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6 新考向 条件开放题 [2024 德州]如图，C是AB的中点，且$CD=BE$，要使$△ ACD ≌ △ CBE$，还需添加一个条件是
答案不唯一,如$AD=CE$
。答案
6. 答案不唯一,如$AD=CE$
解析
【分析】
要判断添加什么条件可使△ACD≌△CBE，首先梳理已知条件：①C是AB中点，可得AC=CB；②题目给出CD=BE，此时已有两组边对应相等。结合全等三角形的判定定理，两组边对应相等时，可补充第三组边相等（用SSS判定全等），也可补充两组边的夹角相等（用SAS判定全等），据此写出符合要求的条件即可。
【解析】
∵C是AB的中点，
∴AC=CB。
已知CD=BE，若添加条件AD=CE，
在△ACD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}AC=CB\\CD=BE\\AD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△CBE（SSS）。
也可添加∠ACD=∠B，利用SAS判定全等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AD=CE$
【知识点】
线段中点的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是条件开放型题目，需结合已有条件匹配全等三角形的判定定理选择补充的条件，能有效考查对全等判定定理的灵活运用能力，加深对全等判定条件的理解。
【难度系数】
0.8
要判断添加什么条件可使△ACD≌△CBE，首先梳理已知条件：①C是AB中点，可得AC=CB；②题目给出CD=BE，此时已有两组边对应相等。结合全等三角形的判定定理，两组边对应相等时，可补充第三组边相等（用SSS判定全等），也可补充两组边的夹角相等（用SAS判定全等），据此写出符合要求的条件即可。
【解析】
∵C是AB的中点，
∴AC=CB。
已知CD=BE，若添加条件AD=CE，
在△ACD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}AC=CB\\CD=BE\\AD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△CBE（SSS）。
也可添加∠ACD=∠B，利用SAS判定全等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AD=CE$
【知识点】
线段中点的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是条件开放型题目，需结合已有条件匹配全等三角形的判定定理选择补充的条件，能有效考查对全等判定定理的灵活运用能力，加深对全等判定条件的理解。
【难度系数】
0.8
7 如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为(-1,0)，(1,3)，AC=BC，且AC⊥BC，则点B的坐标为
$(4,1)$
。答案
7. $(4,1)$
解析
【分析】
本题已知直角顶点C的坐标、点A的坐标，且AC=BC、AC⊥BC，适合采用构造“K型全等”的思路求解：首先过直角顶点C作平行于x轴的直线，再分别过A、B向该直线作垂线，得到两个全等的直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合坐标差计算线段长度，最终推导出点B的坐标。
【解析】
过点C作直线$l// x$轴，过点A作$AE⊥ l$于点E，过点B作$BF⊥ l$于点F，则$∠ E=∠ F=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF=180° - 90°=90°$。
又$\because ∠ ACE + ∠ CAE=90°$，$\therefore ∠ CAE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ F \\∠ CAE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ CFB$（AAS）。
已知$A(-1,0)$，$C(1,3)$，则$E(-1,3)$，$F$的纵坐标为3：
$AE=3-0=3$，$CE=1 - (-1)=2$。
由全等性质得：$CF=AE=3$，$BF=CE=2$。
$\therefore$点F的横坐标为$1+3=4$，点B的纵坐标为$3-2=1$，即点B的坐标为$(4,1)$。
【答案】
$(4,1)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系坐标运算，直角三角形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等几何的综合题，核心是构造K型全等模型建立线段长度与坐标的联系，解题时要注意坐标正负和线段长度的对应关系，是几何与代数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
本题已知直角顶点C的坐标、点A的坐标，且AC=BC、AC⊥BC，适合采用构造“K型全等”的思路求解：首先过直角顶点C作平行于x轴的直线，再分别过A、B向该直线作垂线，得到两个全等的直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合坐标差计算线段长度，最终推导出点B的坐标。
【解析】
过点C作直线$l// x$轴，过点A作$AE⊥ l$于点E，过点B作$BF⊥ l$于点F，则$∠ E=∠ F=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF=180° - 90°=90°$。
又$\because ∠ ACE + ∠ CAE=90°$，$\therefore ∠ CAE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ F \\∠ CAE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ CFB$（AAS）。
已知$A(-1,0)$，$C(1,3)$，则$E(-1,3)$，$F$的纵坐标为3：
$AE=3-0=3$，$CE=1 - (-1)=2$。
由全等性质得：$CF=AE=3$，$BF=CE=2$。
$\therefore$点F的横坐标为$1+3=4$，点B的纵坐标为$3-2=1$，即点B的坐标为$(4,1)$。
【答案】
$(4,1)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系坐标运算，直角三角形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等几何的综合题，核心是构造K型全等模型建立线段长度与坐标的联系，解题时要注意坐标正负和线段长度的对应关系，是几何与代数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
8 如图，$∠ A = ∠ B$，点D在AC边上，AE和BD相交于点O，$∠ 1 = ∠ 2$，$AE = BE$. 求证：$AC = BD$.
