登录
12 如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H。若OD=4，OP=8，PF=3.5，则DH的长为（
A.4.5
B.5
C.7
D.$\frac{7}{4}$
D
）A.4.5
B.5
C.7
D.$\frac{7}{4}$
答案
12. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据角平分线的性质，可得点P到OB边的距离等于PF的长度；再观察△ODP的面积，可分别以OD为底、P到OB的距离为高，和以OP为底、DH为高两种方式表示，利用同一三角形面积相等列等式，即可求出DH的长度。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵ OP平分∠AOB，PF⊥OA，PE⊥OB，
∴ 由角平分线的性质得PE = PF = 3.5。
△ODP的面积可通过两种方式计算：
1. 以OD为底，PE为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$；
2. 以OP为底，DH为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OP × DH$。
联立两式得：$\frac{1}{2} × 8 × DH =7$，
解得$DH=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题考查角平分线性质与等面积法的结合应用，解题的关键是找到同一三角形面积的两种不同表示方式，建立等量关系求解，该方法在几何线段长度计算中经常用到，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据角平分线的性质，可得点P到OB边的距离等于PF的长度；再观察△ODP的面积，可分别以OD为底、P到OB的距离为高，和以OP为底、DH为高两种方式表示，利用同一三角形面积相等列等式，即可求出DH的长度。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵ OP平分∠AOB，PF⊥OA，PE⊥OB，
∴ 由角平分线的性质得PE = PF = 3.5。
△ODP的面积可通过两种方式计算：
1. 以OD为底，PE为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$；
2. 以OP为底，DH为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OP × DH$。
联立两式得：$\frac{1}{2} × 8 × DH =7$，
解得$DH=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题考查角平分线性质与等面积法的结合应用，解题的关键是找到同一三角形面积的两种不同表示方式，建立等量关系求解，该方法在几何线段长度计算中经常用到，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
13 新情境 生活实际 某地高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园. 如图，$△ ABC$是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭$H$，使该凉亭到公路$AB$，$AC$的距离相等，且使得$S_{△ ABH}=S_{△ BCH}$，则凉亭$H$的位置在（
A.$∠ BAC$的平分线与边$AC$上的中线的交点处
B.$∠ BAC$的平分线与边$AB$上的中线的交点处
C.$∠ ABC$的平分线与边$AC$上的中线的交点处
D.$∠ ABC$的平分线与边$BC$上的中线的交点处
（第13题） （第14题）
A
）A.$∠ BAC$的平分线与边$AC$上的中线的交点处
B.$∠ BAC$的平分线与边$AB$上的中线的交点处
C.$∠ ABC$的平分线与边$AC$上的中线的交点处
D.$∠ ABC$的平分线与边$BC$上的中线的交点处
（第13题） （第14题）
答案
13. A
解析
【分析】
解题时先拆分题干的两个要求逐步推导：第一步，根据“点到角两边距离相等”的条件，结合角平分线的性质，确定点H所在的第一条线，排除不符合的选项；第二步，根据“两个三角形面积相等”的条件，结合三角形中线等分面积的性质，确定点H所在的第二条线，最终确定交点位置即可。
【解析】
1. 分析第一个条件：凉亭H到AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知H在∠BAC的平分线上，因此排除C、D选项（二者为∠ABC的平分线，不符合要求）。
2. 分析第二个条件：要求$S_{△ABH}=S_{△BCH}$。设AC的中点为D，连接BD，则BD是AC边上的中线。因为AD=DC，△ABD和△CBD同高（点B到AC的垂线段长度），故$S_{△ABD}=S_{△CBD}$；同理若H在BD上，△AHD和△CHD等底同高，$S_{△AHD}=S_{△CHD}$，因此$S_{△ABD}-S_{△AHD}=S_{△CBD}-S_{△CHD}$，即$S_{△ABH}=S_{△BCH}$，说明H在AC边上的中线上。
3. 综上，H是∠BAC的平分线与AC边上的中线的交点。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的实际应用，需要分别对应距离、面积两个条件匹配对应的几何性质，找到点H所在的两条线后取交点即可，核心是熟练掌握角平分线和三角形中线的基础性质。
【难度系数】
0.7
解题时先拆分题干的两个要求逐步推导：第一步，根据“点到角两边距离相等”的条件，结合角平分线的性质，确定点H所在的第一条线，排除不符合的选项；第二步，根据“两个三角形面积相等”的条件，结合三角形中线等分面积的性质，确定点H所在的第二条线，最终确定交点位置即可。
【解析】
1. 分析第一个条件：凉亭H到AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知H在∠BAC的平分线上，因此排除C、D选项（二者为∠ABC的平分线，不符合要求）。
2. 分析第二个条件：要求$S_{△ABH}=S_{△BCH}$。设AC的中点为D，连接BD，则BD是AC边上的中线。因为AD=DC，△ABD和△CBD同高（点B到AC的垂线段长度），故$S_{△ABD}=S_{△CBD}$；同理若H在BD上，△AHD和△CHD等底同高，$S_{△AHD}=S_{△CHD}$，因此$S_{△ABD}-S_{△AHD}=S_{△CBD}-S_{△CHD}$，即$S_{△ABH}=S_{△BCH}$，说明H在AC边上的中线上。
3. 综上，H是∠BAC的平分线与AC边上的中线的交点。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的实际应用，需要分别对应距离、面积两个条件匹配对应的几何性质，找到点H所在的两条线后取交点即可，核心是熟练掌握角平分线和三角形中线的基础性质。
【难度系数】
0.7
14 如图，$AB// CD$，$PE⊥ AB$，$PF⊥ BD$，$PG⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$，$G$，且$PE=PG=PF$，则$∠ BPD=$
