6. 如图,已知直线$l过A(4,0)和B(0,4)$两点,它与二次函数$y = ax^2的图象在第一象限内交于点P$,若$\triangle AOP$的面积为4。
(1) 求点$P$的坐标；
(2) 求二次函数的解析式；
(3) 能否将抛物线$y = ax^2沿y$轴平移,使平移后的抛物线经过点$A$？
]

（1）P(2,2)；（2）y = $\frac{1}{2}$x²；（3）能，抛物线y = $\frac{1}{2}$x²沿y轴向下平移8个单位长度后经过点A。

（1）设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$，$B(0,4)$代入得$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，所以直线$l$的解析式为$y=-x+4$。
设点$P$的坐标为$(m,n)$，因为点$P$在第一象限且在直线$l$上，所以$n=-m+4$。
$\triangle AOP$的面积为$4$，$OA=4$，则$\frac{1}{2}× OA× n = 4$，即$\frac{1}{2}×4× n=4$，解得$n=2$。
将$n=2$代入$n=-m+4$，得$2=-m+4$，解得$m=2$，所以点$P$的坐标为$(2,2)$。
（2）因为点$P(2,2)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，所以$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
（3）设平移后的抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 + c$，将点$A(4,0)$代入得$0=\frac{1}{2}×4^2 + c$，即$0=8 + c$，解得$c=-8$，所以能，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$沿$y$轴向下平移$8$个单位长度后经过点$A$。

已知二次函数$y = ax^2 + 1(a ＜ 0)$,线段$AB$中,$A(-1,-1)$,$B(3,0)$,将线段$AB$向下平移3个单位得到线段$MN$,若$y = ax^2 + 1(a ＜ 0)的图象与线段MN$只有一个公共点,则$a$的取值范围是 ( )

A.$a ＜ -5$
B.$-\frac{4}{9}\leq a ＜ 0$
C.$-5 ＜ a\leq -\frac{4}{9}$
D.$-5\leq a ＜ 0$

C.

1. 求线段MN端点坐标：A(-1,-1)向下平移3个单位得M(-1,-4)，B(3,0)向下平移3个单位得N(3,-3)。
2. 求线段MN解析式：设MN：y=kx+b，代入M(-1,-4)、N(3,-3)，得$\begin{cases}-k+b=-4\\3k+b=-3\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{17}{4}$，故MN：$y=\frac{1}{4}x-\frac{17}{4}(-1\leq x\leq3)$。
3. 联立方程：$ax^2 + 1=\frac{1}{4}x-\frac{17}{4}$，整理得$4ax^2 -x + 21=0$。
4. 讨论公共点情况：
当x=-1时，代入二次函数：$y=a(-1)^2 + 1=a + 1$，MN上y=-4，令$a + 1=-4$，得a=-5。此时方程另一解$x=\frac{21}{4a}=-\frac{21}{20}$（不在[-1,3]），符合。
当x=3时，代入二次函数：$y=a(3)^2 + 1=9a + 1$，MN上y=-3，令$9a + 1=-3$，得$a=-\frac{4}{9}$。此时方程另一解$x=\frac{21}{4a}=-\frac{63}{16}$（不在[-1,3]），符合。
因a＜0，抛物线开口向下，要使线段MN与抛物线只有一个公共点，则$-5＜a\leq-\frac{4}{9}$。
C

1. 对于函数$y = -2(x - 3)^2$,下列说法不正确的是 ( )

A.开口向下
B.对称轴是直线$x = 3$
C.最大值为0
D.与$y$轴不相交

D.

对于函数$y = -2(x - 3)^2$：
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，所以开口向下，A正确；
对称轴为直线$x = 3$，B正确；
函数有最大值，当$x = 3$时，$y_{max} = 0$，C正确；
当$x = 0$时，$y = -2(0 - 3)^2 = -18$，与$y$轴交于点$(0, -18)$，D错误。
D

2. 函数$y = -3(x + 2)^2$的图象的开口方向____,对称轴是____,顶点坐标为____。

向下；直线x = -2；(-2,0).

3. 顶点坐标为$(-4,0)$,且与抛物线$y = 3x^2$的形状、开口方向相同的抛物线的函数解析式为____。

y = 3(x + 4)².

$y = 3(x + 4)^2$

4. 把抛物线$y = -5x^2$向左平移2个单位长度,得到抛物线____；把抛物线$y = 5x^2$向右平移4个单位长度,得到抛物线____。

y = -5(x + 2)²；y = 5(x - 4)².

5. 把抛物线$y = -5(x + 6)^2$向右平移5个单位长度,得到抛物线____。

y = -5(x + 1)².

抛物线平移规律为“左加右减”。原抛物线为$y = -5(x + 6)^2$，向右平移5个单位长度，即将$x$变为$x - 5$，得到$y = -5((x - 5) + 6)^2 = -5(x + 1)^2$。
$y = -5(x + 1)^2$