答案
8. $\because ∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,∴$ 易得$∠2=∠AEB$。
$\because ∠1=∠2,∴ ∠1=∠AEB. ∴ ∠1+∠AED=∠AEB+∠AED$,即$∠AEC=∠BED$。在$△AEC$ 和 $△BED$ 中,
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
$\therefore △AEC≌△BED. ∴ AC=BD$
$\because ∠1=∠2,∴ ∠1=∠AEB. ∴ ∠1+∠AED=∠AEB+∠AED$,即$∠AEC=∠BED$。在$△AEC$ 和 $△BED$ 中,
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
$\therefore △AEC≌△BED. ∴ AC=BD$
解析
【分析】
要证明线段$AC=BD$，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知$AC$属于$△ AEC$，$BD$属于$△ BED$，已知已经给出$∠A=∠B$、$AE=BE$，还缺少一组对应角相等的条件即可用ASA判定三角形全等。我们可以先利用对顶角相等和三角形内角和的性质，由$∠A=∠B$推出$∠2=∠AEB$，再结合已知$∠1=∠2$，通过等式的性质推导得到$∠AEC=∠BED$，即可满足全等的判定条件，进而证明结论。
【解析】
证明：
$\because ∠A=∠B$，$∠AOD=∠BOE$（对顶角相等），
$\therefore ∠2=∠AEB$。
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1=∠AEB$，
$\therefore ∠1+∠AED=∠AEB+∠AED$（等式的性质），即$∠AEC=∠BED$。
在$△ AEC$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BED$（ASA），
$\therefore AC=BD$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；对顶角相等；等式的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的典型习题，解题核心是通过已知角的关系推导出全等所需的对应角相等，能够很好地考查学生对全等判定条件的运用能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明线段$AC=BD$，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知$AC$属于$△ AEC$，$BD$属于$△ BED$，已知已经给出$∠A=∠B$、$AE=BE$，还缺少一组对应角相等的条件即可用ASA判定三角形全等。我们可以先利用对顶角相等和三角形内角和的性质，由$∠A=∠B$推出$∠2=∠AEB$，再结合已知$∠1=∠2$，通过等式的性质推导得到$∠AEC=∠BED$，即可满足全等的判定条件，进而证明结论。
【解析】
证明：
$\because ∠A=∠B$，$∠AOD=∠BOE$（对顶角相等），
$\therefore ∠2=∠AEB$。
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1=∠AEB$，
$\therefore ∠1+∠AED=∠AEB+∠AED$（等式的性质），即$∠AEC=∠BED$。
在$△ AEC$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠A=∠B, \\AE=BE, \\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BED$（ASA），
$\therefore AC=BD$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；对顶角相等；等式的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的典型习题，解题核心是通过已知角的关系推导出全等所需的对应角相等，能够很好地考查学生对全等判定条件的运用能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9 如图，在$△ ABC$ 和$△ AEF$ 中，$AB = AC$，$AE=AF$，$∠ BAC=∠ EAF$，$BE$ 交 $AC$ 于点 $D$，交 $FC$ 于点 $O$。
（1）求证：$BE=CF$；
（2）当$∠ BAC=70°$时，求$∠ BOC$ 的度数。
（1）求证：$BE=CF$；
（2）当$∠ BAC=70°$时，求$∠ BOC$ 的度数。
答案
9. (1) $\because ∠BAC=∠EAF,∴ ∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE. ∴ ∠BAE=∠CAF$. 在 $△BAE$ 和 $△CAF$ 中,
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAE=∠CAF, \\AE=AF,\end{cases}$
$\therefore △BAE ≌ △CAF. ∴ BE = CF$
(2) $\because △BAE≌△CAF,∴ ∠EBA=∠FCA$,即$∠DBA=∠OCD. ∵ ∠BDA=∠ODC,∴$ 易得$∠BAD=∠COD$.