$90°$
。答案
14. $90°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。结合已知PE=PF，PE⊥AB、PF⊥BD，可推出PB平分∠ABD；同理PG=PF，PG⊥CD、PF⊥BD，可推出PD平分∠CDB。2. 利用平行线的性质，AB//CD可得同旁内角∠ABD与∠CDB互补，和为180°。3. 由角平分线的定义可得∠PBD+∠PDB是∠ABD与∠CDB和的一半，计算得二者和为90°。4. 最后根据三角形内角和为180°，即可求出∠BPD的度数。
【解析】
解：
∵PE⊥AB，PF⊥BD，且PE=PF，
∴PB平分∠ABD（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ PBD=\frac{1}{2}∠ ABD$，
同理，
∵PG⊥CD，PF⊥BD，且PG=PF，
∴PD平分∠CDB，
∴$∠ PDB=\frac{1}{2}∠ CDB$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABD + ∠ CDB=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ PBD + ∠ PDB=\frac{1}{2}(∠ ABD + ∠ CDB)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BPD$中，$∠ PBD + ∠ PDB + ∠ BPD=180°$，
∴$∠ BPD=180° - 90°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过“到角两边距离相等”的条件推导角平分线，再结合平行线与三角形内角和的性质计算角度，熟练掌握基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：1. 先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。结合已知PE=PF，PE⊥AB、PF⊥BD，可推出PB平分∠ABD；同理PG=PF，PG⊥CD、PF⊥BD，可推出PD平分∠CDB。2. 利用平行线的性质，AB//CD可得同旁内角∠ABD与∠CDB互补，和为180°。3. 由角平分线的定义可得∠PBD+∠PDB是∠ABD与∠CDB和的一半，计算得二者和为90°。4. 最后根据三角形内角和为180°，即可求出∠BPD的度数。
【解析】
解：
∵PE⊥AB，PF⊥BD，且PE=PF，
∴PB平分∠ABD（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ PBD=\frac{1}{2}∠ ABD$，
同理，
∵PG⊥CD，PF⊥BD，且PG=PF，
∴PD平分∠CDB，
∴$∠ PDB=\frac{1}{2}∠ CDB$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABD + ∠ CDB=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ PBD + ∠ PDB=\frac{1}{2}(∠ ABD + ∠ CDB)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BPD$中，$∠ PBD + ∠ PDB + ∠ BPD=180°$，
∴$∠ BPD=180° - 90°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过“到角两边距离相等”的条件推导角平分线，再结合平行线与三角形内角和的性质计算角度，熟练掌握基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为
5
.答案
15. 5
解析
【分析】
要得到DP长的最小值，根据“垂线段最短”可知，当DP⊥BC时，DP的长度最小。接下来结合已知角的关系推导BD为∠ABC的角平分线：已知∠A=∠BDC=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABD+∠ADB=90°、∠DBC+∠C=90°，结合∠ADB=∠C，可推出∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，DP的长度取得最小值。
∵∠A=90°，BD⊥CD，
∴∠BAD=∠BDC=90°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD + ∠ADB = 90°，
在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°。
又
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
∵DA⊥AB，DP⊥BC，点D在∠ABC的角平分线BD上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DP=AD=5。
【答案】
5
【知识点】
垂线段最短，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的等量关系推出角平分线，结合角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要得到DP长的最小值，根据“垂线段最短”可知，当DP⊥BC时，DP的长度最小。接下来结合已知角的关系推导BD为∠ABC的角平分线：已知∠A=∠BDC=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABD+∠ADB=90°、∠DBC+∠C=90°，结合∠ADB=∠C，可推出∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。最后根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，DP的长度取得最小值。
∵∠A=90°，BD⊥CD，
∴∠BAD=∠BDC=90°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD + ∠ADB = 90°，
在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°。
又
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
∵DA⊥AB，DP⊥BC，点D在∠ABC的角平分线BD上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DP=AD=5。
【答案】
5
【知识点】
垂线段最短，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的等量关系推出角平分线，结合角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
16 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AC$,$∠ D=90°$,$BE⊥ AC$于点$F$,交$CD$于点$E$,连接$EA$,$EA$平分$∠ DEF$.
