的符号差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