$\because ∠BAC=70°$,即$∠BAD=70°,∴ ∠COD=70°$,即$∠BOC=70°$
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAE=∠CAF, \\AE=AF,\end{cases}$
$\therefore △BAE ≌ △CAF. ∴ BE = CF$
(2) $\because △BAE≌△CAF,∴ ∠EBA=∠FCA$,即$∠DBA=∠OCD. ∵ ∠BDA=∠ODC,∴$ 易得$∠BAD=∠COD$.
$\because ∠BAC=70°$,即$∠BAD=70°,∴ ∠COD=70°$,即$∠BOC=70°$
解析
【分析】
（1）要证明两条线段相等，通常可证明线段所在的三角形全等。已知AB=AC、AE=AF，只需推出两边的夹角相等即可：将已知相等的∠BAC和∠EAF同时加上公共角∠CAE，就能得到∠BAE=∠CAF，满足SAS全等判定条件，证得△BAE≌△CAF后即可推出对应边BE=CF。
（2）求∠BOC的度数可借助全等的性质转化角的关系：由全等可得∠EBA=∠FCA，结合对顶角∠BDA=∠ODC，根据三角形内角和为180°，可推出∠BAD=∠COD，即∠BOC的度数与已知的∠BAC相等，代入数值即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠BAC=∠EAF$，
$\therefore ∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE$，即$∠BAE=∠CAF$。
在$△ BAE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAE=∠CAF, \\AE=AF,\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE = CF$。
(2) 解：
$\because △ BAE≌△ CAF$，
$\therefore ∠EBA=∠FCA$，即$∠DBA=∠OCD$。
$\because ∠BDA=∠ODC$（对顶角相等），
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠BAD=∠COD$。
$\because ∠BAC=70°$，即$∠BAD=70°$，
$\therefore ∠COD=70°$，即$∠BOC=70°$。
【答案】
(1) $BE=CF$，证明成立；
(2) $∠BOC=70°$
【知识点】
SAS全等判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，解题核心是利用角的和差关系构造全等所需的等角条件，再结合全等性质转化角的等量关系求解，要注意挖掘图形中公共角、对顶角等隐含的相等关系。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两条线段相等，通常可证明线段所在的三角形全等。已知AB=AC、AE=AF，只需推出两边的夹角相等即可：将已知相等的∠BAC和∠EAF同时加上公共角∠CAE，就能得到∠BAE=∠CAF，满足SAS全等判定条件，证得△BAE≌△CAF后即可推出对应边BE=CF。
（2）求∠BOC的度数可借助全等的性质转化角的关系：由全等可得∠EBA=∠FCA，结合对顶角∠BDA=∠ODC，根据三角形内角和为180°，可推出∠BAD=∠COD，即∠BOC的度数与已知的∠BAC相等，代入数值即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠BAC=∠EAF$，
$\therefore ∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE$，即$∠BAE=∠CAF$。
在$△ BAE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAE=∠CAF, \\AE=AF,\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE = CF$。
(2) 解：
$\because △ BAE≌△ CAF$，
$\therefore ∠EBA=∠FCA$，即$∠DBA=∠OCD$。
$\because ∠BDA=∠ODC$（对顶角相等），
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠BAD=∠COD$。
$\because ∠BAC=70°$，即$∠BAD=70°$，
$\therefore ∠COD=70°$，即$∠BOC=70°$。
【答案】
(1) $BE=CF$，证明成立；
(2) $∠BOC=70°$
【知识点】
SAS全等判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，解题核心是利用角的和差关系构造全等所需的等角条件，再结合全等性质转化角的等量关系求解，要注意挖掘图形中公共角、对顶角等隐含的相等关系。
【难度系数】
0.7
10 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，$AB=CD=\frac{1}{3}BC$，$AE=DF$，$AE// DF$，连接$BE$，$BF$，$CE$，$CF$。
