7 如图①，$∠ MON=90°$，点$A$，$B$分别在$OM$，$ON$上运动（不与点$O$重合），连接$AB$.
（1）探究与发现：若$BC$是$∠ ABN$的平分线，$BC$的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点$D$.
① 若$∠ BAO=70°$，则$∠ D=$.
② $∠ D$的度数是否随点$A$，$B$的运动而发生变化？请说明理由.
（2）拓展延伸：如图②，若$∠ ABC=\frac{1}{3}∠ ABN$，$∠ BAD=\frac{1}{3}∠ BAO$，求$∠ D$的度数.
（3）在（1）的条件下，如果$∠ MON=α$，其余条件不变，随着点$A$，$B$的运动（如图③），那么$∠ D=$（用含$α$的式子表示）.

7. (1) ① 45° ② 不发生变化 理由:$∵ AD$ 平分$∠BAO$,$BC$ 平分$∠ABN$,$∴ ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAO$,$∠ABC=\frac{1}{2}∠ABN$.
$∵ ∠D+∠BAD=∠ABC$,$∴ ∠D=∠ABC-∠BAD=\frac{1}{2}∠ABN-\frac{1}{2}∠BAO=\frac{1}{2}(∠ABN-∠BAO)=\frac{1}{2}∠MON$.
$∵ ∠MON=90°$,$∴ ∠D=45°$. $∴ ∠D$ 的度数不发生变化.
(2) 由(1) ②,知$∠D=∠ABC-∠BAD$. $∵ ∠ABC=\frac{1}{3}∠ABN$,$∠BAD=\frac{1}{3}∠BAO$,$∴ ∠D=\frac{1}{3}∠ABN-\frac{1}{3}∠BAO=\frac{1}{3}(∠ABN-∠BAO)=\frac{1}{3}∠MON$. $∵ ∠MON=90°$,$∴ ∠D=30°$
(3) $\frac{1}{2}α$

【分析】
解决本题的核心是利用三角形外角的性质建立角之间的等量关系，结合角平分线的定义推导所求角的大小：
1. 解(1)①时，先根据三角形外角性质求∠ABN的度数，再结合角平分线定义算出∠ABC和∠BAD的度数，最后利用△ABD的外角性质即可求出∠D；
2. 解(1)②时，将①中的特殊角度替换为一般角，通过角平分线定义表示出∠ABC和∠BAD，结合外角性质推导可得到∠D为∠MON的一半，因此度数不变；
3. 解(2)时，类比(1)②的推导思路，将角的比例从$\frac{1}{2}$替换为$\frac{1}{3}$，同理推导即可求出∠D；
4. 解(3)时，将(1)②中∠MON=90°替换为α，代入推导得到的关系式即可得到结果。
【解析】
(1) ① 已知∠MON=90°，∠BAO=70°，
∠ABN是△AOB的外角，因此$∠ ABN=∠ MON+∠ BAO=90°+70°=160°$，
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAO=35°$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=80°$，
在△ABD中，∠ABC是外角，因此$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，
∴$∠ D=∠ ABC-∠ BAD=80°-35°=45°$。
② ∠D的度数不发生变化，理由如下：
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAO$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN$，
∵∠ABC是△ABD的外角，因此$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，
∴$∠ D=∠ ABC-∠ BAD=\frac{1}{2}∠ ABN-\frac{1}{2}∠ BAO=\frac{1}{2}(∠ ABN-∠ BAO)$，
又
∵∠ABN是△AOB的外角，因此$∠ ABN=∠ MON+∠ BAO$，即$∠ ABN-∠ BAO=∠ MON=90°$，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$，因此∠D的度数不随A、B的运动发生变化。
(2) 由三角形外角性质可得$∠ ABC=∠ D+∠ BAD$，即$∠ D=∠ ABC-∠ BAD$，
∵$∠ ABC=\frac{1}{3}∠ ABN$，$∠ BAD=\frac{1}{3}∠ BAO$，
∴$∠ D=\frac{1}{3}∠ ABN-\frac{1}{3}∠ BAO=\frac{1}{3}(∠ ABN-∠ BAO)$，
同(1)可得$∠ ABN-∠ BAO=∠ MON=90°$，
∴$∠ D=\frac{1}{3}×90°=30°$。
(3) 类比(1)②的推导，$∠ D=\frac{1}{2}(∠ ABN-∠ BAO)=\frac{1}{2}∠ MON$，
∵$∠ MON=α$，
∴$∠ D=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{45°}$；② 不发生变化，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{30°}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}α}$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，通过从特殊到一般的推导过程，考查对三角形外角性质和角平分线定义的灵活运用能力，解题时抓住外角传递的角的等量关系是突破口，有助于提升逻辑推导和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6

8 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=40°$,$∠ ACB=110°$,AE平分$∠ BAC$,$AD⊥ BC$,交BC的延长线于点D,则$∠ DAE$的度数为.

