登录
9. 与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题。常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案。
(1)先观察，后计算：
观察算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,2^9=512,···$你能发现$2^n$的个位数字是由种数字组成，分别是；$2^{2023}$的个位数字是。
(2)探究：$3^{2023}$的个位数字是多少？试着写出推导过程。
(3)直接写出$4^{2023}-2^{2023}$的结果的个位数字：。
(1)先观察，后计算：
观察算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,2^9=512,···$你能发现$2^n$的个位数字是由种数字组成，分别是；$2^{2023}$的个位数字是。
(2)探究：$3^{2023}$的个位数字是多少？试着写出推导过程。
(3)直接写出$4^{2023}-2^{2023}$的结果的个位数字：。
答案
解：
(1) 观察已知算式可得，$2^n$的个位数字按2、4、8、6依次循环，共4种数字。
因为$2023÷4=505······3$，余数为3，所以$2^{2023}$的个位数字是循环中的第3个数字，即8。
答案依次为：$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2,4,8,6}$；$\boldsymbol{8}$。
(2) 推导过程：
计算3的前几次幂的结果：
$3^1=3$，个位数字为3；
$3^2=9$，个位数字为9；
$3^3=27$，个位数字为7；
$3^4=81$，个位数字为1；
$3^5=243$，个位数字为3；
由此可发现$3^n$的个位数字以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环。
计算$2023÷4=505······3$，余数为3，说明$3^{2023}$的个位数字是循环周期中的第3个数字，即7。
所以$3^{2023}$的个位数字是7。
(3) 观察$4^n$的个位数字规律：
$4^1=4$，个位为4；$4^2=16$，个位为6；$4^3=64$，个位为4；$4^4=256$，个位为6；
可得指数为奇数时，$4^n$的个位数字是4，2023是奇数，因此$4^{2023}$的个位数字是4。
结合(1)知$2^{2023}$的个位数字是8，做差时个位不够减，向十位借1得$14-8=6$，因此结果的个位数字是6。
答案为$\boldsymbol{6}$。
(1) 观察已知算式可得，$2^n$的个位数字按2、4、8、6依次循环，共4种数字。
因为$2023÷4=505······3$，余数为3，所以$2^{2023}$的个位数字是循环中的第3个数字，即8。
答案依次为：$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2,4,8,6}$；$\boldsymbol{8}$。
(2) 推导过程：
计算3的前几次幂的结果：
$3^1=3$，个位数字为3；
$3^2=9$，个位数字为9；
$3^3=27$，个位数字为7；
$3^4=81$，个位数字为1；
$3^5=243$，个位数字为3；
由此可发现$3^n$的个位数字以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环。
计算$2023÷4=505······3$，余数为3，说明$3^{2023}$的个位数字是循环周期中的第3个数字，即7。
所以$3^{2023}$的个位数字是7。
(3) 观察$4^n$的个位数字规律：
$4^1=4$，个位为4；$4^2=16$，个位为6；$4^3=64$，个位为4；$4^4=256$，个位为6；
可得指数为奇数时，$4^n$的个位数字是4，2023是奇数，因此$4^{2023}$的个位数字是4。
结合(1)知$2^{2023}$的个位数字是8，做差时个位不够减，向十位借1得$14-8=6$，因此结果的个位数字是6。
答案为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
本题属于幂的个位数字规律探究类题型，解题思路可分为三步：第一步，先计算底数前若干次乘方的结果，提取个位数字，找到重复出现的序列，确定循环周期；第二步，用所求乘方的指数除以循环周期，根据余数判断对应周期内的位置，得到该乘方的个位数字；第三步，若涉及乘方的和差计算，分别求出两个乘方的个位数字再做运算，个位不够减时需借1当10计算。
【解析】
(1) 观察给出的2的乘方结果，个位数字按2、4、8、6依次循环，每4个为一个周期，因此$2^n$的个位数字由4种数字组成，分别是2、4、8、6。
计算$2023÷4=505······3$，余数为3，对应周期中的第3个数字，即$2^{2023}$的个位数字为8。
(2) 先计算3的前几次乘方的个位数字：
$3^1=3$，个位数字为3；$3^2=9$，个位数字为9；$3^3=27$，个位数字为7；$3^4=81$，个位数字为1；$3^5=243$，个位数字回到3，可知$3^n$的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环，周期长度为4。
计算$2023÷4=505······3$，余数为3，对应周期中的第3个数字7，因此$3^{2023}$的个位数字是7。
(3) 探究$4^n$的个位数字规律：$4^1=4$，个位为4；$4^2=16$，个位为6；$4^3=64$，个位为4；$4^4=256$，个位为6，可见周期为2，指数为奇数时个位为4，指数为偶数时个位为6。
2023是奇数，因此$4^{2023}$的个位数字为4，结合(1)可知$2^{2023}$的个位数字为8，个位相减时4＜8，向十位借1得$14-8=6$，因此$4^{2023}-2^{2023}$结果的个位数字为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2,4,8,6}$；$\boldsymbol{8}$
(2) $\boldsymbol{7}$
