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5. 如图,点 O 在直线 AB 上,点 $ A_1,A_2,A_3,\dots $ 在射线 OA 上,点 $ B_1,B_2,B_3,\dots $ 在射线 OB 上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度。一个动点 M 从 O 点出发,以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点 O 为圆心的半圆匀速运动,即从 $ O \to A_1 \to B_1 \to B_2 \to A_2 \dots $ 按此规律,动点 M 到达 $ A_{10} $ 点处所需时间为 ()
A.$ (10+55π) $ s
B.$ (20+55π) $ s
C.$ (10+110π) $ s
D.$ (20+110π) $ s
A.$ (10+55π) $ s
B.$ (20+55π) $ s
C.$ (10+110π) $ s
D.$ (20+110π) $ s
答案
A
解析
【分析】
解题时可将动点M的总路程拆分为直线段路程和半圆弧路程两部分分别计算：①先观察直线段规律：每段实线段长为1，到达Aₖ点时走过的直线段总长度恰好等于k个单位；②再观察半圆弧规律：到达偶数位置的Aₙ时，共走过n个半圆，半径依次为1,2,…,n，半圆的弧长为πr，可利用首尾相加的简便方法计算半径的和，进而求出总弧长；最后结合速度为1单位/秒，总路程的数值就等于总时间的数值。
【解析】
解：动点M的运动路程分为直线段和半圆弧两部分：
1. 计算直线段总长度：
每段实线段长度为1，到达A₁₀时共走过10段直线段，总长度为：$10×1=10$（单位）
2. 计算半圆弧总长度：
半圆的弧长公式为$l=π r$（r为半圆半径），到达A₁₀时走过的半圆半径依次为1、2、3…、10，
弧长总和为：$π×1+π×2+\dots+π×10=π×(1+2+\dots+10)$
其中$1+2+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，因此弧长总和为$55π$（单位）
3. 计算总时间：
总路程为$10+55π$单位，已知运动速度为1单位/秒，因此所需时间为$(10+55π)\ \mathrm{s}$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，半圆弧长计算，有理数求和
【点评】
本题属于规律型行程问题，核心是拆分运动路径，分别找到直线段和弧长的变化规律，结合基础的几何公式和简便计算方法即可求解，易错点是容易漏算或多算半圆的数量。
【难度系数】
0.6
解题时可将动点M的总路程拆分为直线段路程和半圆弧路程两部分分别计算：①先观察直线段规律：每段实线段长为1，到达Aₖ点时走过的直线段总长度恰好等于k个单位；②再观察半圆弧规律：到达偶数位置的Aₙ时，共走过n个半圆，半径依次为1,2,…,n，半圆的弧长为πr，可利用首尾相加的简便方法计算半径的和，进而求出总弧长；最后结合速度为1单位/秒，总路程的数值就等于总时间的数值。
【解析】
解：动点M的运动路程分为直线段和半圆弧两部分：
1. 计算直线段总长度：
每段实线段长度为1，到达A₁₀时共走过10段直线段，总长度为：$10×1=10$（单位）
2. 计算半圆弧总长度：
半圆的弧长公式为$l=π r$（r为半圆半径），到达A₁₀时走过的半圆半径依次为1、2、3…、10，
弧长总和为：$π×1+π×2+\dots+π×10=π×(1+2+\dots+10)$
其中$1+2+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，因此弧长总和为$55π$（单位）
3. 计算总时间：
总路程为$10+55π$单位，已知运动速度为1单位/秒，因此所需时间为$(10+55π)\ \mathrm{s}$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，半圆弧长计算，有理数求和
【点评】
本题属于规律型行程问题，核心是拆分运动路径，分别找到直线段和弧长的变化规律，结合基础的几何公式和简便计算方法即可求解，易错点是容易漏算或多算半圆的数量。
【难度系数】
0.6
6. 如图,由图①、图②和图③中正方形个数的关系得到$1^3+2^3=3^2$。类似地,继续结合图形验证你的猜想,并应用其蕴含的规律可得$1^3+2^3+3^3+\dots+100^3=$(结果保留幂的形式)
答案
解：
验证规律：
$1^3 = 1 = 1^2$
$1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2 = 3^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = (1+2+3)^2 = 6^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = (1+2+3+4)^2 = 10^2$
归纳可得一般规律：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1+2+3+\dots+n)^2$
当$n=100$时，$1+2+3+\dots+100 = \frac{100×(1+100)}{2} = 5050$
因此$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3 = 5050^2$
$\boxed{5050^2}$
验证规律：
$1^3 = 1 = 1^2$
$1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2 = 3^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = (1+2+3)^2 = 6^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = (1+2+3+4)^2 = 10^2$
归纳可得一般规律：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1+2+3+\dots+n)^2$
当$n=100$时，$1+2+3+\dots+100 = \frac{100×(1+100)}{2} = 5050$
