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8.【回顾教材】教材3.3“探索与表达规律”的课后习题中有这样一个题目:将连续奇数1,3,5,7,9,…排成如图①所示的数表,十字形框上下左右移动,十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系? 。
【变式探究】如图②所示的数表,十字形框上下左右移动,十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图①中的关系?请说明理由。
【拓展延伸】如图③所示的数表,记$P_{mn}$表示第$m$行第$n$个数,如$P_{23}$表示第2行第3个数是17。
(1)$P_{54}=$ 。
(2)如图③所示的数表中的T字形框上下左右移动,T字形框中的四个数之和能否等于296?若能,求出四个数中的最大数;若不能,请说明理由。
(3)用含$m,n$的代数式表示$P_{mn}=$ 。
【变式探究】如图②所示的数表,十字形框上下左右移动,十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图①中的关系?请说明理由。
【拓展延伸】如图③所示的数表,记$P_{mn}$表示第$m$行第$n$个数,如$P_{23}$表示第2行第3个数是17。
(1)$P_{54}=$ 。
(2)如图③所示的数表中的T字形框上下左右移动,T字形框中的四个数之和能否等于296?若能,求出四个数中的最大数;若不能,请说明理由。
(3)用含$m,n$的代数式表示$P_{mn}=$ 。
答案
解：
【回顾教材】十字形框中的五个数之和是中间数的5倍。
【变式探究】仍有图①中的关系，理由如下：
设中间的数为$x$，则它上方的数为$x-8$，下方的数为$x+8$，左侧的数为$x-2$，右侧的数为$x+2$。
五个数之和为：$(x-8)+(x-2)+x+(x+2)+(x+8)=5x$，
因此五个数之和是中间数的5倍，图①中的关系仍然成立。
【拓展延伸】
(1) $\boldsymbol{55}$
(2) 不能，理由如下：
设T字形框中横排三个数的中间数为$y$，则横排三个数分别为$y-2$，$y$，$y+2$，竖排下方的数为$y+12$。
四个数之和为：$(y-2)+y+(y+2)+(y+12)=4y+12$。
令$4y+12=296$，解得$y=71$。
数表中第$k$个奇数为$2k-1$，令$2k-1=71$，得$k=36$。
数表每行有6个数，$36÷6=6$，因此71是第6行第6个数。
要使$y-2$，$y$，$y+2$在同一行连续排列，$y$的右侧需要存在数，即$y$不能是该行第6个数，不存在符合要求的T字形框，因此四个数之和不能等于296。
(3) $\boldsymbol{12m+2n-13}$
【回顾教材】十字形框中的五个数之和是中间数的5倍。
【变式探究】仍有图①中的关系，理由如下：
设中间的数为$x$，则它上方的数为$x-8$，下方的数为$x+8$，左侧的数为$x-2$，右侧的数为$x+2$。
五个数之和为：$(x-8)+(x-2)+x+(x+2)+(x+8)=5x$，
因此五个数之和是中间数的5倍，图①中的关系仍然成立。
【拓展延伸】
(1) $\boldsymbol{55}$
(2) 不能，理由如下：
设T字形框中横排三个数的中间数为$y$，则横排三个数分别为$y-2$，$y$，$y+2$，竖排下方的数为$y+12$。
四个数之和为：$(y-2)+y+(y+2)+(y+12)=4y+12$。
令$4y+12=296$，解得$y=71$。
数表中第$k$个奇数为$2k-1$，令$2k-1=71$，得$k=36$。
数表每行有6个数，$36÷6=6$，因此71是第6行第6个数。
要使$y-2$，$y$，$y+2$在同一行连续排列，$y$的右侧需要存在数，即$y$不能是该行第6个数，不存在符合要求的T字形框，因此四个数之和不能等于296。
(3) $\boldsymbol{12m+2n-13}$
解析
【分析】
1. 回顾教材部分：观察数表可知相邻奇数相差2，图①每行有5个数字，十字框内上下数字与中间数的差为±10，左右数字与中间数的差为±2，求和时差值相互抵消，即可得到五个数之和与中间数的关系，也可通过举例计算验证规律。
2. 变式探究部分：设中间数为x，图②每行有4个数字，因此上下数字与x的差为±8，左右数字与x的差为±2，求和后差值仍会抵消，可验证规律是否成立。
3. 拓展延伸部分：
(1) 图③每行有6个连续奇数，第k个奇数可表示为2k-1，先计算第5行第4个数是总第几个奇数，代入公式即可求解。
(2) 先分析T字形框四个数的数量关系，设横排中间数为y，可表示出其余三个数，根据和为296列方程求解，再验证得到的y是否符合数表的位置要求（横排三个连续数要求y不能为每行最后一个数）。
(3) 先求第m行第n个数对应的总序号，再代入奇数公式化简，即可得到用m、n表示的代数式。
【解析】
【回顾教材】取图①中十字框数字5、13、15、17、25，和为5+13+15+17+25=75=15×5，可得十字形框中的五个数之和是中间数的5倍。
