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9 如图,若点 A 在 y 轴上,点 B 在 x 轴上,∠OAB 的平分线交△OAB 的外角∠OBD 的平分线于点 C,则∠C 的度数是 (
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
（第9题） （第10题）
B
)A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
（第9题） （第10题）
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先挖掘隐含条件：x轴与y轴夹角∠AOB=90°；再利用角平分线的定义分别表示出∠BAC、∠CBD，接着结合三角形外角的性质，分别得到∠OBD与∠OAB、∠AOB的关系，以及∠CBD与∠C、∠BAC的关系，最后通过代入消去公共角∠OAB，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ AC平分∠OAB，
∴ $∠ BAC = \frac{1}{2}∠ OAB$，
∵ BC平分△OAB的外角∠OBD，
∴ $∠ CBD = \frac{1}{2}∠ OBD$，
∵ ∠OBD是△OAB的外角，根据三角形外角性质得：$∠ OBD = ∠ AOB + ∠ OAB$，
又
∵ 点A在y轴、点B在x轴，
∴ $∠ AOB = 90°$，即$∠ OBD = 90° + ∠ OAB$，
∵ ∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角性质得：$∠ CBD = ∠ C + ∠ BAC$，
将$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ OAB$、$∠ OBD = 90° + ∠ OAB$代入上式：
$\frac{1}{2}(90° + ∠ OAB) = ∠ C + \frac{1}{2}∠ OAB$，
展开得：$45° + \frac{1}{2}∠ OAB = ∠ C + \frac{1}{2}∠ OAB$，
化简得：$∠ C = 45°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、直角的特征
【点评】
本题属于角度计算的基础典型题，解题的核心是灵活运用三角形外角的性质建立角度间的等量关系，结合角平分线定义消去未知公共角即可得到结论，解题时要注意挖掘图形中隐含的坐标轴夹角为直角的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先挖掘隐含条件：x轴与y轴夹角∠AOB=90°；再利用角平分线的定义分别表示出∠BAC、∠CBD，接着结合三角形外角的性质，分别得到∠OBD与∠OAB、∠AOB的关系，以及∠CBD与∠C、∠BAC的关系，最后通过代入消去公共角∠OAB，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ AC平分∠OAB，
∴ $∠ BAC = \frac{1}{2}∠ OAB$，
∵ BC平分△OAB的外角∠OBD，
∴ $∠ CBD = \frac{1}{2}∠ OBD$，
∵ ∠OBD是△OAB的外角，根据三角形外角性质得：$∠ OBD = ∠ AOB + ∠ OAB$，
又
∵ 点A在y轴、点B在x轴，
∴ $∠ AOB = 90°$，即$∠ OBD = 90° + ∠ OAB$，
∵ ∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角性质得：$∠ CBD = ∠ C + ∠ BAC$，
将$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ OAB$、$∠ OBD = 90° + ∠ OAB$代入上式：
$\frac{1}{2}(90° + ∠ OAB) = ∠ C + \frac{1}{2}∠ OAB$，
展开得：$45° + \frac{1}{2}∠ OAB = ∠ C + \frac{1}{2}∠ OAB$，
化简得：$∠ C = 45°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、直角的特征
【点评】
本题属于角度计算的基础典型题，解题的核心是灵活运用三角形外角的性质建立角度间的等量关系，结合角平分线定义消去未知公共角即可得到结论，解题时要注意挖掘图形中隐含的坐标轴夹角为直角的条件。
【难度系数】
0.7
10 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=80°$，$∠ C=20°$，AE平分$∠ BAC$交BC于点E，点F在EA的延长线上，过点F作$FD⊥ BC$，交CB的延长线于点D，则$∠ F$的度数为
30°
。答案
10. 30°
解析
【分析】
解题时先从已知的△ABC的两个内角度数入手，首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；再结合AE是角平分线的条件，求出∠CAE的度数；接下来利用三角形外角的性质，求出∠AEB（即∠FED）的度数；最后根据FD⊥BC得到△FED是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠F的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠ABC=80°，∠C=20°，
由三角形内角和为180°得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-80°-20°=80°$，
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ CAE=20°+40°=60°$，即$∠ FED=60°$，
