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1. 观察一组按规律排列的数:1,2,4,8,16,…则第$n$个数是 （）
A.$2^n$
B.$2^n -1$
C.$2^{n-1}$
D.$2^{n-1} -1$
A.$2^n$
B.$2^n -1$
C.$2^{n-1}$
D.$2^{n-1} -1$
答案
C
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，我们可以先将给出的数和对应的序号（第1个、第2个……）对应起来，把每个数转化为2的乘方形式，再观察乘方的指数和序号的关系，就能推导出第n个数的表达式；也可以用代入验证法，把n=1、n=2等序号代入选项，排除不符合的选项，快速选出正确答案。
【解析】
方法一：归纳推导法
将每个数和它的序号对应观察：
当n=1（第1个数）时，数为1=2⁰；
当n=2（第2个数）时，数为2=2¹；
当n=3（第3个数）时，数为4=2²；
当n=4（第4个数）时，数为8=2³；
当n=5（第5个数）时，数为16=2⁴；
……
可发现乘方的指数始终比序号n小1，因此第n个数是$2^{n-1}$。
方法二：代入排除法
A选项：当n=1时，$2^1=2≠1$，不符合规律，排除；
B选项：当n=2时，$2^2-1=3≠2$，不符合规律，排除；
D选项：当n=1时，$2^{0}-1=0≠1$，不符合规律，排除；
只有C选项符合所有给出的数的规律。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题核心是找到数列中数的形式与序号的对应关系，既可以通过归纳推导得到通式，也可以用代入排除法快速锁定答案。
【难度系数】
0.8
这是一道数字规律探究题，我们可以先将给出的数和对应的序号（第1个、第2个……）对应起来，把每个数转化为2的乘方形式，再观察乘方的指数和序号的关系，就能推导出第n个数的表达式；也可以用代入验证法，把n=1、n=2等序号代入选项，排除不符合的选项，快速选出正确答案。
【解析】
方法一：归纳推导法
将每个数和它的序号对应观察：
当n=1（第1个数）时，数为1=2⁰；
当n=2（第2个数）时，数为2=2¹；
当n=3（第3个数）时，数为4=2²；
当n=4（第4个数）时，数为8=2³；
当n=5（第5个数）时，数为16=2⁴；
……
可发现乘方的指数始终比序号n小1，因此第n个数是$2^{n-1}$。
方法二：代入排除法
A选项：当n=1时，$2^1=2≠1$，不符合规律，排除；
B选项：当n=2时，$2^2-1=3≠2$，不符合规律，排除；
D选项：当n=1时，$2^{0}-1=0≠1$，不符合规律，排除；
只有C选项符合所有给出的数的规律。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题核心是找到数列中数的形式与序号的对应关系，既可以通过归纳推导得到通式，也可以用代入排除法快速锁定答案。
【难度系数】
0.8
2. 将正整数按如图所示的位置顺序排列,根据排列顺序,2 023 应在哪个位置 ()
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
答案
B
解析
【分析】观察正整数的排列顺序，可发现数字位置每4个数为一个循环周期，我们可以先明确周期内不同余数对应的位置，再计算2023除以4的余数，通过余数对应得到2023所在的位置。
【解析】通过观察排列规律可得：每4个数字为一个周期，周期内各数除以4的余数对应位置为：余数为2时在A点，余数为3时在B点，余数为0（即整除）时在C点，余数为1时在D点。
计算2023除以4的结果：$2023 ÷ 4 = 505······3$，即余数为3，对应位置为B点。
【答案】B
【知识点】数字规律探究，周期问题
【点评】本题属于规律探究类题型，核心是找到数字排列的周期特征，通过计算余数判断位置，能有效考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】0.7
【解析】通过观察排列规律可得：每4个数字为一个周期，周期内各数除以4的余数对应位置为：余数为2时在A点，余数为3时在B点，余数为0（即整除）时在C点，余数为1时在D点。
计算2023除以4的结果：$2023 ÷ 4 = 505······3$，即余数为3，对应位置为B点。
【答案】B
【知识点】数字规律探究，周期问题
【点评】本题属于规律探究类题型，核心是找到数字排列的周期特征，通过计算余数判断位置，能有效考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】0.7
3. 先观察下列算式：$3^2 - 1^2 = 8×1$，$5^2 - 3^2 = 8×2$，$7^2 - 5^2 = 8×3$，$9^2 - 7^2 = 8×4$，…通过观察归纳，第2024个算式是（）
A.$2023^2 - 2021^2 = 8×2024$
B.$4049^2 - 4047^2 = 8×2024$
C.$2025^2 - 2023^2 = 8×2024$
D.$4047^2 - 4045^2 = 8×2024$
A.$2023^2 - 2021^2 = 8×2024$
B.$4049^2 - 4047^2 = 8×2024$
C.$2025^2 - 2023^2 = 8×2024$
D.$4047^2 - 4045^2 = 8×2024$
答案
B
解析
【分析】
本题属于数字规律探究题，解题思路如下：首先观察给出的已知算式，分别分析左边两个底数的变化规律、右边乘法算式中乘数的变化规律，找到规律后总结出第n个算式的通用表达形式，最后将n=2024代入通用表达式，即可得到第2024个算式，再匹配对应选项。
