18 如图，$EC⊥ BD$，垂足为C，A是EC上一点，且$AC=CD$，$AB=DE$。若$AC=\frac{7}{2}$，$BD=9$，则AE的长为（）

A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{11}{2}$

18. A

【分析】
首先由EC⊥BD可得△ABC和△DEC均为直角三角形，结合已知AB=DE、AC=CD，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边BC=EC；再根据AC=CD求出CD的长度，结合BD的长度算出BC的长度即EC的长度，最后用EC减去AC即可求出AE的长度。
【解析】
解：$\because EC⊥ BD$，$\therefore ∠ ACB=∠ ECD=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中：
$\begin{cases}AB=DE \\AC=CD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore BC=EC$。
已知$AC=\frac{7}{2}$，$AC=CD$，$\therefore CD=\frac{7}{2}$，
$\because BD=9$，$\therefore BC=BD-CD=9-\frac{7}{2}=\frac{11}{2}$，
$\therefore EC=BC=\frac{11}{2}$，
$\therefore AE=EC-AC=\frac{11}{2}-\frac{7}{2}=2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题核心是利用HL判定直角三角形全等，通过全等得到相等的边，再结合线段的和差关系求解待求线段长度，解题时要注意准确识别全等三角形的对应边，避免对应关系混淆。
【难度系数】
0.75

19 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ CAB$的平分线,$DE ⊥ AB$于点$E$,点$F$在边$AC$上,连接$DF$,$DF=DB$.若$AB=8$,$AF=5$,则$BE$的长为（）

A.3
B.2.5
C.2
D.1.5

19. D
【解析】$\because ∠C=90°,∴ DC⊥AC. ∵ AD$ 是$∠CAB$的平分线,$DE⊥AB,DC⊥AC,∴ DC=DE$. 在$\mathrm{Rt}△DCF$ 和 $\mathrm{Rt}△DEB$ 中,$\begin{cases}DF=DB, \\DC=DE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△DCF≌\mathrm{Rt}△DEB. ∴ CF=EB$.易证$△ADE≌△ADC. ∴ AE=AC. ∵ AB=AE+BE,∴ AB=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE. ∵ AB=8,AF=5,∴ BE=1.5$.

【分析】
解题时首先从角平分线和双垂直的条件入手，利用角平分线的性质得到DC=DE；再结合已知DF=DB，通过HL判定Rt△DCF和Rt△DEB全等，推出CF=BE；接着证明△ADE和△ADC全等，得到AE=AC；最后通过线段的和差关系，将AB转化为AF+2BE，代入已知数值即可求出BE的长度。
【解析】
∵ $∠ C=90°$，$\therefore DC⊥ AC$。
∵ $AD$是$∠ CAB$的平分线，$DE⊥ AB$，$DC⊥ AC$，
∴ 根据角平分线的性质可得 $DC=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ DCF$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中，
$\begin{cases}DF=DB, \\DC=DE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCF≌\mathrm{Rt}△ DEB\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=EB$。
在$△ ADE$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}∠ AED=∠ C=90°, \\∠ EAD=∠ CAD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADC\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AC$。
∵ $AB=AE+BE$，
∴ 代入$AE=AC$得 $AB=AC+BE$，
又
∵ $AC=AF+CF$，且$CF=BE$，
∴ $AB=AF+CF+BE=AF+2BE$。
将$AB=8$，$AF=5$代入得 $8=5+2BE$，
解得 $BE=1.5$。
【答案】D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线性质与全等三角形的相关知识，核心是通过全等三角形实现线段的等量转换，梳理出已知线段和待求线段的数量关系，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

20 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为52和36，则△EDF的面积为.

20. 8

【分析】
首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D作AC的垂线DH，可得DF=DH。结合已知DE=DG，可利用HL证明Rt△EDF和Rt△GDH全等，二者面积相等；同时可证Rt△ADF和Rt△ADH全等，二者面积也相等。设△EDF的面积为x，根据△ADF和△ADH的面积相等建立等量关系，即可求解x的值。
【解析】
过点D作$DH⊥ AC$于点H。
∵AD是$△ ABC$的角平分线，$DF⊥ AB$，$DH⊥ AC$，
∴$DF=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ DFE=∠ DHG=90°$。
在$Rt△ EDF$和$Rt△ GDH$中，
$\begin{cases}DE=DG\\DF=DH\end{cases}$
∴$Rt△ EDF≌ Rt△ GDH$（HL），则$S_{△ EDF}=S_{△ GDH}$。
同理可证$Rt△ ADF≌ Rt△ ADH$（HL），则$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
设$S_{△ EDF}=x$，则$S_{△ ADF}=S_{△ AED}+x=36+x$，$S_{△ ADH}=S_{△ ADG}-S_{△ GDH}=52-x$。
∵$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$，
∴$36+x=52-x$，
解得$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，通过面积的等量关系建立方程求解，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

21 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$延长线上一点，$CE⊥ AC$，垂足为$C$，且$AC=CE$，连接$BE$。若$BC=16$，则$△ BCE$的面积为。