（1）求证：$△ AEC≌△ DFB$；
（2）若$S_{△ AEC}=6$，求四边形$BECF$的面积。
（1）求证：$△ AEC≌△ DFB$；
（2）若$S_{△ AEC}=6$，求四边形$BECF$的面积。
答案
10. (1) $\because AE// DF,∴ ∠A=∠D. ∵ AB=CD,∴ AB+BC=CD+BC$,即$AC=DB$. 在$△AEC$ 和 $△DFB$ 中,
$\begin{cases}AE=DF, \\∠A=∠D, \\AC=DB,\end{cases}$
$\therefore △AEC≌△DFB$
(2) 如图,过点 E 作$EH⊥AC$于点 H. $\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}EH· AC,S_{△BEC}=\frac{1}{2}EH· BC$.
$\because AB=\frac{1}{3}BC,∴ BC=\frac{3}{4}AC. ∵ S_{△AEC}=6,∴ S_{△BEC}=\frac{3}{4}S_{△AEC}=4.5. ∵ △AEC≌△DFB,∴ ∠ACE=∠DBF$,$EC=FB$.在$△BEC$和$△CFB$中,$\begin{cases}EC=FB, \\∠BCE=∠CBF, \\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △BEC≌△CFB. ∴ S_{△BEC}=S_{△CFB}. ∴ S_{四边形BECF}=2S_{△BEC}=9$
解析
【分析】
（1）要证明$△ AEC≌△ DFB$，首先根据平行线性质可得一组内错角相等$∠ A=∠ D$，已知$AE=DF$，只需再证夹边$AC=DB$即可用SAS判定全等：由$AB=CD$，等式两边同时加公共段$BC$就能得到$AC=DB$，满足全等判定条件。
（2）求四边形$BECF$的面积，可将四边形拆为$△ BEC$和$△ CFB$两部分。首先作$EH⊥ AC$，$△ AEC$和$△ BEC$同高，面积比等于底$AC$与$BC$的比，结合$AB=\frac{1}{3}BC$可推出$BC=\frac{3}{4}AC$，即可由$S_{△ AEC}=6$求出$S_{△ BEC}$；再利用第一问全等的结论可得$EC=FB$、$∠ ACE=∠ DBF$，进而证得$△ BEC≌△ CFB$，两个三角形面积相等，因此四边形面积为$2S_{△ BEC}$，代入计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because AE// DF$，$\therefore ∠ A=∠ D$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB=CD$，$\therefore AB+BC=CD+BC$，即$AC=DB$。
在$△ AEC$和$△ DFB$中：
$\begin{cases}AE=DF, \\∠ A=∠ D, \\AC=DB,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ DFB$（SAS）。
（2）解：
过点$E$作$EH⊥ AC$于点$H$，根据三角形面积公式：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}EH· AC$，$S_{△ BEC}=\frac{1}{2}EH· BC$。
$\because AB=\frac{1}{3}BC$，$\therefore AC=AB+BC=\frac{4}{3}BC$，即$BC=\frac{3}{4}AC$。
$\because S_{△ AEC}=6$，$\therefore S_{△ BEC}=\frac{3}{4}S_{△ AEC}=\frac{3}{4}×6=4.5$。
$\because △ AEC≌△ DFB$，$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$，$EC=FB$。
在$△ BEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}EC=FB, \\∠ BCE=∠ CBF, \\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ BEC≌△ CFB$（SAS），$\therefore S_{△ BEC}=S_{△ CFB}$。
$\therefore S_{四边形BECF}=S_{△ BEC}+S_{△ CFB}=2×4.5=9$。
【答案】
10. (1) $\because AE// DF,∴ ∠A=∠D. ∵ AB=CD,∴ AB+BC=CD+BC$,即$AC=DB$. 在$△AEC$ 和 $△DFB$ 中,
$\begin{cases}AE=DF, \\∠A=∠D, \\AC=DB,\end{cases}$
$\therefore △AEC≌△DFB$
(2) 如图,过点 E 作$EH⊥AC$于点 H. $\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}EH· AC,S_{△BEC}=\frac{1}{2}EH· BC$.
