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15. 对于整数a、b,规定一种新的运算:$a*b$等于由a开始及其以后连续$|b|$个整数的积,如:$2*3=2×3×4=24,(-5)*(-2)=(-5)×(-4)=20$.那么$(-7)*[1*(-2)]$的值是多少?
答案
原式$=(-7)*(1×2)=(-7)*2=(-7)×(-6)=42$
解析
【分析】
解决这道题首先要准确理解新定义运算的规则：$a*b$表示从$a$开始的连续$|b|$个整数相乘，核心要点是相乘的整数个数为$b$的绝对值，运算顺序遵循有理数混合运算的规则，有括号先算括号内的，再算括号外的。第一步先计算中括号里的$1*(-2)$，再将结果代入计算外层的$(-7)*[运算结果]$即可。
【解析】
先计算中括号内的$1*(-2)$：
根据新运算规则，$a=1$，$b=-2$，相乘的整数个数为$|-2|=2$，从1开始的连续2个整数是1、2，因此：
$1*(-2)=1×2=2$
再计算$(-7)*2$：
此时$a=-7$，$b=2$，相乘的整数个数为$|2|=2$，从$-7$开始的连续2个整数是$-7$、$-6$，因此：
$(-7)*2=(-7)×(-6)=42$
【答案】
$42$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，绝对值的应用
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，解题关键是准确抓住新运算的两个核心要素：起始整数$a$和相乘的整数个数$|b|$，按运算顺序分步计算，注意有理数乘法的符号判断，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要准确理解新定义运算的规则：$a*b$表示从$a$开始的连续$|b|$个整数相乘，核心要点是相乘的整数个数为$b$的绝对值，运算顺序遵循有理数混合运算的规则，有括号先算括号内的，再算括号外的。第一步先计算中括号里的$1*(-2)$，再将结果代入计算外层的$(-7)*[运算结果]$即可。
【解析】
先计算中括号内的$1*(-2)$：
根据新运算规则，$a=1$，$b=-2$，相乘的整数个数为$|-2|=2$，从1开始的连续2个整数是1、2，因此：
$1*(-2)=1×2=2$
再计算$(-7)*2$：
此时$a=-7$，$b=2$，相乘的整数个数为$|2|=2$，从$-7$开始的连续2个整数是$-7$、$-6$，因此：
$(-7)*2=(-7)×(-6)=42$
【答案】
$42$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，绝对值的应用
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，解题关键是准确抓住新运算的两个核心要素：起始整数$a$和相乘的整数个数$|b|$，按运算顺序分步计算，注意有理数乘法的符号判断，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
1. 为了使算式$(-0.125) × 3 × (-8) + (-12) × ( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{8} ) × 2$计算简便，可运用的运算律是
【 】
A.乘法交换律和乘法结合律
B.乘法结合律和分配律
C.乘法交换律和分配律
D.乘法交换律、乘法结合律和分配律
【 】
A.乘法交换律和乘法结合律
B.乘法结合律和分配律
C.乘法交换律和分配律
D.乘法交换律、乘法结合律和分配律
答案
D
解析
【分析】
拿到这类题，先观察算式的数字特征和结构，思考怎么计算更简便，再对应判断用到的运算律。首先看前半段$(-0.125)×3×(-8)$，我们知道$-0.125$和$-8$相乘得整数1，要让这两个数先算，首先需要交换3和$-8$的位置，这一步用到乘法交换律；交换后把$(-0.125)$和$(-8)$绑定优先计算，用到乘法结合律。再看后半段$(-12)×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{8})×2$，可以先把$(-12)$和2相乘得到整数值$-24$（用到乘法结合律），再把$-24$分别乘括号里的每一项，直接抵消分母算出整数结果，这一步用到乘法分配律。因此三种运算律都可以运用来简化计算。
【解析】
我们分步看简便计算过程中用到的运算律：
1. 计算前半部分$(-0.125)×3×(-8)$：
① 利用乘法交换律，交换因数3和$-8$的位置，原式变为$(-0.125)×(-8)×3$；
② 利用乘法结合律，先计算$(-0.125)×(-8)=1$，再计算$1×3=3$，大幅简化计算。
2. 计算后半部分$(-12)×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{8})×2$：
① 利用乘法结合律，先计算$(-12)×2=-24$，原式变为$-24×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{8})$；
② 利用乘法分配律，将$-24$分别乘括号内的各项，抵消分母简化计算：