∵FD⊥BC，
∴$∠ D=90°$，
在Rt△FED中，$∠ F+∠ FED=90°$，
∴$∠ F=90°-60°=30°$。
【答案】
30°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，综合考查了三角形相关的角度计算性质，解题的关键是理清角度之间的关系，选择合适的性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的△ABC的两个内角度数入手，首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；再结合AE是角平分线的条件，求出∠CAE的度数；接下来利用三角形外角的性质，求出∠AEB（即∠FED）的度数；最后根据FD⊥BC得到△FED是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠F的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠ABC=80°，∠C=20°，
由三角形内角和为180°得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-80°-20°=80°$，
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ CAE=20°+40°=60°$，即$∠ FED=60°$，
∵FD⊥BC，
∴$∠ D=90°$，
在Rt△FED中，$∠ F+∠ FED=90°$，
∴$∠ F=90°-60°=30°$。
【答案】
30°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，综合考查了三角形相关的角度计算性质，解题的关键是理清角度之间的关系，选择合适的性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
11 教材P17习题T11变式 如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
(1)若$∠ B=30°$，$∠ BAC=130°$，求$∠ E$的度数；
(2)求证：$∠ BAC=∠ B+2∠ E$。
(1)若$∠ B=30°$，$∠ BAC=130°$，求$∠ E$的度数；
(2)求证：$∠ BAC=∠ B+2∠ E$。
答案
11. (1) $\because ∠B=30°,∠BAC=130°, \therefore ∠ACD=∠B+∠BAC=160°. \because CE$ 平分$∠ACD, \therefore ∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD=80°. \therefore ∠E=∠ECD-∠B=50°$
(2) $\because CE$ 平分$∠ACD, \therefore ∠ECD=∠ECA. \because ∠ECD=∠B+∠E, ∠BAC=∠ECA+∠E, \therefore ∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E$
(2) $\because CE$ 平分$∠ACD, \therefore ∠ECD=∠ECA. \because ∠ECD=∠B+∠E, ∠BAC=∠ECA+∠E, \therefore ∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E$
解析
【分析】
(1) 求解∠E的度数可按以下步骤思考：第一步，利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠B和∠BAC，先求出△ABC的外角∠ACD的度数；第二步，根据CE是∠ACD的平分线，利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；第三步，观察发现∠ECD是△BCE的外角，再次运用外角性质，推导得∠E=∠ECD-∠B，代入数值计算即可得到结果。
(2) 证明∠BAC=∠B+2∠E的思路如下：首先根据角平分线定义得到∠ECD=∠ACE；其次分别运用两次三角形外角性质，一是∠ECD作为△BCE的外角，可得∠ECD=∠B+∠E，二是∠BAC作为△ACE的外角，可得∠BAC=∠ACE+∠E；最后将∠ACE替换为∠ECD，再把∠ECD代换为∠B+∠E，整理式子即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠B=30°，∠BAC=130°，∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC=30°+130°=160°，
∵ CE平分∠ACD，
∴ $∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×160°=80°$，
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD=∠B+∠E，
∴ ∠E=∠ECD-∠B=80°-30°=50°。
(2) 证明：
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ECD=∠ACE，
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD=∠B+∠E，
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC=∠ACE+∠E，
将∠ACE替换为∠ECD，代入得：
$∠ BAC=∠ B+∠ E+∠ E=∠ B+2∠ E$，得证。
【答案】
(1) $∠ E=50°$；
(2) 证明见解析，$∠ BAC=∠ B+2∠ E$成立。
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，角的等量代换
