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1 取一些等长的磁力棒(如图①),用3根磁力棒能组成1个等边三角形(如图②),用6根磁力棒能组成4个等边三角形,那么用12根磁力棒最多能组成
10
个等边三角形.答案
1. 10 【解析】由题知,用3根磁力棒能组成1个等边三角形,用6根磁力棒可搭成一个四面体,则最多能组成4个等边三角形;用9根磁力棒可搭成两个共底的四面体,则最多能组成7个等边三角形;…;
∴ 3n 根磁力棒最多可组成(3n−2)个等边三角形(n 为正整数).当3n=12时,3n−2=10.
∴ 用12根磁力棒最多能组成10个等边三角形.
∴ 3n 根磁力棒最多可组成(3n−2)个等边三角形(n 为正整数).当3n=12时,3n−2=10.
∴ 用12根磁力棒最多能组成10个等边三角形.
解析
【分析】
解题时首先要突破平面思维的限制：若仅在平面内拼接，6根等长磁力棒最多只能拼出3个等边三角形，与题目给出的“6根组成4个等边三角形”矛盾，因此要考虑立体构造。首先回忆正四面体的特征：正四面体有6条棱、4个面，每个面都是等边三角形，刚好符合6根磁力棒拼4个等边三角形的条件。接下来可以通过已知的3根、6根、9根对应的三角形数量归纳规律，代入求解即可。
【解析】
要使拼成的等边三角形数量最多，优先采用共用棱的立体构造：
1. 3根磁力棒：可拼成1个等边三角形，数量为1；
2. 6根磁力棒：可拼成1个正四面体，正四面体的4个面均为等边三角形，数量为4；
3. 9根磁力棒：可拼成2个共底面的正四面体，重合的公共底面为内部面不计入总数，总数量为$4+4-1=7$；
观察可得规律：每增加3根磁力棒，最多可多拼3个等边三角形，即3n根磁力棒最多可组成$3n-2$个等边三角形（n为正整数）。
当$3n=12$时，$n=4$，代入得：$3×4 -2=10$。
【答案】
10
【知识点】
等边三角形性质，规律探究，立体图形认识
【点评】
本题解题的关键是跳出平面拼接的思维定式，结合已知条件判断出最优的立体构造方式，同时考查了学生归纳数字规律解决问题的能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先要突破平面思维的限制：若仅在平面内拼接，6根等长磁力棒最多只能拼出3个等边三角形，与题目给出的“6根组成4个等边三角形”矛盾，因此要考虑立体构造。首先回忆正四面体的特征：正四面体有6条棱、4个面，每个面都是等边三角形，刚好符合6根磁力棒拼4个等边三角形的条件。接下来可以通过已知的3根、6根、9根对应的三角形数量归纳规律，代入求解即可。
【解析】
要使拼成的等边三角形数量最多，优先采用共用棱的立体构造：
1. 3根磁力棒：可拼成1个等边三角形，数量为1；
2. 6根磁力棒：可拼成1个正四面体，正四面体的4个面均为等边三角形，数量为4；
3. 9根磁力棒：可拼成2个共底面的正四面体，重合的公共底面为内部面不计入总数，总数量为$4+4-1=7$；
观察可得规律：每增加3根磁力棒，最多可多拼3个等边三角形，即3n根磁力棒最多可组成$3n-2$个等边三角形（n为正整数）。
当$3n=12$时，$n=4$，代入得：$3×4 -2=10$。
【答案】
10
【知识点】
等边三角形性质，规律探究，立体图形认识
【点评】
本题解题的关键是跳出平面拼接的思维定式，结合已知条件判断出最优的立体构造方式，同时考查了学生归纳数字规律解决问题的能力。
【难度系数】
0.4
2 平面内由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形称为多边形,连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.请通过画图探究并回答下列问题:
(1) 如图①,从四边形的一个顶点出发可以作
(2) 如图②,从五边形的一个顶点出发可以作
(3) 如图③,从六边形的一个顶点出发可以作
(4) 通过以上探究可以发现:从$n(n≥ 3$且为整数)边形的一个顶点出发,可以作多少条对角线?将多边形分成多少个三角形?
(1) 如图①,从四边形的一个顶点出发可以作
1
条对角线,将四边形分为2
个三角形.(2) 如图②,从五边形的一个顶点出发可以作
2
条对角线,将五边形分为3
个三角形.(3) 如图③,从六边形的一个顶点出发可以作
3
条对角线,将六边形分为4
个三角形.(4) 通过以上探究可以发现:从$n(n≥ 3$且为整数)边形的一个顶点出发,可以作多少条对角线?将多边形分成多少个三角形?