【解析】
观察已知算式，可按序号梳理规律：
第1个算式：$3^2 - 1^2 = 8×1$，其中$3=2×1+1$，$1=2×1-1$；
第2个算式：$5^2 - 3^2 = 8×2$，其中$5=2×2+1$，$3=2×2-1$；
第3个算式：$7^2 - 5^2 = 8×3$，其中$7=2×3+1$，$5=2×3-1$；
第4个算式：$9^2 - 7^2 = 8×4$，其中$9=2×4+1$，$7=2×4-1$；
……
由此可归纳得出第$n$个算式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8×n}$。
当$n=2024$时：
$2n+1=2×2024+1=4049$，$2n-1=2×2024-1=4047$，
因此第2024个算式为：$4049^2 - 4047^2 = 8×2024$。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，重点考查观察、归纳能力，解题的关键是区分算式中固定不变的部分和随序号变化的部分，总结出通用规律后代入序号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题属于数字规律探究题，解题思路如下：首先观察给出的已知算式，分别分析左边两个底数的变化规律、右边乘法算式中乘数的变化规律，找到规律后总结出第n个算式的通用表达形式，最后将n=2024代入通用表达式，即可得到第2024个算式，再匹配对应选项。
【解析】
观察已知算式，可按序号梳理规律：
第1个算式：$3^2 - 1^2 = 8×1$，其中$3=2×1+1$，$1=2×1-1$；
第2个算式：$5^2 - 3^2 = 8×2$，其中$5=2×2+1$，$3=2×2-1$；
第3个算式：$7^2 - 5^2 = 8×3$，其中$7=2×3+1$，$5=2×3-1$；
第4个算式：$9^2 - 7^2 = 8×4$，其中$9=2×4+1$，$7=2×4-1$；
……
由此可归纳得出第$n$个算式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8×n}$。
当$n=2024$时：
$2n+1=2×2024+1=4049$，$2n-1=2×2024-1=4047$，
因此第2024个算式为：$4049^2 - 4047^2 = 8×2024$。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，重点考查观察、归纳能力，解题的关键是区分算式中固定不变的部分和随序号变化的部分，总结出通用规律后代入序号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形,图①中“·”的个数为3,图②中“·”的个数为8,图③中“·”的个数为15,依此类推,则图⑱中“·”的个数是 ()
A.34
B.55
C.360
D.720
A.34
B.55
C.360
D.720
答案
C
解析
【分析】
首先观察前几个图形中“·”的个数，将个数与图形的序号n对应起来：第1个图个数为3，第2个为8，第3个为15。对比数值和序号的关系，可发现每个数都等于“（序号+1）的平方减1”，也可写成“序号×（序号+2）”，验证前几个都符合该规律后，将n=18代入规律式即可算出图⑱的点数。
【解析】
解：观察图形中点的个数规律：
第1个图形：$3 = 2^2 -1 = (1+1)^2 -1$
第2个图形：$8 = 3^2 -1 = (2+1)^2 -1$
第3个图形：$15 = 4^2 -1 = (3+1)^2 -1$
第4个图形：$24 = 5^2 -1 = (4+1)^2 -1$
……
由此可归纳得出：第n个图形中“·”的个数为$\boldsymbol{(n+1)^2 -1}$（等价形式为$n(n+2)$、$n^2+2n$）。
当n=18时，点数为$(18+1)^2 -1 = 19^2 -1 = 361 -1 = 360$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先通过前几个简单图形的已知数据，推导出序号和所求量之间的通用规律，验证规律无误后再代入目标序号计算，解题时注意不要把规律的对应关系搞混。
【难度系数】
0.7
首先观察前几个图形中“·”的个数，将个数与图形的序号n对应起来：第1个图个数为3，第2个为8，第3个为15。对比数值和序号的关系，可发现每个数都等于“（序号+1）的平方减1”，也可写成“序号×（序号+2）”，验证前几个都符合该规律后，将n=18代入规律式即可算出图⑱的点数。
【解析】
解：观察图形中点的个数规律：
第1个图形：$3 = 2^2 -1 = (1+1)^2 -1$
第2个图形：$8 = 3^2 -1 = (2+1)^2 -1$
第3个图形：$15 = 4^2 -1 = (3+1)^2 -1$
第4个图形：$24 = 5^2 -1 = (4+1)^2 -1$
……
由此可归纳得出：第n个图形中“·”的个数为$\boldsymbol{(n+1)^2 -1}$（等价形式为$n(n+2)$、$n^2+2n$）。
当n=18时，点数为$(18+1)^2 -1 = 19^2 -1 = 361 -1 = 360$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先通过前几个简单图形的已知数据，推导出序号和所求量之间的通用规律，验证规律无误后再代入目标序号计算，解题时注意不要把规律的对应关系搞混。
【难度系数】
0.7
