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9. 从-5、-4、1、3、5这五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为 【 】
A.$-25$
B.$25$
C.$15$
D.$20$
A.$-25$
B.$25$
C.$15$
D.$20$
答案
D
解析
【分析】
要找到两个数相乘的最大积，首先结合有理数乘法法则“同号得正，异号得负”可知，正数一定大于负数，因此只需计算同号两数相乘的结果，再比较大小即可。第一步先列出所有同号两数的组合，分别计算乘积，第二步比较这些乘积的大小，最大的就是所求结果。
【解析】
根据有理数乘法法则，只有积为正数时才可能是最大值，因此分两类计算：
1. 两个负数相乘：可选的负数为-5、-4，乘积为$(-5)×(-4)=20$；
2. 两个正数相乘：可选的正数为1、3、5，其中乘积最大的两个正数是3和5，乘积为$3×5=15$。
比较两个结果的大小，$20＞15$，因此所得积的最大值为20。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题容易出现两类错误：一是忽略负负得正的情况，仅计算正数相乘的结果误选C；二是误认为可以重复取数，得到$5×5=25$误选B。解题时要注意审题，明确是任取两个不同的数，结合乘法符号法则全面分析。
【难度系数】
0.7
要找到两个数相乘的最大积，首先结合有理数乘法法则“同号得正，异号得负”可知，正数一定大于负数，因此只需计算同号两数相乘的结果，再比较大小即可。第一步先列出所有同号两数的组合，分别计算乘积，第二步比较这些乘积的大小，最大的就是所求结果。
【解析】
根据有理数乘法法则，只有积为正数时才可能是最大值，因此分两类计算：
1. 两个负数相乘：可选的负数为-5、-4，乘积为$(-5)×(-4)=20$；
2. 两个正数相乘：可选的正数为1、3、5，其中乘积最大的两个正数是3和5，乘积为$3×5=15$。
比较两个结果的大小，$20＞15$，因此所得积的最大值为20。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题容易出现两类错误：一是忽略负负得正的情况，仅计算正数相乘的结果误选C；二是误认为可以重复取数，得到$5×5=25$误选B。解题时要注意审题，明确是任取两个不同的数，结合乘法符号法则全面分析。
【难度系数】
0.7
10. 如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧，那么这两个有理数的积 【 】
A.一定为正
B.一定为负
C.为 0
D.可能为正，也可能为负
A.一定为正
B.一定为负
C.为 0
D.可能为正，也可能为负
答案
A
解析
【分析】
解题时先从题目给出的条件入手：首先明确数轴上原点同侧的数的符号特征，原点右侧的数都是正数，左侧的数都是负数，因此同侧的两个有理数符号一定相同；再结合有理数乘法的符号法则判断乘积的符号，即可得出答案。
【解析】
已知两个有理数在数轴上的对应点在原点同侧，分两种情况讨论：
1. 若两个点都在原点右侧，则这两个数都是正数，根据有理数乘法法则，正数乘正数，积为正数；
2. 若两个点都在原点左侧，则这两个数都是负数，根据有理数乘法法则，负数乘负数，积为正数。
因此这两个有理数的积一定为正，故选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的认识；有理数乘法法则
【点评】
本题是基础概念应用题，需要结合数轴上数的分布特征和乘法运算的符号规律共同判断，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先从题目给出的条件入手：首先明确数轴上原点同侧的数的符号特征，原点右侧的数都是正数，左侧的数都是负数，因此同侧的两个有理数符号一定相同；再结合有理数乘法的符号法则判断乘积的符号，即可得出答案。
【解析】
已知两个有理数在数轴上的对应点在原点同侧，分两种情况讨论：
1. 若两个点都在原点右侧，则这两个数都是正数，根据有理数乘法法则，正数乘正数，积为正数；
2. 若两个点都在原点左侧，则这两个数都是负数，根据有理数乘法法则，负数乘负数，积为正数。
因此这两个有理数的积一定为正，故选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的认识；有理数乘法法则
【点评】
本题是基础概念应用题，需要结合数轴上数的分布特征和乘法运算的符号规律共同判断，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11. 若a、b满足$a+b＞0$，$ab＜0$，则
【 】
A.$|a|＞|b|$
B.当$a＞0$，$b＜0$时，$|a|＞|b|$
C.当$a＜0$，$b＞0$时，$|a|＞|b|$
D.$|a|＜|b|$
【 】
A.$|a|＞|b|$
B.当$a＞0$，$b＜0$时，$|a|＞|b|$
C.当$a＜0$，$b＞0$时，$|a|＞|b|$
D.$|a|＜|b|$
答案
B
解析
【分析】