【点评】
本题是三角形外角相关的基础典型题，解题的核心是准确识别三角形的外角，灵活运用外角性质建立不同角之间的数量关系，结合角平分线定义即可完成计算和证明。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠E的度数可按以下步骤思考：第一步，利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠B和∠BAC，先求出△ABC的外角∠ACD的度数；第二步，根据CE是∠ACD的平分线，利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；第三步，观察发现∠ECD是△BCE的外角，再次运用外角性质，推导得∠E=∠ECD-∠B，代入数值计算即可得到结果。
(2) 证明∠BAC=∠B+2∠E的思路如下：首先根据角平分线定义得到∠ECD=∠ACE；其次分别运用两次三角形外角性质，一是∠ECD作为△BCE的外角，可得∠ECD=∠B+∠E，二是∠BAC作为△ACE的外角，可得∠BAC=∠ACE+∠E；最后将∠ACE替换为∠ECD，再把∠ECD代换为∠B+∠E，整理式子即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠B=30°，∠BAC=130°，∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC=30°+130°=160°，
∵ CE平分∠ACD，
∴ $∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×160°=80°$，
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD=∠B+∠E，
∴ ∠E=∠ECD-∠B=80°-30°=50°。
(2) 证明：
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ECD=∠ACE，
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD=∠B+∠E，
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC=∠ACE+∠E，
将∠ACE替换为∠ECD，代入得：
$∠ BAC=∠ B+∠ E+∠ E=∠ B+2∠ E$，得证。
【答案】
(1) $∠ E=50°$；
(2) 证明见解析，$∠ BAC=∠ B+2∠ E$成立。
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，角的等量代换
【点评】
本题是三角形外角相关的基础典型题，解题的核心是准确识别三角形的外角，灵活运用外角性质建立不同角之间的数量关系，结合角平分线定义即可完成计算和证明。
【难度系数】
0.7
1 如图，CE平分∠ACD，交AB于点E.若∠A=40°,∠B=30°,∠BDC=110°,则∠BEC的度数为
60°
.答案
1. 60°
解析
【分析】
解题时可先连接BC，利用三角形内角和定理先求出△BDC中两个底角的和，再结合△ABC的内角和求出∠ACD的度数；再根据角平分线的定义得到∠ACE的度数，最后利用三角形外角的性质，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
连接BC，在△BDC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 110° = 70°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
其中$∠ ABC = ∠ B + ∠ DBC = 30° + ∠ DBC$，$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ DCB$，代入得：
$40° + 30° + ∠ DBC + ∠ DCB + ∠ ACD = 180°$，
将$∠ DBC + ∠ DCB = 70°$代入上式，解得$∠ ACD = 40°$。
∵CE平分$∠ ACD$，
∴$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
∵$∠ BEC$是△AEC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BEC = ∠ A + ∠ ACE = 40° + 20° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形角度相关性质的综合应用，解题的关键是利用三角形内角和求出未知角$∠ ACD$的度数，再结合角平分线定义和外角性质计算结果，熟练掌握三角形的角度计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可先连接BC，利用三角形内角和定理先求出△BDC中两个底角的和，再结合△ABC的内角和求出∠ACD的度数；再根据角平分线的定义得到∠ACE的度数，最后利用三角形外角的性质，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
连接BC，在△BDC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 110° = 70°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
其中$∠ ABC = ∠ B + ∠ DBC = 30° + ∠ DBC$，$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ DCB$，代入得：
$40° + 30° + ∠ DBC + ∠ DCB + ∠ ACD = 180°$，
将$∠ DBC + ∠ DCB = 70°$代入上式，解得$∠ ACD = 40°$。