因此$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3 = 5050^2$
$\boxed{5050^2}$
解析
【分析】
首先观察题目给出的示例等式：$1^3+2^3=3^2$，发现等号右侧的底数3恰好是左侧立方项的底数1与2的和。我们可以通过多组例子验证猜想：先计算$1^3$、$1^3+2^3+3^3$等算式的结果，对比对应底数和的平方，即可归纳得到通用规律：从1开始的连续n个正整数的立方和，等于这n个正整数的和的平方。最后代入n=100，先计算1到100的和，再平方即可得到结果。
【解析】
先验证规律：
$1^3 = 1 = 1^2$
$1^3 + 2^3 = 1+8=9 = (1+2)^2 = 3^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1+8+27=36 = (1+2+3)^2 = 6^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1+8+27+64=100 = (1+2+3+4)^2 = 10^2$
归纳可得一般规律：$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1+2+3+\dots+n)^2$
当$n=100$时，根据连续整数求和方法：
$1+2+3+\dots+100 = \frac{100×(1+100)}{2} = 5050$
因此$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3 = 5050^2$
【答案】
$\boxed{5050^2}$
【知识点】
1. 乘方运算 2. 规律归纳 3. 连续整数求和
【点评】
本题借助图形直观引导学生探索连续正整数的立方和规律，重点考查观察归纳能力和基础运算能力，掌握该规律可大幅简化同类求和问题的计算。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的示例等式：$1^3+2^3=3^2$，发现等号右侧的底数3恰好是左侧立方项的底数1与2的和。我们可以通过多组例子验证猜想：先计算$1^3$、$1^3+2^3+3^3$等算式的结果，对比对应底数和的平方，即可归纳得到通用规律：从1开始的连续n个正整数的立方和，等于这n个正整数的和的平方。最后代入n=100，先计算1到100的和，再平方即可得到结果。
【解析】
先验证规律：
$1^3 = 1 = 1^2$
$1^3 + 2^3 = 1+8=9 = (1+2)^2 = 3^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1+8+27=36 = (1+2+3)^2 = 6^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1+8+27+64=100 = (1+2+3+4)^2 = 10^2$
归纳可得一般规律：$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1+2+3+\dots+n)^2$
当$n=100$时，根据连续整数求和方法：
$1+2+3+\dots+100 = \frac{100×(1+100)}{2} = 5050$
因此$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3 = 5050^2$
【答案】
$\boxed{5050^2}$
【知识点】
1. 乘方运算 2. 规律归纳 3. 连续整数求和
【点评】
本题借助图形直观引导学生探索连续正整数的立方和规律，重点考查观察归纳能力和基础运算能力，掌握该规律可大幅简化同类求和问题的计算。
【难度系数】
0.7
7. 火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏。这种游戏形式万千，可简可繁。在学习了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动。他们按照如图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数、正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与数学探究活动。
(1)观察发现:观察图中拼成三角形和正方形的个数及所用火柴棒根数,并填写下表中的空格。
| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | …… |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成的三角形个数 | 1 | 2 | | | … |
| 拼成的正方形个数 | 3 | 5 | | | … |
| 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 | | | … |
(2)拓展探究:按如图所示的方法拼成的第n个图中,三角形和正方形的个数各有多少?所用的火柴棒总根数是多少?(用含n的代数式表示)
(3)迁移应用:按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个?共需要火柴棒多少根?
(1)观察发现:观察图中拼成三角形和正方形的个数及所用火柴棒根数,并填写下表中的空格。
| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | …… |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成的三角形个数 | 1 | 2 | | | … |
| 拼成的正方形个数 | 3 | 5 | | | … |
| 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 | | | … |
(2)拓展探究:按如图所示的方法拼成的第n个图中,三角形和正方形的个数各有多少?所用的火柴棒总根数是多少?(用含n的代数式表示)
(3)迁移应用:按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个?共需要火柴棒多少根?
