1 如图，△ABC的两条内角平分线BE，CD相交于点F。若∠A=62°，则∠BFC的度数是（）

A.59°
B.118°
C.121°
D.124°

1. C

【分析】
要计算∠BFC的度数，需先明确它所在的△BFC中另外两个内角的和。已知BE、CD是△ABC的内角平分线，因此∠FBC、∠FCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，我们可以先借助△ABC的内角和与已知的∠A，求出∠ABC+∠ACB的总和，再除以2得到∠FBC+∠FCB的度数，最后利用三角形内角和定理即可算出∠BFC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=62°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 62° = 118°$
∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线
∴$∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ FBC + ∠ FCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×118° = 59°$
在△BFC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 180° - 59° = 121°$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，解题时既可以按步骤逐步推导，也可以直接利用结论“三角形两个内角平分线的夹角等于90°加上第三个内角度数的一半”快速计算，掌握该结论能提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

2 如图,在$△ ABC$中,$P$是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点.若$∠ P=2∠ A$,则$∠ A$的度数为.

2. 60°

【分析】
解题时首先明确已知条件：P是∠ABC、∠ACB的角平分线交点，且∠P=2∠A，要求∠A的度数。首先回忆三角形内角和为180°，角平分线可将对应角分为两个相等的小角。我们可以先设∠A的度数为x，将∠P用x表示，再分别用含x的式子表示出△ABC中两个底角的和，进而转化为△PBC中两个底角的和，最后结合△PBC的内角和列方程求解即可。
【解析】
设∠A的度数为x，则∠P=2x。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - x
∵ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB
∴ ∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - x) = 90° - $\frac{1}{2}$x
在△PBC中，根据三角形内角和定理：
∠P + ∠PBC + ∠PCB = 180°
代入得：$2x + 90° - \frac{1}{2}x = 180°$
合并同类项得：$\frac{3}{2}x = 90°$
解得：$x = 60°$
【答案】
60°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，核心是利用角平分线的性质实现角度的转化，再结合三角形内角和定理构造方程求解，掌握此类角度转化的方法是解决三角形角平分线相关计算问题的关键。
【难度系数】
0.7

3 如图,在平面直角坐标系中,A 为x轴上的一点,B为y轴上的一点,AC平分∠BAM,BC平分∠ABN,求∠C 的度数.

3. 如图,由题意,得$∠1+∠2=180°-90°=90°$,$∠BAM=∠1+90°$,$∠ABN=∠2+90°$,$∴ ∠BAM+∠ABN=∠1+90°+∠2+90°=180°+90°=270°$. $∵ AC$ 平分$∠BAM$,$BC$ 平分$∠ABN$,$∴ ∠3+∠4=\frac{1}{2}(∠BAM+∠ABN)=\frac{1}{2}×270°=135°$.
$∴ ∠C=180°-(∠3+∠4)=45°$

【分析】
解题思路如下：首先利用平面直角坐标系x轴与y轴垂直的特征，得到△AOB为直角三角形，推出∠OBA与∠OAB的和为90°；其次根据平角的定义，表示出∠BAM和∠ABN，计算二者的和；再结合角平分线的定义，求出△ABC中∠3与∠4的和；最后利用三角形内角和为180°，就能算出∠C的度数。
【解析】
解：由题意得x轴⊥y轴，即∠AOB=90°，
在△AOB中，∠1+∠2=180°-∠AOB=90°。
∵ ∠BAM是平角∠OAM的一部分，∠ABN是平角∠OBN的一部分，
∴ ∠BAM=180°-∠2，∠ABN=180°-∠1，
∴ ∠BAM+∠ABN=180°-∠2+180°-∠1=360°-(∠1+∠2)=360°-90°=270°。
∵ AC平分∠BAM，BC平分∠ABN，
∴ ∠4=$\frac{1}{2}$∠BAM，∠3=$\frac{1}{2}$∠ABN，
∴ ∠3+∠4=$\frac{1}{2}$(∠BAM+∠ABN)=$\frac{1}{2}$×270°=135°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠C=180°-(∠3+∠4)=180°-135°=45°。
【答案】
∠C的度数为45°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，结合了平面直角坐标系的特征，难度不大，解题的关键是梳理清楚不同角之间的数量关系，灵活运用相关性质定理计算。
【难度系数】
0.7

4 如图，$△ ABC$ 的两个内角的平分线 $BO$，$CO$ 相交于点 $O$，两个外角的平分线 $BP$，$CP$ 相交于点 $P$。若 $∠ BOC=120°$，求 $∠ P$ 的度数。

4. 在$△ABC$中,$∠ABC+∠ACB=180°-∠A$. $∵ ∠ABC$ 与$∠ACB$ 的平分线 $BO,CO$ 相交于点 $O$,$∴ ∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$. $∴ ∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=90°-\frac{1}{2}∠A$. $∴ ∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+\frac{1}{2}∠A$. $∵ ∠BOC=120°$,$∴ 120°=90°+\frac{1}{2}∠A$,即$∠A=60°$. $∵ ∠DBC=∠A+∠ACB$,$∠ECB=∠A+∠ABC$,$∠ABC+∠ACB=180°-∠A$,$∴ ∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A$. $∵ BP,CP$ 分别是$∠DBC,∠BCE$ 的平分线,$∴ ∠PBC=\frac{1}{2}∠DBC$,$∠PCB=\frac{1}{2}∠ECB$. $∴ ∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠DBC+∠ECB)=90°+\frac{1}{2}∠A$. $∴ ∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°-\frac{1}{2}∠A=60°$