拿到这道题我们可以分两步推导：第一步，先根据$ab＜0$判断a、b的符号关系，由有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，可知a和b一个是正数、一个是负数；第二步，结合$a+b＞0$的条件，根据异号两数相加的规则：异号两数相加，和的符号与绝对值更大的加数保持一致，现在和为正数，说明两个数里正数的绝对值大于负数的绝对值。接下来对应分析每个选项，排除不符合推导结论的选项即可得到正确答案。
【解析】
解：①由$ab＜0$，根据有理数乘法法则“异号两数相乘，积为负”，可得a、b异号，即两数一正一负。
②由$a+b＞0$，根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，可得两个数中正数的绝对值大于负数的绝对值。
接下来逐个分析选项：
A. 未明确a、b谁为正谁为负，无法直接判断$|a|$和$|b|$的大小，故A错误；
B. 当$a＞0$，$b＜0$时，a是正数、b是负数，结合②的结论，正数绝对值更大，即$|a|＞|b|$，故B正确；
C. 当$a＜0$，$b＞0$时，b是正数、a是负数，结合②的结论，应该是$|b|＞|a|$，故C错误；
D. 未明确a、b谁为正谁为负，无法直接判断$|a|$和$|b|$的大小，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算法则的综合应用题，解题的核心是先通过乘法的符号判断两数异号，再通过加法的符号判断两数绝对值的大小关系，做题时要注意不要忽略两数正负的不确定性，避免误选没有限定条件的选项。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以分两步推导：第一步，先根据$ab＜0$判断a、b的符号关系，由有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，可知a和b一个是正数、一个是负数；第二步，结合$a+b＞0$的条件，根据异号两数相加的规则：异号两数相加，和的符号与绝对值更大的加数保持一致，现在和为正数，说明两个数里正数的绝对值大于负数的绝对值。接下来对应分析每个选项，排除不符合推导结论的选项即可得到正确答案。
【解析】
解：①由$ab＜0$，根据有理数乘法法则“异号两数相乘，积为负”，可得a、b异号，即两数一正一负。
②由$a+b＞0$，根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，可得两个数中正数的绝对值大于负数的绝对值。
接下来逐个分析选项：
A. 未明确a、b谁为正谁为负，无法直接判断$|a|$和$|b|$的大小，故A错误；
B. 当$a＞0$，$b＜0$时，a是正数、b是负数，结合②的结论，正数绝对值更大，即$|a|＞|b|$，故B正确；
C. 当$a＜0$，$b＞0$时，b是正数、a是负数，结合②的结论，应该是$|b|＞|a|$，故C错误；
D. 未明确a、b谁为正谁为负，无法直接判断$|a|$和$|b|$的大小，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算法则的综合应用题，解题的核心是先通过乘法的符号判断两数异号，再通过加法的符号判断两数绝对值的大小关系，做题时要注意不要忽略两数正负的不确定性，避免误选没有限定条件的选项。
【难度系数】
0.7
12. 王老师将－5、－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片. 除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如下表：
则甲拿的两张卡片上的数字之积为
则甲拿的两张卡片上的数字之积为
0
，乙拿的两张卡片上的数字之积为-2
.答案
12. 0 -2
解析
【分析】
解题时先计算十张卡片的数字总和，再计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和的总和，二者作差得到甲的两张卡片的和。接着从数值最特殊、组合唯一的丙的和-8入手，先确定丙的卡片，再结合甲的和确定甲的卡片，后续依次推导戊、丁、乙的卡片，最后计算对应乘积即可。
【解析】
1. 计算10张卡片的数字总和：
$-5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=-5$
2. 计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和的总和：
$1+(-8)+2+4=-1$
3. 计算甲的两张卡片之和：
总总和减去四人的和总和，即$-5 - (-1) = -4$
4. 确定丙的卡片：10个数字中，只有$-5+(-3)=-8$，因此丙拿的是-5和-3，剩余数字为：-4、-2、-1、0、1、2、3、4
5. 确定甲的卡片：剩余数字中只有$-4+0=-4$，因此甲拿的是-4和0，两数乘积为$-4 × 0 = 0$；此时剩余数字为：-2、-1、1、2、3、4
6. 确定戊的卡片：剩余数字中只有$1+3=4$，因此戊拿的是1和3，剩余数字为：-2、-1、2、4
7. 确定丁的卡片：剩余数字中只有$-2+4=2$，因此丁拿的是-2和4，剩余的-1和2之和为$(-1)+2=1$，正好对应乙的和，因此乙拿的是-1和2，两数乘积为$(-1) × 2 = -2$
【答案】
0；-2
【知识点】
有理数加法；有理数乘法；逻辑推理
【点评】
本题属于有理数运算结合逻辑推理的题型，解题关键是从唯一组合的和入手，逐步缩小范围确定各张卡片，既考察了有理数的加减乘运算能力，也锻炼了分步推理的思维。