【变式探究】仍有图①中的关系，理由如下：
设中间的数为$x$，则它上方的数为$x-8$，下方的数为$x+8$，左侧的数为$x-2$，右侧的数为$x+2$。
五个数之和为：$(x-8)+(x-2)+x+(x+2)+(x+8)=5x$，因此五个数之和是中间数的5倍，图①中的关系仍然成立。
【拓展延伸】
(1) 图③每行有6个奇数，前4行共有$4×6=24$个奇数，第5行第4个数是总第$24+4=28$个奇数，代入奇数公式$2k-1$得：$2×28-1=55$。
(2) 不能，理由如下：
设T字形框中横排三个数的中间数为$y$，则横排三个数分别为$y-2$，$y$，$y+2$，竖排下方的数为$y+12$。
四个数之和为：$(y-2)+y+(y+2)+(y+12)=4y+12$。
令$4y+12=296$，解得$y=71$。
数表中第$k$个奇数为$2k-1$，令$2k-1=71$，得$k=36$。
数表每行有6个数，$36÷6=6$，因此71是第6行第6个数。
要使$y-2$，$y$，$y+2$在同一行连续排列，$y$的右侧需要存在数，即$y$不能是该行第6个数，不存在符合要求的T字形框，因此四个数之和不能等于296。
(3) 第m行第n个数是总第$6(m-1)+n=6m+n-6$个奇数，代入公式得：
$P_{mn}=2(6m+n-6)-1=12m+2n-13$。
【答案】
【回顾教材】十字形框中的五个数之和是中间数的5倍
【变式探究】仍有该关系，理由见解析
【拓展延伸】(1) $\boldsymbol{55}$；(2) 不能，理由见解析；(3) $\boldsymbol{12m+2n-13}$
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程应用，列代数式
【点评】
本题以连续奇数数表为载体，从基础规律探索到变式验证，再到拓展应用，层层递进，考查归纳推理能力、代数式表达能力以及方程思想的应用，解题时需注意数表的边界限制，避免因忽略位置条件导致错误。
【难度系数】
0.6
1. 回顾教材部分：观察数表可知相邻奇数相差2，图①每行有5个数字，十字框内上下数字与中间数的差为±10，左右数字与中间数的差为±2，求和时差值相互抵消，即可得到五个数之和与中间数的关系，也可通过举例计算验证规律。
2. 变式探究部分：设中间数为x，图②每行有4个数字，因此上下数字与x的差为±8，左右数字与x的差为±2，求和后差值仍会抵消，可验证规律是否成立。
3. 拓展延伸部分：
(1) 图③每行有6个连续奇数，第k个奇数可表示为2k-1，先计算第5行第4个数是总第几个奇数，代入公式即可求解。
(2) 先分析T字形框四个数的数量关系，设横排中间数为y，可表示出其余三个数，根据和为296列方程求解，再验证得到的y是否符合数表的位置要求（横排三个连续数要求y不能为每行最后一个数）。
(3) 先求第m行第n个数对应的总序号，再代入奇数公式化简，即可得到用m、n表示的代数式。
【解析】
【回顾教材】取图①中十字框数字5、13、15、17、25，和为5+13+15+17+25=75=15×5，可得十字形框中的五个数之和是中间数的5倍。
【变式探究】仍有图①中的关系，理由如下：
设中间的数为$x$，则它上方的数为$x-8$，下方的数为$x+8$，左侧的数为$x-2$，右侧的数为$x+2$。
五个数之和为：$(x-8)+(x-2)+x+(x+2)+(x+8)=5x$，因此五个数之和是中间数的5倍，图①中的关系仍然成立。
【拓展延伸】
(1) 图③每行有6个奇数，前4行共有$4×6=24$个奇数，第5行第4个数是总第$24+4=28$个奇数，代入奇数公式$2k-1$得：$2×28-1=55$。
(2) 不能，理由如下：
设T字形框中横排三个数的中间数为$y$，则横排三个数分别为$y-2$，$y$，$y+2$，竖排下方的数为$y+12$。
四个数之和为：$(y-2)+y+(y+2)+(y+12)=4y+12$。
令$4y+12=296$，解得$y=71$。
数表中第$k$个奇数为$2k-1$，令$2k-1=71$，得$k=36$。
数表每行有6个数，$36÷6=6$，因此71是第6行第6个数。
要使$y-2$，$y$，$y+2$在同一行连续排列，$y$的右侧需要存在数，即$y$不能是该行第6个数，不存在符合要求的T字形框，因此四个数之和不能等于296。
(3) 第m行第n个数是总第$6(m-1)+n=6m+n-6$个奇数，代入公式得：
$P_{mn}=2(6m+n-6)-1=12m+2n-13$。
【答案】
【回顾教材】十字形框中的五个数之和是中间数的5倍
【变式探究】仍有该关系，理由见解析
【拓展延伸】(1) $\boldsymbol{55}$；(2) 不能，理由见解析；(3) $\boldsymbol{12m+2n-13}$
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程应用，列代数式
【点评】
本题以连续奇数数表为载体，从基础规律探索到变式验证，再到拓展应用，层层递进，考查归纳推理能力、代数式表达能力以及方程思想的应用，解题时需注意数表的边界限制，避免因忽略位置条件导致错误。
【难度系数】
0.6