$-24×\frac{1}{4} + (-24)×\frac{1}{3} + (-24)×(-\frac{1}{8}) = -6 -8 +3 = -11$。
整个简便计算过程用到了乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，故选D。
【答案】
D
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数简便运算中运算律的识别与运用，解题核心是观察算式中数字的特征，灵活选用合适的运算律降低计算量，要注意不同运算律的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.8
拿到这类题，先观察算式的数字特征和结构，思考怎么计算更简便，再对应判断用到的运算律。首先看前半段$(-0.125)×3×(-8)$，我们知道$-0.125$和$-8$相乘得整数1，要让这两个数先算，首先需要交换3和$-8$的位置，这一步用到乘法交换律；交换后把$(-0.125)$和$(-8)$绑定优先计算，用到乘法结合律。再看后半段$(-12)×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{8})×2$，可以先把$(-12)$和2相乘得到整数值$-24$（用到乘法结合律），再把$-24$分别乘括号里的每一项，直接抵消分母算出整数结果，这一步用到乘法分配律。因此三种运算律都可以运用来简化计算。
【解析】
我们分步看简便计算过程中用到的运算律：
1. 计算前半部分$(-0.125)×3×(-8)$：
① 利用乘法交换律，交换因数3和$-8$的位置，原式变为$(-0.125)×(-8)×3$；
② 利用乘法结合律，先计算$(-0.125)×(-8)=1$，再计算$1×3=3$，大幅简化计算。
2. 计算后半部分$(-12)×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{8})×2$：
① 利用乘法结合律，先计算$(-12)×2=-24$，原式变为$-24×(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{8})$；
② 利用乘法分配律，将$-24$分别乘括号内的各项，抵消分母简化计算：
$-24×\frac{1}{4} + (-24)×\frac{1}{3} + (-24)×(-\frac{1}{8}) = -6 -8 +3 = -11$。
整个简便计算过程用到了乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，故选D。
【答案】
D
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数简便运算中运算律的识别与运用，解题核心是观察算式中数字的特征，灵活选用合适的运算律降低计算量，要注意不同运算律的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数的个数可能为 【 】
A.0
B.2
C.1或3
D.4
A.0
B.2
C.1或3
D.4
答案
C
解析
【分析】
首先回忆多个有理数相乘的积的符号判定规则：几个不为0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负数，负因数个数为偶数时积为正数。本题中四个有理数相乘的积为负数，说明负因数的个数必须是奇数，在0到4的取值范围内，符合要求的奇数只有1和3，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。
已知四个有理数的乘积是负数，说明负因数的个数为奇数，四个数中负因数的可能个数为1个或3个，均为奇数，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法符号法则；多个有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察多个有理数相乘时积的符号和负因数个数的对应关系，牢记相关规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆多个有理数相乘的积的符号判定规则：几个不为0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负数，负因数个数为偶数时积为正数。本题中四个有理数相乘的积为负数，说明负因数的个数必须是奇数，在0到4的取值范围内，符合要求的奇数只有1和3，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。
已知四个有理数的乘积是负数，说明负因数的个数为奇数，四个数中负因数的可能个数为1个或3个，均为奇数，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法符号法则；多个有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察多个有理数相乘时积的符号和负因数个数的对应关系，牢记相关规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3. 五个非零有理数相乘，积为正数，则这些有理数不可能 【 】
A.五个都是正数
B.是两负三正