21. 64
【解析】如图,过点 A 作$AH⊥BC$ 于点 H,过点 E 作$EF⊥BC$ 于点 F,则$∠AHB=∠AHC=∠CFE=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ABH$ 和 $\mathrm{Rt}△ACH$ 中,$\begin{cases}AB=AC, \\AH=AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABH≌\mathrm{Rt}△ACH. ∴ BH=CH. ∵ BC=16,∴ BH=HC=8$.
$\because CE⊥AC,∴ ∠ACE=90°. ∴ ∠ACH+∠ECF=90°$.
$\because ∠ACH+∠CAH=90°,∴ ∠ECF=∠CAH$. 在$△ACH$ 和 $△CEF$ 中,$\begin{cases}∠AHC=∠CFE, \\∠CAH=∠ECF, \\AC=CE,\end{cases}$
$\therefore △ACH≌△CEF. ∴ CH=EF=8. ∴ △BCE$的面积$=\frac{1}{2}BC· EF=\frac{1}{2}×16×8=64$.

【分析】
要计算$△ BCE$的面积，已知底$BC=16$，只需求出$BC$边上的高即可。我们可以通过作辅助线构造全等三角形来求高：首先结合$AB=AC$的条件，过点$A$作$AH⊥ BC$，可通过HL证明$\mathrm{Rt}△ ABH≌\mathrm{Rt}△ ACH$，得到$CH$的长度；再结合$CE⊥ AC$、$AC=CE$的条件，过点$E$作$EF⊥ BD$，利用同角的余角相等得到两组对应角相等，进而证明$△ ACH≌△ CEF$，将$CH$转化为$△ BCE$的高$EF$，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，过点A作$AH⊥BC$于点H，过点E作$EF⊥BC$于点F，则$∠ AHB=∠ AHC=∠ CFE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$和$\mathrm{Rt}△ACH$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\AH=AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABH≌\mathrm{Rt}△ACH(\mathrm{HL})$，
$\therefore BH=CH$。
∵$BC=16$，
∴$BH=HC=8$。
∵$CE⊥AC$，
∴$∠ ACE=90°$，
∴$∠ ACH+∠ ECF=90°$。
∵在$\mathrm{Rt}△ACH$中，$∠ ACH+∠ CAH=90°$，
∴$∠ ECF=∠ CAH$。
在$△ ACH$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}∠ AHC=∠ CFE, \\∠ CAH=∠ ECF, \\AC=CE,\end{cases}$
∴$△ ACH≌△ CEF(\mathrm{AAS})$，
∴$CH=EF=8$。
∴$△ BCE$的面积$=\frac{1}{2}BC· EF=\frac{1}{2}×16×8=64$。

【答案】
64
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积求解问题，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等三角形实现未知线段向已知线段的转化，既考察了基础几何性质的应用，也对辅助线构造的逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

22 如图所示为$∠ PAB$.
(1) 利用尺规在$∠ PAB$外作$∠ APQ$,使得$∠ APQ=∠ PAB$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,判断$PQ$与$AB$的位置关系,并给出依据.

22. (1) 如图,$∠APQ$ 即为所求作
(2) $PQ// AB$ 依据:内错角相等,两直线平行

【分析】
(1) 要作∠APQ=∠PAB，可运用尺规作一个角等于已知角的方法操作：先以点A为圆心任意长为半径画弧，交AB、AP于两点，再以P为圆心相同长度为半径画弧，在∠PAB外的一侧，量取已知角对应弧的长度确定交点，过P和交点作射线PQ即可完成作图。
(2) 判断两直线位置关系时，先观察两个相等的角的位置：∠APQ和∠PAB是直线PQ、AB被直线AP所截形成的内错角，结合平行线的判定定理即可推出两直线的位置关系。
【解析】
(1) 按照尺规作一个角等于已知角的步骤作图，保留作图痕迹，得到的∠APQ即为所求作的角。
(2) 由作图可知∠APQ=∠PAB，∠APQ与∠PAB是直线PQ、AB被直线AP所截得的内错角，根据平行线的判定定理，可得PQ与AB平行。
【答案】
(1) 如图，∠APQ 即为所求作
(2) $PQ// AB$ 依据:内错角相等,两直线平行

【知识点】
尺规作角，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，同时考查尺规作图的操作能力和平行线判定定理的应用，只要掌握基础作图方法和内错角相关的平行线判定规则，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

23 如图，A，B 两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA = CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD = BE。
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AO=12，BO=4，求OD的长。
（第23题）

23. (1) $\because CD⊥OM,CE⊥ON,∴ ∠CDA=90°,∠CEB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△CDA$ 和 $\mathrm{Rt}△CEB$ 中,$\begin{cases}CA=CB, \\AD=BE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CDA≌\mathrm{Rt}△CEB. ∴ CD=CE. ∵ CD⊥OM,CE⊥ON,∴ OC$ 平分$∠MON$
(2) 设$OD=x. ∵ OA=12,∴ AD=OA-OD=12-x. ∴ BE=12-x$. 在$\mathrm{Rt}△OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△OCE$ 中,$\begin{cases}OC=OC, \\CD=CE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△OCD≌\mathrm{Rt}△OCE. ∴ OD=OE=x. ∴ BO=OE-BE=x-(12-x)=2x-12. ∵ BO=4,∴ 2x-12=4$,解得$x=8. ∴ OD=8$

