问题 在同一平面直角坐标系中,画出函数$y = \frac{1}{2}x^2$,$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$,$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$的图象,并指出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最大值或最小值。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：列表：
| $x$ | …$$ | | | | | | | …$$ |
| $y = \frac{1}{2}x^2$ | …$$ | | | | | | | …$$ |
| $y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$ | …$$ | | | | | | | …$$ |
| $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$ | …$$ | | | | | | | …$$ |

描点、连线：
]

解：
列表：
| $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = \frac{1}{2}x^2$ | 8 | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | 8 |
| $y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$ | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | 8 | 12.5 | 18 |
| $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$ | 18 | 12.5 | 8 | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 |
描点、连线（图象略）。
开口方向：
三个函数图象均开口向上。
对称轴：
$y = \frac{1}{2}x^2$ 的对称轴为 $x = 0$（$y$轴）；
$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$ 的对称轴为 $x = -2$；
$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$ 的对称轴为 $x = 2$。
顶点坐标：
$y = \frac{1}{2}x^2$ 的顶点坐标为 $(0,0)$；
$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$ 的顶点坐标为 $(-2,0)$；
$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$ 的顶点坐标为 $(2,0)$。
增减性：
对于 $y = \frac{1}{2}x^2$，当 $x ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
对于 $y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$，当 $x ＜ -2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x ＞ -2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
对于 $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$，当 $x ＜ 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x ＞ 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
最值：
三个函数均有最小值，无最大值。
$y = \frac{1}{2}x^2$ 的最小值为 $0$；
$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2$ 的最小值为 $0$；
$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$ 的最小值为 $0$。

1. 在平面直角坐标系中,函数$y = -x + 1与y = -\frac{3}{2}(x - 1)^2$的图象大致是( )

A.
B.
C.
D.

D.

解：对于一次函数$y = -x + 1$：
斜率$-1 ＜ 0$，图象从左到右下降；
与$y$轴交点为$(0, 1)$，与$x$轴交点为$(1, 0)$。
对于二次函数$y = -\frac{3}{2}(x - 1)^2$：
二次项系数$-\frac{3}{2} ＜ 0$，抛物线开口向下；
顶点坐标为$(1, 0)$。
综上，两函数图象交于点$(1, 0)$，一次函数过$(0, 1)$且下降，二次函数开口向下、顶点$(1, 0)$，符合选项D。
D.

2. 已知二次函数$y = 2(x - 3)^2$,若$x取x_1$,$x_2且x_1 \neq x_2时函数值y_1 = y_2$,则当$x = x_1 + x_2$时,$y$的函数值为 ( )

A.0
B.3
C.18
D.20

C.

已知二次函数$y = 2(x - 3)^2$，其对称轴为直线$x = 3$。
因为$x$取$x_1$，$x_2$且$x_1 \neq x_2$时函数值$y_1 = y_2$，所以点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$关于对称轴对称。
根据二次函数对称性，对称轴为$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$，即$\frac{x_1 + x_2}{2} = 3$，解得$x_1 + x_2 = 6$。
当$x = x_1 + x_2 = 6$时，$y = 2(6 - 3)^2 = 2× 9 = 18$。
C

3. 老师让同学们写出一个二次函数,满足以下3条性质：
(1) 函数图象的顶点在$x$轴上；
(2) 当$x ＜ 1$时,$y随x$的增大而减小；
(3) 该函数图象的形状与函数$y = x^2$的图象相同。
甲同学写出了几个二次函数解析式：
① $y = -(x - 1)^2$；② $y = (x - 1)^2$；③ $y = (x + 1)^2$；④ $y = (x - 2)^2$。
请问甲同学写出的二次函数解析式中哪些符合上述3条性质：____。

②④.