C.是四负一正
D.是两正三负
A.五个都是正数
B.是两负三正
C.是四负一正
D.是两正三负
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确多个非零有理数相乘的符号判断规则：积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。本题已知5个非零有理数的乘积为正数，说明负因数的个数必须是偶数（0个、2个、4个），接下来逐一分析各选项的负因数个数，不符合偶数要求的即为答案。
【解析】
根据多个非零有理数相乘的符号法则：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负，逐项分析：
A. 五个都是正数，负因数个数为0（偶数），乘积为正，该情况可能，不符合题意；
B. 两负三正，负因数个数为2（偶数），乘积为正，该情况可能，不符合题意；
C. 四负一正，负因数个数为4（偶数），乘积为正，该情况可能，不符合题意；
D. 两正三负，负因数个数为3（奇数），乘积为负，不可能满足积为正数的要求，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
多个非零有理数乘法符号法则、有理数乘法运算
【点评】
本题直接考察有理数乘法的符号判断规律，牢记“奇负偶正”的口诀即可快速解题，属于有理数乘法的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确多个非零有理数相乘的符号判断规则：积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。本题已知5个非零有理数的乘积为正数，说明负因数的个数必须是偶数（0个、2个、4个），接下来逐一分析各选项的负因数个数，不符合偶数要求的即为答案。
【解析】
根据多个非零有理数相乘的符号法则：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负，逐项分析：
A. 五个都是正数，负因数个数为0（偶数），乘积为正，该情况可能，不符合题意；
B. 两负三正，负因数个数为2（偶数），乘积为正，该情况可能，不符合题意；
C. 四负一正，负因数个数为4（偶数），乘积为正，该情况可能，不符合题意；
D. 两正三负，负因数个数为3（奇数），乘积为负，不可能满足积为正数的要求，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
多个非零有理数乘法符号法则、有理数乘法运算
【点评】
本题直接考察有理数乘法的符号判断规律，牢记“奇负偶正”的口诀即可快速解题，属于有理数乘法的基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 计算$(-28)×(-4+\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{4})$时应该使用什么运算律可使运算简便 【 】
A.加法交换律
B.乘法交换律
C.乘法结合律
D.分配律
A.加法交换律
B.乘法交换律
C.乘法结合律
D.分配律
答案
D
解析
【分析】
拿到题目首先观察算式结构：算式是一个整数乘括号内三个有理数的代数和，若先计算括号内的加减，需要对分数通分，计算较繁琐。再观察乘数-28和括号内分数的分母，发现-28是7和4的公倍数，若能让-28分别与括号内的每一项相乘，可直接消去分母得到整数，大幅简化运算。接下来回忆各运算律的适用场景：乘法分配律的形式为$a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d$，刚好匹配当前算式的结构，再逐一排除不符合的运算律即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 加法交换律适用于加法运算中交换加数的位置，本题是乘法与加法的混合运算，不符合适用场景，排除；
B. 乘法交换律的形式为$a×b=b×a$，作用是交换乘数的运算顺序，不适用于一个数乘多个数和的形式，排除；
C. 乘法结合律的形式为$(a×b)×c=a×(b×c)$，适用于多个有理数连乘的场景，本题不符合，排除；
D. 乘法分配律的形式为$a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d$，将本题的数代入得：$(-28)×(-4)+(-28)×\dfrac{3}{7}+(-28)×(-\dfrac{1}{4})$，计算每一项都得到整数，无需通分，运算十分简便，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；简便运算
【点评】
本题考查运算律的实际应用，解题核心是先观察算式的结构特征，结合数的特点匹配最合适的运算律，掌握好各运算律的适用场景是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先观察算式结构：算式是一个整数乘括号内三个有理数的代数和，若先计算括号内的加减，需要对分数通分，计算较繁琐。再观察乘数-28和括号内分数的分母，发现-28是7和4的公倍数，若能让-28分别与括号内的每一项相乘，可直接消去分母得到整数，大幅简化运算。接下来回忆各运算律的适用场景：乘法分配律的形式为$a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d$，刚好匹配当前算式的结构，再逐一排除不符合的运算律即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 加法交换律适用于加法运算中交换加数的位置，本题是乘法与加法的混合运算，不符合适用场景，排除；