(1) 求证:$AF=AD$;
(2) 若$BF=7$,$DE=3$,求$CE$的长.
(1) 求证:$AF=AD$;
(2) 若$BF=7$,$DE=3$,求$CE$的长.
答案
16. (1) $\because ∠D=90°,∴ AD⊥DE. ∵ EA$ 平分$∠DEF$,$AD⊥DE$,$AF⊥EF,∴ AF=AD$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\begin{cases}AB=AC, \\AF=AD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△ACD. ∴ BF=CD=7$.
$\because DE=3,∴ CE=CD-DE=7-3=4$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\begin{cases}AB=AC, \\AF=AD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△ACD. ∴ BF=CD=7$.
$\because DE=3,∴ CE=CD-DE=7-3=4$
解析
【分析】
(1) 要证明AF=AD，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确EA是∠DEF的角平分线，结合已知∠D=90°可得AD⊥DE，再由BE⊥AC可得AF⊥EF，点A在∠DEF的角平分线上，它到角两边DE、EF的距离就是AD和AF，由此可证得结论。
(2) 要求CE的长，已知DE=3，只需求出CD的长，就可通过CE=CD-DE计算结果。观察图形，Rt△ABF和Rt△ACD中，已知AB=AC，第(1)问已证AF=AD，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=CD，代入数值计算即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ D=90°$，$\therefore AD⊥ DE$。
$\because EA$平分$∠ DEF$，$AD⊥ DE$，$BE⊥ AC$即$AF⊥ EF$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore AF=AD$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\AF=AD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌ \mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF=CD$，
$\because BF=7$，$\therefore CD=7$，
又$\because DE=3$，
$\therefore CE=CD-DE=7-3=4$。
【答案】
(1) 已证$AF=AD$；
(2) $\boxed{4}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练运用角平分线的性质得到相等线段，再通过全等三角形转化对应线段的长度即可求解，是几何部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AF=AD，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确EA是∠DEF的角平分线，结合已知∠D=90°可得AD⊥DE，再由BE⊥AC可得AF⊥EF，点A在∠DEF的角平分线上，它到角两边DE、EF的距离就是AD和AF，由此可证得结论。
(2) 要求CE的长，已知DE=3，只需求出CD的长，就可通过CE=CD-DE计算结果。观察图形，Rt△ABF和Rt△ACD中，已知AB=AC，第(1)问已证AF=AD，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=CD，代入数值计算即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ D=90°$，$\therefore AD⊥ DE$。
$\because EA$平分$∠ DEF$，$AD⊥ DE$，$BE⊥ AC$即$AF⊥ EF$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore AF=AD$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\AF=AD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌ \mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF=CD$，
$\because BF=7$，$\therefore CD=7$，
又$\because DE=3$，
$\therefore CE=CD-DE=7-3=4$。
【答案】
(1) 已证$AF=AD$；
(2) $\boxed{4}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练运用角平分线的性质得到相等线段，再通过全等三角形转化对应线段的长度即可求解，是几何部分的典型常考题。
【难度系数】
0.7
17 如图所示为数学实验课上小哲做的角平分仪,其中$AB=AD$,$BC=DC$,将仪器上的点A与$∠ PRQ$的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在$∠ PRQ$的两边上,则射线AE是$∠ PRQ$的平分线.此角平分仪运用了
证明三角形全等的方法,其依据是 (
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
证明三角形全等的方法,其依据是 (
A
)A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
17. A
解析
【分析】
要确定角平分仪证明三角形全等的依据，首先明确需要证明△ABC和△ADC全等，通过全等得到对应角相等，即可说明AE是角平分线。梳理已知条件可知，题目给出AB=AD、BC=DC，同时△ABC和△ADC存在公共边AC，即两个三角形三组对应边分别相等，对应全等判定的SSS定理，即可得出结论。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD (\mathrm{已知})\\BC=DC (\mathrm{已知})\\AC=AC (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，即射线$AE$是$∠ PRQ$的平分线，因此证明全等的依据为SSS。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际的角平分仪场景考查全等三角形的判定，解题的关键是找准三角形的对应边，识别公共边这一隐含的相等条件，侧重对基础判定定理的应用考查。
【难度系数】
0.85
要确定角平分仪证明三角形全等的依据，首先明确需要证明△ABC和△ADC全等，通过全等得到对应角相等，即可说明AE是角平分线。梳理已知条件可知，题目给出AB=AD、BC=DC，同时△ABC和△ADC存在公共边AC，即两个三角形三组对应边分别相等，对应全等判定的SSS定理，即可得出结论。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD (\mathrm{已知})\\BC=DC (\mathrm{已知})\\AC=AC (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，即射线$AE$是$∠ PRQ$的平分线，因此证明全等的依据为SSS。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际的角平分仪场景考查全等三角形的判定，解题的关键是找准三角形的对应边，识别公共边这一隐含的相等条件，侧重对基础判定定理的应用考查。
【难度系数】
0.85