∵CE平分$∠ ACD$，
∴$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
∵$∠ BEC$是△AEC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BEC = ∠ A + ∠ ACE = 40° + 20° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形角度相关性质的综合应用，解题的关键是利用三角形内角和求出未知角$∠ ACD$的度数，再结合角平分线定义和外角性质计算结果，熟练掌握三角形的角度计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2 如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB.若∠DAE=40°，∠DBE=130°，则∠DCE的度数为
85°
.答案
2. 85°
【解析】 $\because ∠A=40°,∠DBE=130°, \therefore ∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠A=130°-40°=90°. \because DC$ 平分$∠ADB$, EC 平分$∠AEB, \therefore ∠ADC=\frac{1}{2}∠ADB,∠AEC=\frac{1}{2}∠AEB. \therefore ∠ADC+∠AEC=\frac{1}{2}(∠ADB+∠AEB)=45°. \therefore ∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.$
【解析】 $\because ∠A=40°,∠DBE=130°, \therefore ∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠A=130°-40°=90°. \because DC$ 平分$∠ADB$, EC 平分$∠AEB, \therefore ∠ADC=\frac{1}{2}∠ADB,∠AEC=\frac{1}{2}∠AEB. \therefore ∠ADC+∠AEC=\frac{1}{2}(∠ADB+∠AEB)=45°. \therefore ∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，先推导∠ADB与∠AEB的和，根据凹四边形（飞镖模型）的角度关系，∠DBE等于∠DAE、∠ADB、∠AEB三者之和，代入已知的∠DAE和∠DBE的度数，即可求出∠ADB+∠AEB的度数；第二步，结合角平分线的定义，DC平分∠ADB、EC平分∠AEB，可得到两个被平分后的小角∠ADC、∠AEC的和是∠ADB与∠AEB和的一半；第三步，再次利用凹四边形的角度关系，∠DCE等于∠DAE、∠ADC、∠AEC三者之和，代入对应数值即可求出∠DCE的度数。
【解析】
∵ ∠DAE=40°，∠DBE=130°，
∴ ∠ADB + ∠AEB = ∠DBE - ∠DAE = 130° - 40° = 90°，
∵ DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴ ∠ADC = $\frac{1}{2}$∠ADB，∠AEC = $\frac{1}{2}$∠AEB，
∴ ∠ADC + ∠AEC = $\frac{1}{2}$(∠ADB + ∠AEB) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∴ ∠DCE = ∠DAE + ∠ADC + ∠AEC = 40° + 45° = 85°。
【答案】
85°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是典型的角度计算综合题，核心是利用角平分线的性质实现角度的转化，解题的关键是理清图形中多个角之间的数量关系，掌握常见的角度关系模型可以快速简化计算过程，是角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.65
解题可按三步思考：第一步，先推导∠ADB与∠AEB的和，根据凹四边形（飞镖模型）的角度关系，∠DBE等于∠DAE、∠ADB、∠AEB三者之和，代入已知的∠DAE和∠DBE的度数，即可求出∠ADB+∠AEB的度数；第二步，结合角平分线的定义，DC平分∠ADB、EC平分∠AEB，可得到两个被平分后的小角∠ADC、∠AEC的和是∠ADB与∠AEB和的一半；第三步，再次利用凹四边形的角度关系，∠DCE等于∠DAE、∠ADC、∠AEC三者之和，代入对应数值即可求出∠DCE的度数。
【解析】
∵ ∠DAE=40°，∠DBE=130°，
∴ ∠ADB + ∠AEB = ∠DBE - ∠DAE = 130° - 40° = 90°，
∵ DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴ ∠ADC = $\frac{1}{2}$∠ADB，∠AEC = $\frac{1}{2}$∠AEB，
∴ ∠ADC + ∠AEC = $\frac{1}{2}$(∠ADB + ∠AEB) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∴ ∠DCE = ∠DAE + ∠ADC + ∠AEC = 40° + 45° = 85°。
【答案】
85°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是典型的角度计算综合题，核心是利用角平分线的性质实现角度的转化，解题的关键是理清图形中多个角之间的数量关系，掌握常见的角度关系模型可以快速简化计算过程，是角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.65