B. 乘法交换律的形式为$a×b=b×a$，作用是交换乘数的运算顺序，不适用于一个数乘多个数和的形式，排除；
C. 乘法结合律的形式为$(a×b)×c=a×(b×c)$，适用于多个有理数连乘的场景，本题不符合，排除；
D. 乘法分配律的形式为$a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d$，将本题的数代入得：$(-28)×(-4)+(-28)×\dfrac{3}{7}+(-28)×(-\dfrac{1}{4})$，计算每一项都得到整数，无需通分，运算十分简便，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；简便运算
【点评】
本题考查运算律的实际应用，解题核心是先观察算式的结构特征，结合数的特点匹配最合适的运算律，掌握好各运算律的适用场景是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
5. 绝对值大于1且小于4的所有整数的积是
36
.答案
5. 36
解析
【分析】
解题需分两步走：第一步先根据绝对值的性质，找出所有满足“绝对值大于1且小于4”的整数，注意既要考虑正整数也要考虑负整数，避免遗漏；第二步将找到的所有整数按照有理数乘法的运算规则计算乘积，注意符号的处理。
【解析】
设符合条件的整数为$x$，由题意得$1＜|x|＜4$：
1. 当$x$为正整数时，$1＜x＜4$，可得整数$x=2,3$；
2. 当$x$为负整数时，$1＜-x＜4$，即$-4＜x＜-1$，可得整数$x=-3,-2$；
综上，符合条件的所有整数为$-3,-2,2,3$。
计算乘积：$(-3)×(-2)×2×3=6×6=36$。
【答案】
36
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题重点考察绝对值范围的应用和有理数乘法的计算，易错点是容易遗漏负整数，或者乘法运算时符号处理错误，解题时要先全面列举出所有符合条件的数，再按运算法则计算。
【难度系数】
0.7
解题需分两步走：第一步先根据绝对值的性质，找出所有满足“绝对值大于1且小于4”的整数，注意既要考虑正整数也要考虑负整数，避免遗漏；第二步将找到的所有整数按照有理数乘法的运算规则计算乘积，注意符号的处理。
【解析】
设符合条件的整数为$x$，由题意得$1＜|x|＜4$：
1. 当$x$为正整数时，$1＜x＜4$，可得整数$x=2,3$；
2. 当$x$为负整数时，$1＜-x＜4$，即$-4＜x＜-1$，可得整数$x=-3,-2$；
综上，符合条件的所有整数为$-3,-2,2,3$。
计算乘积：$(-3)×(-2)×2×3=6×6=36$。
【答案】
36
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题重点考察绝对值范围的应用和有理数乘法的计算，易错点是容易遗漏负整数，或者乘法运算时符号处理错误，解题时要先全面列举出所有符合条件的数，再按运算法则计算。
【难度系数】
0.7
6. $\frac{2}{3}×(-8)+\frac{2}{3}×(-13)=\frac{2}{3}[(-8)+(-13)]$依据的运算律是
分配律
。答案
6. 分配律
解析
【分析】
解题时首先回忆有理数乘法的三类运算律的形式：交换律为$a×b=b×a$，结合律为$(a×b)×c=a×(b×c)$，分配律为$a×(b+c)=a×b+a×c$（逆用也成立）。接下来观察等式结构：左边是两个含有公共因数$\frac{2}{3}$的乘法式子相加，右边是将公共因数$\frac{2}{3}$提取后，剩余两个因数相加再乘公共因数的形式，对比运算律的特征，可判断该变形符合乘法分配律的逆用，属于分配律的应用。
【解析】
乘法分配律的表达式为：对于任意有理数$a,b,c$，都有$a(b+c)=ab+ac$，反过来$ab+ac=a(b+c)$（分配律的逆用）也成立。
本题中$a=\frac{2}{3}$，$b=-8$，$c=-13$，等式$\frac{2}{3}×(-8)+\frac{2}{3}×(-13)=\frac{2}{3}[(-8)+(-13)]$完全符合$ab+ac=a(b+c)$的形式，因此依据的运算律是分配律。
【答案】
分配律
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算律
【点评】
本题是运算律识别的基础题型，核心是区分不同乘法运算律的结构特征，尤其要注意分配律的逆用也属于分配律的应用范畴，日常学习中要熟练掌握各类运算律的形式，为简便运算打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆有理数乘法的三类运算律的形式：交换律为$a×b=b×a$，结合律为$(a×b)×c=a×(b×c)$，分配律为$a×(b+c)=a×b+a×c$（逆用也成立）。接下来观察等式结构：左边是两个含有公共因数$\frac{2}{3}$的乘法式子相加，右边是将公共因数$\frac{2}{3}$提取后，剩余两个因数相加再乘公共因数的形式，对比运算律的特征，可判断该变形符合乘法分配律的逆用，属于分配律的应用。