(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
幂的个位规律，周期问题，有理数运算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，重点考查学生归纳总结的能力，解题核心是准确找到个位数字的循环周期，结合余数判断对应位置的数字，掌握方法后可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.75
本题属于幂的个位数字规律探究类题型，解题思路可分为三步：第一步，先计算底数前若干次乘方的结果，提取个位数字，找到重复出现的序列，确定循环周期；第二步，用所求乘方的指数除以循环周期，根据余数判断对应周期内的位置，得到该乘方的个位数字；第三步，若涉及乘方的和差计算，分别求出两个乘方的个位数字再做运算，个位不够减时需借1当10计算。
【解析】
(1) 观察给出的2的乘方结果，个位数字按2、4、8、6依次循环，每4个为一个周期，因此$2^n$的个位数字由4种数字组成，分别是2、4、8、6。
计算$2023÷4=505······3$，余数为3，对应周期中的第3个数字，即$2^{2023}$的个位数字为8。
(2) 先计算3的前几次乘方的个位数字：
$3^1=3$，个位数字为3；$3^2=9$，个位数字为9；$3^3=27$，个位数字为7；$3^4=81$，个位数字为1；$3^5=243$，个位数字回到3，可知$3^n$的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环，周期长度为4。
计算$2023÷4=505······3$，余数为3，对应周期中的第3个数字7，因此$3^{2023}$的个位数字是7。
(3) 探究$4^n$的个位数字规律：$4^1=4$，个位为4；$4^2=16$，个位为6；$4^3=64$，个位为4；$4^4=256$，个位为6，可见周期为2，指数为奇数时个位为4，指数为偶数时个位为6。
2023是奇数，因此$4^{2023}$的个位数字为4，结合(1)可知$2^{2023}$的个位数字为8，个位相减时4＜8，向十位借1得$14-8=6$，因此$4^{2023}-2^{2023}$结果的个位数字为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2,4,8,6}$；$\boldsymbol{8}$
(2) $\boldsymbol{7}$
(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
幂的个位规律，周期问题，有理数运算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，重点考查学生归纳总结的能力，解题核心是准确找到个位数字的循环周期，结合余数判断对应位置的数字，掌握方法后可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.75
10. 请阅读下列材料,并完成相应的任务。
形数,亦称拟形数、垛积数,是一种与图形有关的数。可能有同学感到奇怪,数怎么会有形状呢?这要从其发明者——古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起。毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数,小石子能够摆成不同的几何图形,于是产生了一系列的形数。比如,如图1,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角形,这些数叫作三角形数。如图2,当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,这些数叫作正方形数。除此之外,如图3,毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数——五边形数、六边形数,并进一步发现了各种形数之间的内在联系。形数充分反映出数学内在的奥秘和魅力。值得说明的是,公元前6世纪纸张还没有出现,这种用小石子来研究数的性质的方法,不仅是认识数的一种简洁直观的方法,更是古希腊人的一种伟大创造。
任务:(1)根据材料图1、图2中的图形及规律填写表格。
| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形数 | 1 | 3 | 图2 | 10 | | 21 |
| 正方形数 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
(2)如图4,毕达哥拉斯发现两个三角形数刚好可以组成一个长方形数,由此易得$(1+2+3+4+5)×2=5×6$,即$1+2+3+4+5=\frac{5×6}{2}$。推而广之,如果三角形数有$n$层,长方形数就有$n$层,每层有$(n+1)$个点,于是归纳得到$1+2+3+···+n=\frac{n(n+1)}{2}$,即第$n$个三角形数是$\frac{n(n+1)}{2}$。
①类比归纳:第$n$个正方形数是(用含$n$的式子表示)。
②下列自然数中,既是三角形数又是正方形数的是(填字母)。
A. 36 B. 49 C. 100 D. 1225
形数,亦称拟形数、垛积数,是一种与图形有关的数。可能有同学感到奇怪,数怎么会有形状呢?这要从其发明者——古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起。毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数,小石子能够摆成不同的几何图形,于是产生了一系列的形数。比如,如图1,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角形,这些数叫作三角形数。如图2,当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,这些数叫作正方形数。除此之外,如图3,毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数——五边形数、六边形数,并进一步发现了各种形数之间的内在联系。形数充分反映出数学内在的奥秘和魅力。值得说明的是,公元前6世纪纸张还没有出现,这种用小石子来研究数的性质的方法,不仅是认识数的一种简洁直观的方法,更是古希腊人的一种伟大创造。