答案
2. (1) 1 2 (2) 2 3 (3) 3 4 (4) $(n-3)$条 $(n-2)$个
解析
【分析】
解决这道题我们可以结合多边形对角线的定义，先从特殊的四边形、五边形、六边形入手分析：从多边形的一个顶点出发时，该顶点本身以及与它相邻的2个顶点无法和它连成对角线，所以先数出每个多边形的顶点总数，减去这3个不能连对角线的顶点数，就能得到可作的对角线数量；再观察对角线分割出的三角形个数，总结其和边数的关系，最后推广到n边形的一般规律即可。
【解析】
(1) 四边形有4个顶点，从一个顶点出发，除自身和相邻的2个顶点外，剩余可连接的顶点数为$4-3=1$，即可作1条对角线；这条对角线将四边形分成2个三角形。
(2) 五边形有5个顶点，从一个顶点出发，可作的对角线数为$5-3=2$条；这2条对角线将五边形分成3个三角形。
(3) 六边形有6个顶点，从一个顶点出发，可作的对角线数为$6-3=3$条；这3条对角线将六边形分成4个三角形。
(4) 结合前面的规律推导：n边形共有n个顶点，从一个顶点出发，减去自身和相邻的2个顶点，可作$(n-3)$条对角线；这些对角线将n边形分成的三角形个数比对角线数多1，即$(n-3)+1 = n-2$个。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；$\boxed{2}$
(2) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(3) $\boxed{3}$；$\boxed{4}$
(4) 可以作$\boxed{(n-3)}$条对角线，将多边形分成$\boxed{(n-2)}$个三角形。
【知识点】
多边形的概念；多边形的对角线；规律探究
【点评】
本题通过特殊多边形的性质推导一般规律，是典型的从特殊到一般的探究类题目，能够帮助理解多边形的基本性质，为后续学习多边形内角和等相关知识做好铺垫。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以结合多边形对角线的定义，先从特殊的四边形、五边形、六边形入手分析：从多边形的一个顶点出发时，该顶点本身以及与它相邻的2个顶点无法和它连成对角线，所以先数出每个多边形的顶点总数，减去这3个不能连对角线的顶点数，就能得到可作的对角线数量；再观察对角线分割出的三角形个数，总结其和边数的关系，最后推广到n边形的一般规律即可。
【解析】
(1) 四边形有4个顶点，从一个顶点出发，除自身和相邻的2个顶点外，剩余可连接的顶点数为$4-3=1$，即可作1条对角线；这条对角线将四边形分成2个三角形。
(2) 五边形有5个顶点，从一个顶点出发，可作的对角线数为$5-3=2$条；这2条对角线将五边形分成3个三角形。
(3) 六边形有6个顶点，从一个顶点出发，可作的对角线数为$6-3=3$条；这3条对角线将六边形分成4个三角形。
(4) 结合前面的规律推导：n边形共有n个顶点，从一个顶点出发，减去自身和相邻的2个顶点，可作$(n-3)$条对角线；这些对角线将n边形分成的三角形个数比对角线数多1，即$(n-3)+1 = n-2$个。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；$\boxed{2}$
(2) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(3) $\boxed{3}$；$\boxed{4}$
(4) 可以作$\boxed{(n-3)}$条对角线，将多边形分成$\boxed{(n-2)}$个三角形。
【知识点】
多边形的概念；多边形的对角线；规律探究
【点评】
本题通过特殊多边形的性质推导一般规律，是典型的从特殊到一般的探究类题目，能够帮助理解多边形的基本性质，为后续学习多边形内角和等相关知识做好铺垫。
【难度系数】
0.8
3 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分. 瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了一个$n$边形($n≥3$且$n$为整数)的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了$n$边形的不同三角剖分方法数($D_n$)的公式. 后来数学家发现并证明:当$n≥3$时，$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$ ($D_3=1$). 请你利用上述公式计算五边形的三角剖分方法数$D_5$.
答案
3. $\because D_3=1, \therefore \frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=2. \therefore D_4=2.$ 又$\because \frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{5}{2}, \therefore D_5=5$
解析
【分析】
题目给出了多边形三角剖分方法数的递推关系和初始值$D_3=1$，要求$D_5$，我们可以采用逐步递推的思路：首先根据递推公式，先由已知的$D_3$求出$D_4$，再由得到的$D_4$求出$D_5$，代入公式时要注意找准对应关系，求$D_k$时，对应递推式中的$n$为$k-1$。
【解析】
已知$D_3=1$，
计算$D_4$时，对应递推公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$中$n+1=4$，即$n=3$，代入得：
$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3 - 6}{3}=\frac{12-6}{3}=2$，
因此$D_4=2× D_3=2×1=2$；
计算$D_5$时，对应递推公式中$n+1=5$，即$n=4$，代入得：
$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4 - 6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{5}{2}$，
因此$D_5=\frac{5}{2}× D_4=\frac{5}{2}×2=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
新定义理解，代数式求值，递推计算
【点评】
本题结合数学史背景考查新定义公式的应用，解题核心是准确对应递推公式中的$n$值，按照从已知到未知的顺序逐步计算，侧重考查信息提取和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
题目给出了多边形三角剖分方法数的递推关系和初始值$D_3=1$，要求$D_5$，我们可以采用逐步递推的思路：首先根据递推公式，先由已知的$D_3$求出$D_4$，再由得到的$D_4$求出$D_5$，代入公式时要注意找准对应关系，求$D_k$时，对应递推式中的$n$为$k-1$。
【解析】
已知$D_3=1$，
计算$D_4$时，对应递推公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$中$n+1=4$，即$n=3$，代入得：
$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3 - 6}{3}=\frac{12-6}{3}=2$，
因此$D_4=2× D_3=2×1=2$；
计算$D_5$时，对应递推公式中$n+1=5$，即$n=4$，代入得：
$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4 - 6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{5}{2}$，
因此$D_5=\frac{5}{2}× D_4=\frac{5}{2}×2=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
新定义理解，代数式求值，递推计算
【点评】
本题结合数学史背景考查新定义公式的应用，解题核心是准确对应递推公式中的$n$值，按照从已知到未知的顺序逐步计算，侧重考查信息提取和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