【解析】
乘法分配律的表达式为：对于任意有理数$a,b,c$，都有$a(b+c)=ab+ac$，反过来$ab+ac=a(b+c)$（分配律的逆用）也成立。
本题中$a=\frac{2}{3}$，$b=-8$，$c=-13$，等式$\frac{2}{3}×(-8)+\frac{2}{3}×(-13)=\frac{2}{3}[(-8)+(-13)]$完全符合$ab+ac=a(b+c)$的形式，因此依据的运算律是分配律。
【答案】
分配律
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算律
【点评】
本题是运算律识别的基础题型，核心是区分不同乘法运算律的结构特征，尤其要注意分配律的逆用也属于分配律的应用范畴，日常学习中要熟练掌握各类运算律的形式，为简便运算打好基础。
【难度系数】
0.9
7. 计算：
(1) $(-45) × (-125) × (-8)$；
(2) $12 × 25 × (-\frac{1}{3}) × (-\frac{1}{50})$。
(1) $(-45) × (-125) × (-8)$；
(2) $12 × 25 × (-\frac{1}{3}) × (-\frac{1}{50})$。
答案
7. (1) -45 000 (2) 2
解析
【分析】
解决多个有理数乘法运算题时，思路分两步走：第一步先数负因数的个数，根据“奇负偶正”的规律确定最终积的符号；第二步观察数字特征，灵活运用乘法交换律、结合律，把能凑整、能约分的数优先结合计算，简化运算过程。
对于第(1)题，后两个因数-125和-8相乘刚好得整千数，因此用乘法结合律先算这两个的积，再和第一个因数相乘即可。
对于第(2)题，12和$-\frac{1}{3}$、25和$-\frac{1}{50}$分别相乘可以直接约分，因此用乘法交换律、结合律分组计算，再求最终的积。
【解析】
(1) 利用乘法结合律计算：
原式$= (-45) × [ (-125) × (-8) ]$
先计算括号内的乘法：$(-125) × (-8) = 1000$
再计算剩余乘法：$(-45) × 1000 = -45000$
(2) 利用乘法交换律和结合律分组计算：
原式$= [ 12 × ( -\frac{1}{3} ) ] × [ 25 × ( -\frac{1}{50} ) ]$
分别计算两个括号内的乘法：
$12 × ( -\frac{1}{3} ) = -4$，$25 × ( -\frac{1}{50} ) = -\frac{1}{2}$
再计算两个结果的乘积：$(-4) × ( -\frac{1}{2} ) = 2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-45000}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法结合律；乘法交换律
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心是先定符号再计算，合理运用运算律可以避免复杂计算，降低出错概率，熟练掌握凑整、约分技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决多个有理数乘法运算题时，思路分两步走：第一步先数负因数的个数，根据“奇负偶正”的规律确定最终积的符号；第二步观察数字特征，灵活运用乘法交换律、结合律，把能凑整、能约分的数优先结合计算，简化运算过程。
对于第(1)题，后两个因数-125和-8相乘刚好得整千数，因此用乘法结合律先算这两个的积，再和第一个因数相乘即可。
对于第(2)题，12和$-\frac{1}{3}$、25和$-\frac{1}{50}$分别相乘可以直接约分，因此用乘法交换律、结合律分组计算，再求最终的积。
【解析】
(1) 利用乘法结合律计算：
原式$= (-45) × [ (-125) × (-8) ]$
先计算括号内的乘法：$(-125) × (-8) = 1000$
再计算剩余乘法：$(-45) × 1000 = -45000$
(2) 利用乘法交换律和结合律分组计算：
原式$= [ 12 × ( -\frac{1}{3} ) ] × [ 25 × ( -\frac{1}{50} ) ]$
分别计算两个括号内的乘法：
$12 × ( -\frac{1}{3} ) = -4$，$25 × ( -\frac{1}{50} ) = -\frac{1}{2}$
再计算两个结果的乘积：$(-4) × ( -\frac{1}{2} ) = 2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-45000}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法结合律；乘法交换律
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心是先定符号再计算，合理运用运算律可以避免复杂计算，降低出错概率，熟练掌握凑整、约分技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