$\because AB=\frac{1}{3}BC,∴ BC=\frac{3}{4}AC. ∵ S_{△AEC}=6,∴ S_{△BEC}=\frac{3}{4}S_{△AEC}=4.5. ∵ △AEC≌△DFB,∴ ∠ACE=∠DBF$,$EC=FB$.在$△BEC$和$△CFB$中,$\begin{cases}EC=FB, \\∠BCE=∠CBF, \\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △BEC≌△CFB. ∴ S_{△BEC}=S_{△CFB}. ∴ S_{四边形BECF}=2S_{△BEC}=9$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考察了全等三角形的判定、全等三角形的性质以及同高三角形面积和底的比例关系，第一问属于基础全等证明，第二问需要结合面积比例和二次全等推导，考察知识的迁移和综合运用能力，解题关键是灵活利用已知条件推导边、角的等量关系。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$△ AEC≌△ DFB$，首先根据平行线性质可得一组内错角相等$∠ A=∠ D$，已知$AE=DF$，只需再证夹边$AC=DB$即可用SAS判定全等：由$AB=CD$，等式两边同时加公共段$BC$就能得到$AC=DB$，满足全等判定条件。
（2）求四边形$BECF$的面积，可将四边形拆为$△ BEC$和$△ CFB$两部分。首先作$EH⊥ AC$，$△ AEC$和$△ BEC$同高，面积比等于底$AC$与$BC$的比，结合$AB=\frac{1}{3}BC$可推出$BC=\frac{3}{4}AC$，即可由$S_{△ AEC}=6$求出$S_{△ BEC}$；再利用第一问全等的结论可得$EC=FB$、$∠ ACE=∠ DBF$，进而证得$△ BEC≌△ CFB$，两个三角形面积相等，因此四边形面积为$2S_{△ BEC}$，代入计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because AE// DF$，$\therefore ∠ A=∠ D$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB=CD$，$\therefore AB+BC=CD+BC$，即$AC=DB$。
在$△ AEC$和$△ DFB$中：
$\begin{cases}AE=DF, \\∠ A=∠ D, \\AC=DB,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ DFB$（SAS）。
（2）解：
过点$E$作$EH⊥ AC$于点$H$，根据三角形面积公式：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}EH· AC$，$S_{△ BEC}=\frac{1}{2}EH· BC$。
$\because AB=\frac{1}{3}BC$，$\therefore AC=AB+BC=\frac{4}{3}BC$，即$BC=\frac{3}{4}AC$。
$\because S_{△ AEC}=6$，$\therefore S_{△ BEC}=\frac{3}{4}S_{△ AEC}=\frac{3}{4}×6=4.5$。
$\because △ AEC≌△ DFB$，$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$，$EC=FB$。
在$△ BEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}EC=FB, \\∠ BCE=∠ CBF, \\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ BEC≌△ CFB$（SAS），$\therefore S_{△ BEC}=S_{△ CFB}$。
$\therefore S_{四边形BECF}=S_{△ BEC}+S_{△ CFB}=2×4.5=9$。
【答案】
10. (1) $\because AE// DF,∴ ∠A=∠D. ∵ AB=CD,∴ AB+BC=CD+BC$,即$AC=DB$. 在$△AEC$ 和 $△DFB$ 中,
$\begin{cases}AE=DF, \\∠A=∠D, \\AC=DB,\end{cases}$
$\therefore △AEC≌△DFB$
(2) 如图,过点 E 作$EH⊥AC$于点 H. $\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}EH· AC,S_{△BEC}=\frac{1}{2}EH· BC$.