任务:(1)根据材料图1、图2中的图形及规律填写表格。
| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 三角形数 | 1 | 3 | 图2 | 10 | | 21 |
| 正方形数 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
(2)如图4,毕达哥拉斯发现两个三角形数刚好可以组成一个长方形数,由此易得$(1+2+3+4+5)×2=5×6$,即$1+2+3+4+5=\frac{5×6}{2}$。推而广之,如果三角形数有$n$层,长方形数就有$n$层,每层有$(n+1)$个点,于是归纳得到$1+2+3+···+n=\frac{n(n+1)}{2}$,即第$n$个三角形数是$\frac{n(n+1)}{2}$。
①类比归纳:第$n$个正方形数是(用含$n$的式子表示)。
②下列自然数中,既是三角形数又是正方形数的是(填字母)。
A. 36 B. 49 C. 100 D. 1225
答案
(1) $\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{36}$
(2) ① $\boldsymbol{n^2}$；② $\boldsymbol{AD}$
(2) ① $\boldsymbol{n^2}$；② $\boldsymbol{AD}$
解析
【分析】
（1）解决第一问先找两类形数的规律：三角形数是从1开始的连续正整数的和，相邻两个三角形数的差依次为2、3、4……，因此第⑤个三角形数是第④个加5；正方形数是对应序号的平方，因此第⑥个正方形数直接算6的平方即可。
（2）①观察正方形数的特征：第1个是1²，第2个是2²，第3个是3²，以此类推即可得到第n个正方形数的表达式；②要找同时符合两类形数的数，只需逐个验证选项，判断其是否同时满足“是某个正整数的平方”和“是从1开始连续正整数的和”两个条件即可。
【解析】
(1) 三角形数的规律为第n个三角形数为$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$，当$n=5$时，$\frac{5× 6}{2}=15$；
正方形数的规律为第n个正方形数是$n^2$，当$n=6$时，$6^2=36$。
(2) ① 观察正方形数：第1个为$1^2=1$，第2个为$2^2=4$，第3个为$3^2=9$，依此类推，第n个正方形数为$n^2$；
② 逐个验证选项：
A. $36=6^2$，是正方形数；同时$\frac{8×9}{2}=36$，是第8个三角形数，符合要求；
B. $49=7^2$，是正方形数；计算得$\frac{9×10}{2}=45$，$\frac{10×11}{2}=55$，49不是三角形数，不符合要求；
C. $100=10^2$，是正方形数；计算得$\frac{13×14}{2}=91$，$\frac{14×15}{2}=105$，100不是三角形数，不符合要求；
D. $1225=35^2$，是正方形数；同时$\frac{49×50}{2}=1225$，是第49个三角形数，符合要求；
因此选AD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{36}$
(2) ① $\boldsymbol{n^2}$；② $\boldsymbol{AD}$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，有理数运算
【点评】
本题结合数学史背景考查规律归纳与应用能力，解题核心是从已知示例中总结形数的表达规律，再灵活运用规律求解验证，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问先找两类形数的规律：三角形数是从1开始的连续正整数的和，相邻两个三角形数的差依次为2、3、4……，因此第⑤个三角形数是第④个加5；正方形数是对应序号的平方，因此第⑥个正方形数直接算6的平方即可。
（2）①观察正方形数的特征：第1个是1²，第2个是2²，第3个是3²，以此类推即可得到第n个正方形数的表达式；②要找同时符合两类形数的数，只需逐个验证选项，判断其是否同时满足“是某个正整数的平方”和“是从1开始连续正整数的和”两个条件即可。
【解析】
(1) 三角形数的规律为第n个三角形数为$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$，当$n=5$时，$\frac{5× 6}{2}=15$；
正方形数的规律为第n个正方形数是$n^2$，当$n=6$时，$6^2=36$。
(2) ① 观察正方形数：第1个为$1^2=1$，第2个为$2^2=4$，第3个为$3^2=9$，依此类推，第n个正方形数为$n^2$；
② 逐个验证选项：
A. $36=6^2$，是正方形数；同时$\frac{8×9}{2}=36$，是第8个三角形数，符合要求；
B. $49=7^2$，是正方形数；计算得$\frac{9×10}{2}=45$，$\frac{10×11}{2}=55$，49不是三角形数，不符合要求；
C. $100=10^2$，是正方形数；计算得$\frac{13×14}{2}=91$，$\frac{14×15}{2}=105$，100不是三角形数，不符合要求；
D. $1225=35^2$，是正方形数；同时$\frac{49×50}{2}=1225$，是第49个三角形数，符合要求；
因此选AD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{36}$
(2) ① $\boldsymbol{n^2}$；② $\boldsymbol{AD}$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，有理数运算
【点评】
本题结合数学史背景考查规律归纳与应用能力，解题核心是从已知示例中总结形数的表达规律，再灵活运用规律求解验证，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