【分析】
（1）要证明OC平分∠MON，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OM、ON的距离相等，即CD=CE。已知CA=CB、AD=BE，且CD⊥OM、CE⊥ON可得到两个直角三角形，通过HL证明Rt△CDA≌Rt△CEB即可得到CD=CE，从而完成证明。（2）求OD的长，可先设OD=x，先通过HL证明Rt△OCD≌Rt△OCE得到OD=OE=x，再结合AD=BE，用含x的式子表示出BE，最后根据BO=OE-BE列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because CD⊥ OM,CE⊥ ON$，
$\therefore ∠ CDA=∠ CEB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△CDA$和$\mathrm{Rt}△CEB$中：
$\begin{cases} CA=CB \\ AD=BE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CDA≌\mathrm{Rt}△CEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore CD=CE$，
又$\because CD⊥ OM,CE⊥ ON$，
$\therefore OC$平分$∠ MON$。
（2）解：设$OD=x$，
$\because AO=12$，
$\therefore AD=AO-OD=12-x$，
$\because AD=BE$，
$\therefore BE=12-x$，
在$\mathrm{Rt}△OCD$和$\mathrm{Rt}△OCE$中：
$\begin{cases} OC=OC \\ CD=CE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△OCD≌\mathrm{Rt}△OCE(\mathrm{HL})$，
$\therefore OD=OE=x$，
$\because BO=OE-BE$，
$\therefore 4=x-(12-x)$，
整理得$2x-12=4$，
解得$x=8$，即OD的长为8。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{OD=8}$
【知识点】
HL判定全等，角平分线的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线判定定理分析问题，第二问通过设未知数结合线段和差关系建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7

24 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是直线$BC$上一点(不与点$B,C$重合)，以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AD=AE$，$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$。
(1) 如图①，当点$D$在线段$BC$上时，若$∠ BAC=90°$，则$∠ BCE=$。
(2) 设$∠ BAC=α$，$∠ BCE=β$。
① 如图②，当点$D$在线段$BC$上移动时，$α$，$β$之间有怎样的数量关系？请说明理由。
② 当点$D$在直线$BC$上移动时，$α$，$β$之间有怎样的数量关系？请直接写出结论。

24. (1) $90°$
(2) ① $α+β=180°$ 理由: $\because ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$,即$∠BAD=∠CAE$.
在 $△ABD$ 和 $△ACE$ 中, $\begin{cases}AB=AC, \\∠BAD=∠CAE, \\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ABD≌△ACE. ∴ ∠B=∠ACE. ∴ ∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=β. ∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=180°,∴ α+β=180°$.
② 当点 $D$ 在线段 $BC$ 及其延长线上时,$α+β=180°$; 当点 $D$ 在线段 $BC$ 的反向延长线上时,$α=β$

【分析】
本题可通过证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和定理求解：
(1) 首先根据∠BAC=∠DAE，减去公共角∠DAC可得∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE，用SAS证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，再结合∠BAC=90°、AB=AC得到∠B+∠ACB=90°，代入即可得∠BCE的度数；
(2) ① 沿用(1)的全等思路，得到∠B=∠ACE后，将∠BCE转化为∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，再结合△ABC内角和为180°即可推出α和β的数量关系；
② 需分情况讨论点D的位置：点D在线段BC上、点D在BC的延长线上、点D在BC的反向延长线上，分别结合全等性质推导数量关系即可。
【解析】
(1) $\because ∠BAC=∠DAE$，$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠B=∠ACE$。
$\because ∠BAC=90°$，$AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB=45°$，
$\therefore ∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=45°+45°=90°$。
(2) ① $\boldsymbol{α+β=180°}$，理由如下：
$\because ∠BAC=∠DAE$，$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠B=∠ACE$。
$\therefore ∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=β$，
$\because$在$△ ABC$中，$∠BAC+∠B+∠ACB=180°$，$∠BAC=α$，
$\therefore α+β=180°$。
② 分两种情况：
当点D在线段BC及其延长线上时，同理可证$△ ABD≌△ ACE$，可得$α+β=180°$；
当点D在线段BC的反向延长线上时，同理可证$△ ABD≌△ ACE$，结合角的和差推导可得$α=β$。
【答案】
(1) $90°$
(2) ① $α+β=180°$，理由见解析；
② 当点$D$在线段$BC$及其延长线上时，$α+β=180°$；当点$D$在线段$BC$的反向延长线上时，$α=β$
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的手拉手全等模型应用题，核心是通过角的和差得到相等的夹角，构造全等三角形实现角的转化，解题时需注意“点D在直线BC上”包含多种位置情况，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6