8. 35°

【分析】
要计算∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数；然后结合AD是高，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAD的度数；最后通过∠BAD与∠BAE的差即可得到∠DAE的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-40°-110°=30°$
$\because AE$平分$∠ BAC$
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×30°=15°$
$\because AD⊥ BC$，即$∠ D=90°$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-40°=50°$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=50°-15°=35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题关键是理清各个角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可，属于基础类的综合计算题。
【难度系数】
0.7

9 如图①，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$，$∠ B=70°$，$∠ C=34°$。
（1）求$∠ DAE$的度数。
（2）你能写出$∠ B$，$∠ C$，$∠ DAE$之间的数量关系吗？请证明你的结论。
（3）① 设$F$为$AE$上任意一点，当它在$AE$上滑动，$AD$变成$FD$，$∠ DAE$变成$∠ DFE$（如图②）时，（2）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由。
② 当点$F$滑动到$AE$的延长线上，$AD$变成$FD$，$∠ DAE$变成$∠ DFE$（如图③）时，（2）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由。

9. (1) 在$△ABC$中,$∠BAC=180°-∠B-∠C=76°$. 又$∵ AE$平分$∠BAC$,$∴ ∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=38°$. 在$Rt△ACD$ 中,$∠DAC=90°-∠C=56°$,$∴ ∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°$
(2) $∠DAE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)$ $∵ ∠BAC=180°-∠B-∠C$,$AE$ 平分$∠BAC$,$∴ ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠C)=90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$. $∵$ 易得$∠BAD=90°-∠B$,
$∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C-90°+∠B=\frac{1}{2}(∠B-∠C)$
(3) ① 成立 如图①,过点 $A$ 作 $AH⊥BC$ 于点 $H$. 由(2)得$∠HAE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)$. $∵ FD⊥BC$,$∴ AH// FD$. $∴ ∠DFE=∠HAE$. $∴ ∠DFE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)$
② 成立 如图②,过点 $A$ 作 $AH⊥BC$ 于点 $H$. 由(2)得$∠HAE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)$. $∵ FD⊥BC$,$∴ AH// FD$.
$∴ ∠DFE=∠HAE$. $∴ ∠DFE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)$

【分析】
（1）求∠DAE的度数时，先利用三角形内角和求出△ABC的顶角∠BAC，再结合角平分线定义求出∠EAC，接着在直角△ADC中利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC，最后用∠DAC减去∠EAC即可得到结果。
（2）推导∠B、∠C、∠DAE的数量关系，只需把（1）中的具体角度替换为∠B、∠C，复刻（1）的推导过程化简，就能得到通用关系式。
（3）①②问中存在FD⊥BC的条件，可过A作AH⊥BC于H，由AH、FD均垂直BC可得AH//FD，利用平行线的性质将∠DFE转化为∠HAE，再结合（2）的结论就能判断原关系是否成立。
【解析】
（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 34° = 76°$
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 76° = 38°$
∵$AD ⊥ BC$，△ADC为直角三角形，
∴$∠ DAC = 90° - ∠ C = 90° - 34° = 56°$
∴$∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 56° - 38° = 18°$
（2）数量关系：$\boldsymbol{∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)}$，证明如下：
在△ABC中，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C$，
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C) = 90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$
∵$AD ⊥ BC$，△ABD为直角三角形，
∴$∠ BAD = 90° - ∠ B$
∴$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C - (90°-∠ B) = \frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
（3）①成立，证明如下：
如图①，过点A作$AH ⊥ BC$于点H，
由（2）的结论可得$∠ HAE = \frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
∵$FD ⊥ BC$，$AH ⊥ BC$，
∴$AH // FD$（垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴$∠ DFE = ∠ HAE$（两直线平行，同位角相等）
∴$∠ DFE = \frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，即（2）中的结论仍成立。
②成立，证明如下：
如图②，过点A作$AH ⊥ BC$于点H，
由（2）的结论可得$∠ HAE = \frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
∵$FD ⊥ BC$，$AH ⊥ BC$，
∴$AH // FD$（垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴$∠ DFE = ∠ HAE$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ DFE = \frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，即（2）中的结论仍成立。
【答案】
(1) $∠ DAE=18°$
(2) $∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，证明见解析
(3) ①成立，证明见解析；②成立，证明见解析

【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的定义
3. 平行线的性质
【点评】
本题从特殊角度计算到一般规律推导，再拓展到动点情形下的角关系探究，层层递进，重点考查三角形中高、角平分线相关的角度计算，渗透了从特殊到一般、转化的数学思想，掌握构造平行线转化角的方法是解决拓展问题的关键。
【难度系数】
0.6