$\because AB=\frac{1}{3}BC,∴ BC=\frac{3}{4}AC. ∵ S_{△AEC}=6,∴ S_{△BEC}=\frac{3}{4}S_{△AEC}=4.5. ∵ △AEC≌△DFB,∴ ∠ACE=∠DBF$,$EC=FB$.在$△BEC$和$△CFB$中,$\begin{cases}EC=FB, \\∠BCE=∠CBF, \\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △BEC≌△CFB. ∴ S_{△BEC}=S_{△CFB}. ∴ S_{四边形BECF}=2S_{△BEC}=9$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考察了全等三角形的判定、全等三角形的性质以及同高三角形面积和底的比例关系，第一问属于基础全等证明，第二问需要结合面积比例和二次全等推导，考察知识的迁移和综合运用能力，解题关键是灵活利用已知条件推导边、角的等量关系。
【难度系数】
0.65
11 如图，OG平分$∠ MON$，A，B是射线OM，ON上的点，连接AB，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P。若$∠ ABN = 140°$，$∠ MON = 50°$，则$∠ OPB$的度数为
$45°$
。答案
11. $45°$
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的含义：题中作图步骤是作∠ABN的角平分线，可得BE平分∠ABN，先求出∠PBN的度数；再结合OG平分∠MON的条件，求出∠POB的度数；最后利用三角形外角的性质，即可推导得出∠OPB的度数。
【解析】
1. 根据尺规作图的步骤，可判断BE是∠ABN的角平分线，由角平分线的定义得：
$∠ PBN = \frac{1}{2}∠ ABN$
已知$∠ ABN=140°$，代入得$∠ PBN = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
2. 已知OG平分$∠ MON$，$∠ MON=50°$，由角平分线的定义得：
$∠ POB = \frac{1}{2}∠ MON = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
3. $∠ PBN$是$△ OPB$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ PBN = ∠ POB + ∠ OPB$
变形得$∠ OPB = ∠ PBN - ∠ POB = 70° - 25° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先识别尺规作图的结果，再结合角平分线性质和三角形外角性质逐步推导，考查学生对基础几何知识点的综合应用能力，是角平分线相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的含义：题中作图步骤是作∠ABN的角平分线，可得BE平分∠ABN，先求出∠PBN的度数；再结合OG平分∠MON的条件，求出∠POB的度数；最后利用三角形外角的性质，即可推导得出∠OPB的度数。
【解析】
1. 根据尺规作图的步骤，可判断BE是∠ABN的角平分线，由角平分线的定义得：
$∠ PBN = \frac{1}{2}∠ ABN$
已知$∠ ABN=140°$，代入得$∠ PBN = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
2. 已知OG平分$∠ MON$，$∠ MON=50°$，由角平分线的定义得：
$∠ POB = \frac{1}{2}∠ MON = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
3. $∠ PBN$是$△ OPB$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ PBN = ∠ POB + ∠ OPB$
变形得$∠ OPB = ∠ PBN - ∠ POB = 70° - 25° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先识别尺规作图的结果，再结合角平分线性质和三角形外角性质逐步推导，考查学生对基础几何知识点的综合应用能力，是角平分线相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