【难度系数】
0.6
解题时先计算十张卡片的数字总和，再计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和的总和，二者作差得到甲的两张卡片的和。接着从数值最特殊、组合唯一的丙的和-8入手，先确定丙的卡片，再结合甲的和确定甲的卡片，后续依次推导戊、丁、乙的卡片，最后计算对应乘积即可。
【解析】
1. 计算10张卡片的数字总和：
$-5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=-5$
2. 计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和的总和：
$1+(-8)+2+4=-1$
3. 计算甲的两张卡片之和：
总总和减去四人的和总和，即$-5 - (-1) = -4$
4. 确定丙的卡片：10个数字中，只有$-5+(-3)=-8$，因此丙拿的是-5和-3，剩余数字为：-4、-2、-1、0、1、2、3、4
5. 确定甲的卡片：剩余数字中只有$-4+0=-4$，因此甲拿的是-4和0，两数乘积为$-4 × 0 = 0$；此时剩余数字为：-2、-1、1、2、3、4
6. 确定戊的卡片：剩余数字中只有$1+3=4$，因此戊拿的是1和3，剩余数字为：-2、-1、2、4
7. 确定丁的卡片：剩余数字中只有$-2+4=2$，因此丁拿的是-2和4，剩余的-1和2之和为$(-1)+2=1$，正好对应乙的和，因此乙拿的是-1和2，两数乘积为$(-1) × 2 = -2$
【答案】
0；-2
【知识点】
有理数加法；有理数乘法；逻辑推理
【点评】
本题属于有理数运算结合逻辑推理的题型，解题关键是从唯一组合的和入手，逐步缩小范围确定各张卡片，既考察了有理数的加减乘运算能力，也锻炼了分步推理的思维。
【难度系数】
0.6
13. 定义一种新的运算:对任意有理数a、b,规定$a⊙b=4ab$,如$2⊙3=4×2×3=24$.求:
(1)$3⊙(-4)$的值;
(2)$(-2)⊙(-6⊙3)$的值.
(1)$3⊙(-4)$的值;
(2)$(-2)⊙(-6⊙3)$的值.
答案
(1) $3⊙(-4) = 4×3×(-4) = -48$ (2) $(-2)⊙(-6⊙3) = (-2)⊙[4×(-6)×3] = (-2)⊙(-72) = 4×(-2)×(-72) = 576$
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“⊙”的规则：任意两个有理数a、b做⊙运算，结果等于4乘a乘b。①计算第(1)问时，直接把a替换为3、b替换为-4，代入新运算公式计算即可；②计算第(2)问时，遵循“有括号先算括号内”的有理数运算顺序，先算出内层-6⊙3的结果，再把该结果作为新的运算数，和-2代入公式计算外层的新运算即可，计算时要注意有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a⊙b=4ab$，代入$a=3$，$b=-4$：
$3⊙(-4) = 4×3×(-4) = -48$
(2) 先计算括号内的$-6⊙3$，代入$a=-6$，$b=3$：
$-6⊙3 = 4×(-6)×3 = -72$
再计算$(-2)⊙(-72)$，代入$a=-2$，$b=-72$：
$(-2)⊙(-72) = 4×(-2)×(-72) = 576$
【答案】
(1) $\boxed{-48}$；(2) $\boxed{576}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，运算顺序
【点评】
本题考查新运算规则的应用和有理数乘法计算能力，解题关键是准确理解新运算的规则，同时遵循常规有理数运算顺序，计算时注意判断乘积的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“⊙”的规则：任意两个有理数a、b做⊙运算，结果等于4乘a乘b。①计算第(1)问时，直接把a替换为3、b替换为-4，代入新运算公式计算即可；②计算第(2)问时，遵循“有括号先算括号内”的有理数运算顺序，先算出内层-6⊙3的结果，再把该结果作为新的运算数，和-2代入公式计算外层的新运算即可，计算时要注意有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a⊙b=4ab$，代入$a=3$，$b=-4$：
$3⊙(-4) = 4×3×(-4) = -48$
(2) 先计算括号内的$-6⊙3$，代入$a=-6$，$b=3$：
$-6⊙3 = 4×(-6)×3 = -72$
再计算$(-2)⊙(-72)$，代入$a=-2$，$b=-72$：
$(-2)⊙(-72) = 4×(-2)×(-72) = 576$
【答案】
(1) $\boxed{-48}$；(2) $\boxed{576}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，运算顺序
【点评】
本题考查新运算规则的应用和有理数乘法计算能力，解题关键是准确理解新运算的规则，同时遵循常规有理数运算顺序，计算时注意判断乘积的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
14. 在1、-2、3、-4、-5中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b.