答案
解：
(1) 表格空格依次填写：
拼成的三角形个数行：3，4；
拼成的正方形个数行：7，9；
所用火柴棒总根数行：28，36。
(2) 观察已知图形的数值规律：
第1个图：三角形个数$1=1$，正方形个数$3=2×1+1$，火柴棒根数$12=8×1+4$；
第2个图：三角形个数$2=2$，正方形个数$5=2×2+1$，火柴棒根数$20=8×2+4$；
归纳可得第$n$个图中：
拼成的三角形个数为$n$，
拼成的正方形个数为$2n+1$，
所用火柴棒总根数为$8n+4$。
(3) 将$n=10$代入对应代数式：
三角形个数为$10$，
正方形个数为$2×10+1=21$，
火柴棒总根数为$8×10+4=84$。
答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要火柴棒84根。
(1) 表格空格依次填写：
拼成的三角形个数行：3，4；
拼成的正方形个数行：7，9；
所用火柴棒总根数行：28，36。
(2) 观察已知图形的数值规律：
第1个图：三角形个数$1=1$，正方形个数$3=2×1+1$，火柴棒根数$12=8×1+4$；
第2个图：三角形个数$2=2$，正方形个数$5=2×2+1$，火柴棒根数$20=8×2+4$；
归纳可得第$n$个图中：
拼成的三角形个数为$n$，
拼成的正方形个数为$2n+1$，
所用火柴棒总根数为$8n+4$。
(3) 将$n=10$代入对应代数式：
三角形个数为$10$，
正方形个数为$2×10+1=21$，
火柴棒总根数为$8×10+4=84$。
答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要火柴棒84根。
解析
【分析】
解题思路分为三步：
1. 完成第一问表格：先观察前2个图形的数值变化规律，三角形个数每次递增1，正方形个数每次递增2，火柴棒总根数每次递增8，按照规律计算第3、4个图形对应的数值即可；
2. 解决第二问规律归纳：将前几个图形的数值和对应序号n关联，从特殊情况推导得出通用的含n的代数式；
3. 完成第三问计算：把n=10代入第二问得到的代数式，计算即可得到对应结果。
【解析】
(1) 根据已知数值的变化规律计算：
三角形个数：第1个为1，第2个为2，依次加1，因此第3个为$2+1=3$，第4个为$3+1=4$；
正方形个数：第1个为3，第2个为5，依次加2，因此第3个为$5+2=7$，第4个为$7+2=9$；
火柴棒总根数：第1个为12，第2个为20，依次加8，因此第3个为$20+8=28$，第4个为$28+8=36$。
(2) 对比图形序号和对应数值归纳规律：
第n个图中，三角形个数与序号n相等，即$n$个；
正方形个数：第1个为$2×1+1=3$，第2个为$2×2+1=5$，以此类推，第n个为$2n+1$个；
火柴棒总根数：第1个为$8×1+4=12$，第2个为$8×2+4=20$，以此类推，第n个为$8n+4$根。
(3) 将$n=10$代入上述代数式计算：
三角形个数：$n=10$；
正方形个数：$2×10+1=21$；
火柴棒总根数：$8×10+4=84$。
【答案】
(1) 拼成的三角形个数行：3，4；拼成的正方形个数行：7，9；所用火柴棒总根数行：28，36；
(2) 第n个图中三角形个数为$n$，正方形个数为$2n+1$，所用火柴棒总根数为$8n+4$；
(3) 第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要火柴棒84根。
【知识点】
规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题以火柴拼图为载体，考查从特殊到一般的归纳推理能力，需要通过观察数值变化总结通用规律，再应用规律解决具体问题，是规律探究类的典型题型，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.75
解题思路分为三步：
1. 完成第一问表格：先观察前2个图形的数值变化规律，三角形个数每次递增1，正方形个数每次递增2，火柴棒总根数每次递增8，按照规律计算第3、4个图形对应的数值即可；
2. 解决第二问规律归纳：将前几个图形的数值和对应序号n关联，从特殊情况推导得出通用的含n的代数式；
3. 完成第三问计算：把n=10代入第二问得到的代数式，计算即可得到对应结果。
【解析】
(1) 根据已知数值的变化规律计算：
三角形个数：第1个为1，第2个为2，依次加1，因此第3个为$2+1=3$，第4个为$3+1=4$；
正方形个数：第1个为3，第2个为5，依次加2，因此第3个为$5+2=7$，第4个为$7+2=9$；
火柴棒总根数：第1个为12，第2个为20，依次加8，因此第3个为$20+8=28$，第4个为$28+8=36$。
(2) 对比图形序号和对应数值归纳规律：
第n个图中，三角形个数与序号n相等，即$n$个；
正方形个数：第1个为$2×1+1=3$，第2个为$2×2+1=5$，以此类推，第n个为$2n+1$个；
火柴棒总根数：第1个为$8×1+4=12$，第2个为$8×2+4=20$，以此类推，第n个为$8n+4$根。
(3) 将$n=10$代入上述代数式计算：
三角形个数：$n=10$；
正方形个数：$2×10+1=21$；
火柴棒总根数：$8×10+4=84$。
【答案】
(1) 拼成的三角形个数行：3，4；拼成的正方形个数行：7，9；所用火柴棒总根数行：28，36；
(2) 第n个图中三角形个数为$n$，正方形个数为$2n+1$，所用火柴棒总根数为$8n+4$；
(3) 第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要火柴棒84根。
【知识点】
规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题以火柴拼图为载体，考查从特殊到一般的归纳推理能力，需要通过观察数值变化总结通用规律，再应用规律解决具体问题，是规律探究类的典型题型，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.75