【分析】
解题时先利用三角形内角和定理与角平分线的性质，推导内角平分线的夹角∠BOC和△ABC顶角∠A的数量关系，结合已知∠BOC的度数求出∠A；再利用三角形外角的性质和角平分线的性质，推导外角平分线的夹角∠P和∠A的数量关系，将求出的∠A代入即可得到∠P的度数。
【解析】
在$△ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ABC+∠ACB=180°-∠A$。
$∵ ∠ABC$与$∠ACB$的平分线$BO,CO$相交于点$O$，
$∴ ∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
$∴ ∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$，
在$△OBC$中，$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$，
$∵ ∠BOC=120°$，
$∴ 120°=90°+\frac{1}{2}∠A$，解得$∠A=60°$。
$∵ ∠DBC$是$△ABC$的外角，$∴∠DBC=∠A+∠ACB$，同理$∠ECB=∠A+∠ABC$，
$∴ ∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+(∠ABC+∠ACB)+∠A$，
又$∠ABC+∠ACB=180°-∠A$，代入得$∠DBC+∠ECB=180°+∠A$。
$∵ BP,CP$分别是$∠DBC,∠BCE$的平分线，
$∴ ∠PBC=\frac{1}{2}∠DBC$，$∠PCB=\frac{1}{2}∠ECB$，
$∴ ∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠DBC+∠ECB)=\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$，
在$△PBC$中，$∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$，
将$∠A=60°$代入，得$∠P=90°-\frac{1}{2}×60°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题需要结合角平分线性质、三角形内角和与外角性质推导角的数量关系，解题核心是建立内角平分线夹角、外角平分线夹角分别与三角形顶角的关联，掌握这两类常见的角平分线夹角公式可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7

5 如图，BP平分△ABC的内角∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM。若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=。

5. 90°

【分析】
解题时先利用角平分线的定义求出相关角的度数，再结合三角形外角的性质分别计算∠A和∠P的度数，最后相加得到结果。第一步：根据角平分线定义，由已知的平分角求出∠ABC、∠ACM、∠PBC、∠PCM的度数；第二步：利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，分别推导∠A和∠P的计算式，代入数值求出两个角的度数；第三步：求和得到最终结果。
【解析】
1. 因为BP平分∠ABC，∠ABP=20°，
所以∠ABC=2∠ABP=2×20°=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
2. 因为CP平分外角∠ACM，∠ACP=50°，
所以∠ACM=2∠ACP=2×50°=100°，∠PCM=∠ACP=50°。
3. 对于△ABC，∠ACM是它的外角，根据三角形外角性质可得：
∠ACM=∠A+∠ABC，因此∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°。
4. 对于△PBC，∠PCM是它的外角，根据三角形外角性质可得：
∠PCM=∠P+∠PBC，因此∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°。
5. 所以∠A+∠P=60°+30°=90°。
【答案】
90°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题，将角平分线性质和三角形外角性质结合考查，解题时只要理清角之间的数量关系，逐步推导即可得出答案，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7

6 如图,在△ABC中,BE是角平分线,CF平分△ABC的外角∠BCD,BF⊥CF于点F.若∠A=62°,则∠EBF的度数为.（第6题）

6. 59°

【分析】
解题思路如下：首先利用三角形外角的性质得到∠BCD与∠A、∠ABC的关系，再结合角平分线的定义表示出∠BCF；接着根据直角三角形两锐角互余表示出∠FBC，再结合BE是∠ABC的角平分线得到∠EBC的表达式；最后通过∠EBF=∠EBC+∠FBC进行化简，消去∠ABC后代入∠A的度数即可求出结果。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可得：∠BCD是△ABC的外角，故$∠ BCD = ∠ A + ∠ ABC$。
2. 因为CF平分$∠ BCD$，根据角平分线的定义：$∠ BCF = \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$。
3. 已知$BF⊥ CF$，则$∠ F = 90°$，在$Rt△ BFC$中，两锐角互余，所以$∠ FBC + ∠ BCF = 90°$，因此：
$∠ FBC = 90° - ∠ BCF = 90° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$。
4. 因为BE平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义：$∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$。
5. 观察图形可得$∠ EBF = ∠ EBC + ∠ FBC$，代入上述表达式：
$\begin{aligned}∠ EBF &= \frac{1}{2}∠ ABC + 90° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) \\&= \frac{1}{2}∠ ABC + 90° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2}∠ ABC \\&= 90° - \frac{1}{2}∠ A\end{aligned}$
6. 代入$∠ A = 62°$，得$∠ EBF = 90° - \frac{1}{2}×62° = 90° - 31° = 59°$。
【答案】
$59°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的常考题型，解题的核心是利用角平分线和外角性质，通过角的和差运算消去未知的$∠ ABC$，直接建立所求角与已知角$∠ A$的关系，减少不必要的计算。
【难度系数】
0.7