(1) 求ab的值；
(2) 若$|x+a|+|y-b|=0$，求$x+y$的值.
(1) 求ab的值；
(2) 若$|x+a|+|y-b|=0$，求$x+y$的值.
答案
(1) 根据题意可知,当两个数是同号,且绝对值是最大的两个数时,乘积最大,所以$a = (-4)×(-5) = 20$;当两个数是异号,且绝对值是最大的两个数时,乘积最小,所以$b = -5×3 = -15$. 所以$ab = 20×(-15) = -300$ (2) 因为$|x+a|+|y-b| = 0$,$|x+a|≥0$,$|y-b|≥0$. 所以$|x+a| = |y-b| = 0$. 所以$x+a = 0$,$y-b = 0$. 所以$x = -a = -20$,$y = b = -15$,所以$x+y = -20+(-15) = -35$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 首先根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负”，要得到最大的积a，需要找乘积为正数且绝对值最大的两个数，即比较所有同号两数的乘积，选出最大的；要得到最小的积b，需要找乘积为负数且绝对值最大的两个数，即比较所有异号两数的乘积，选出最小的，最后计算ab的值即可。(2) 利用绝对值的非负性：两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的值，再计算x+y即可。
【解析】
(1) 要得到最大的乘积，需选取同号且绝对值最大的两个数相乘：
给出的数中，两个负数-4、-5的绝对值最大，乘积为$(-4)×(-5)=20$，远大于两个正数1、3的乘积$1×3=3$，因此最大积$a=20$；
要得到最小的乘积，需选取异号且绝对值最大的两个数相乘：
选取最大的正数3和绝对值最大的负数-5相乘，乘积为$3×(-5)=-15$，是所有异号乘积中最小的，因此最小积$b=-15$；
则$ab=20×(-15)=-300$。
(2) 因为绝对值具有非负性，即$|x+a|≥0$，$|y-b|≥0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数均为0，即：
$|x+a|=0$，$|y-b|=0$
可得$x+a=0$，$y-b=0$
代入$a=20$，$b=-15$，解得：
$x=-a=-20$，$y=b=-15$
因此$x+y=-20+(-15)=-35$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-300}$；(2) $\boldsymbol{-35}$
【知识点】
有理数乘法法则；绝对值的非负性
【点评】
本题解题的核心是先结合有理数乘法规律正确确定a和b的值，再利用绝对值的非负性求解代数式的值，计算时要注意符号，避免因找错a、b的值导致后续计算错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 首先根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负”，要得到最大的积a，需要找乘积为正数且绝对值最大的两个数，即比较所有同号两数的乘积，选出最大的；要得到最小的积b，需要找乘积为负数且绝对值最大的两个数，即比较所有异号两数的乘积，选出最小的，最后计算ab的值即可。(2) 利用绝对值的非负性：两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的值，再计算x+y即可。
【解析】
(1) 要得到最大的乘积，需选取同号且绝对值最大的两个数相乘：
给出的数中，两个负数-4、-5的绝对值最大，乘积为$(-4)×(-5)=20$，远大于两个正数1、3的乘积$1×3=3$，因此最大积$a=20$；
要得到最小的乘积，需选取异号且绝对值最大的两个数相乘：
选取最大的正数3和绝对值最大的负数-5相乘，乘积为$3×(-5)=-15$，是所有异号乘积中最小的，因此最小积$b=-15$；
则$ab=20×(-15)=-300$。
(2) 因为绝对值具有非负性，即$|x+a|≥0$，$|y-b|≥0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数均为0，即：
$|x+a|=0$，$|y-b|=0$
可得$x+a=0$，$y-b=0$
代入$a=20$，$b=-15$，解得：
$x=-a=-20$，$y=b=-15$
因此$x+y=-20+(-15)=-35$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-300}$；(2) $\boldsymbol{-35}$
【知识点】
有理数乘法法则；绝对值的非负性
【点评】
本题解题的核心是先结合有理数乘法规律正确确定a和b的值，再利用绝对值的非负性求解代数式的值，计算时要注意符号，避免因找错a、b的值导致后续计算错误。
【难度系数】
0.7
