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10. 如图,在$12×10$的正方形网格中,横、纵坐标均为整数的点叫作格点,点$A,B,C,O$均在格点上,其中$O$为坐标原点,点$A$的坐标为$(-3,3)$.
(1)点$C$的坐标为
(2)将三角形$ABC$向右平移6个单位长度,再向下平移1个单位长度,对应得到三角形$A_1B_1C_1$,请在图中画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$,并求三角形$A_1B_1C_1$的面积.
(3)若在$x$轴上有一点$P$,使得三角形$PA_1B_1$的面积等于三角形$A_1B_1C_1$的面积,直接写出点$P$的坐标.
(1)点$C$的坐标为
(-1,5)
.(2)将三角形$ABC$向右平移6个单位长度,再向下平移1个单位长度,对应得到三角形$A_1B_1C_1$,请在图中画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$,并求三角形$A_1B_1C_1$的面积.
(3)若在$x$轴上有一点$P$,使得三角形$PA_1B_1$的面积等于三角形$A_1B_1C_1$的面积,直接写出点$P$的坐标.
答案
10.解:(1)点 C 的坐标为(-1,5).
(2)如图,三角形$A_1B_1C_1$即为所求,三角形$A_1B_1C_1$的面积$=2×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×4×1=8-2-1-2=3.$
(3)设$P(m,0)$. 因为$B(-2,1)$,$A(-3,3)$,将三角形$ABC$向右平移 6 个单位长度,向下平移 1 个单位长度,对应得到三角形$A_1B_1C_1$,所以$B_1(4,0)$,$A_1(3,2)$,所以$S_{三角形PA_1B_1}=\frac{1}{2}×|m-4|×2=3$,解得$m=1$或 7,所以点 P 的坐标为$(1,0)$或$(7,0).$
解析
【分析】
(1) 要确定点C的坐标，根据平面直角坐标系中坐标的定义：横坐标为点到y轴的水平距离，y轴左侧为负、右侧为正；纵坐标为点到x轴的垂直距离，x轴上方为正、下方为负，结合已知A点坐标的格点位置，数格子即可得到C点坐标。
(2) 平移作图的核心是平移点的坐标，根据平移规则“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，分别算出A、B、C三点平移后的A₁、B₁、C₁坐标，描点连线即可得到平移后的三角形；平移不改变图形的面积，因此可采用割补法：将三角形补成矩形，用矩形面积减去周围3个直角三角形的面积，即可算出三角形的面积。
(3) x轴上的点纵坐标为0，可设P(m,0)，三角形PA₁B₁的底为P到B₁的水平距离|m-4|，高为A₁点的纵坐标（因为B₁在x轴上，高就是A₁到x轴的距离），根据面积相等列方程，求解绝对值方程即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 结合坐标系格点，点C到y轴的水平距离为1，在y轴左侧，横坐标为-1；到x轴的垂直距离为5，在x轴上方，纵坐标为5，故C(-1,5)。
(2) 平移规则：向右平移6个单位，横坐标加6；向下平移1个单位，纵坐标减1。
已知A(-3,3)，B(-2,1)，C(-1,5)，则平移后坐标：
A₁(-3+6, 3-1)=(3,2)，B₁(-2+6,1-1)=(4,0)，C₁(-1+6,5-1)=(5,4)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接得到△A₁B₁C₁。
用割补法求面积：将△A₁B₁C₁补为长4、宽2的矩形，矩形面积为2×4=8；
减去周围三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×2×2=2$，$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_3=\frac{1}{2}×4×1=2$；
故$S_{△ A_1B_1C_1}=8 - 2 - 1 - 2 = 3$。
(3) 设x轴上点P的坐标为(m,0)，△PA₁B₁的底为$|m - 4|$，高为A₁的纵坐标2，根据题意：
$\frac{1}{2}×|m - 4|×2 = 3$
化简得$|m - 4|=3$，即$m-4=3$或$m-4=-3$，解得$m=7$或$m=1$。
故P点坐标为(1,0)或(7,0)。
【答案】
(1) $(-1,5)$
(2)，三角形$A_1B_1C_1$的面积为$\boldsymbol{3}$
(3) $(1,0)$或$(7,0)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定、图形的平移变换、格点图形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖了坐标识别、平移性质应用、割补法求面积、坐标与面积结合的方程求解，需要注意求解绝对值方程时不要漏解，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定点C的坐标，根据平面直角坐标系中坐标的定义：横坐标为点到y轴的水平距离，y轴左侧为负、右侧为正；纵坐标为点到x轴的垂直距离，x轴上方为正、下方为负，结合已知A点坐标的格点位置，数格子即可得到C点坐标。
(2) 平移作图的核心是平移点的坐标，根据平移规则“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，分别算出A、B、C三点平移后的A₁、B₁、C₁坐标，描点连线即可得到平移后的三角形；平移不改变图形的面积，因此可采用割补法：将三角形补成矩形，用矩形面积减去周围3个直角三角形的面积，即可算出三角形的面积。
(3) x轴上的点纵坐标为0，可设P(m,0)，三角形PA₁B₁的底为P到B₁的水平距离|m-4|，高为A₁点的纵坐标（因为B₁在x轴上，高就是A₁到x轴的距离），根据面积相等列方程，求解绝对值方程即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 结合坐标系格点，点C到y轴的水平距离为1，在y轴左侧，横坐标为-1；到x轴的垂直距离为5，在x轴上方，纵坐标为5，故C(-1,5)。
(2) 平移规则：向右平移6个单位，横坐标加6；向下平移1个单位，纵坐标减1。
已知A(-3,3)，B(-2,1)，C(-1,5)，则平移后坐标：
A₁(-3+6, 3-1)=(3,2)，B₁(-2+6,1-1)=(4,0)，C₁(-1+6,5-1)=(5,4)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接得到△A₁B₁C₁。
用割补法求面积：将△A₁B₁C₁补为长4、宽2的矩形，矩形面积为2×4=8；
减去周围三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×2×2=2$，$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_3=\frac{1}{2}×4×1=2$；
故$S_{△ A_1B_1C_1}=8 - 2 - 1 - 2 = 3$。
(3) 设x轴上点P的坐标为(m,0)，△PA₁B₁的底为$|m - 4|$，高为A₁的纵坐标2，根据题意：
$\frac{1}{2}×|m - 4|×2 = 3$
化简得$|m - 4|=3$，即$m-4=3$或$m-4=-3$，解得$m=7$或$m=1$。
故P点坐标为(1,0)或(7,0)。
【答案】
(1) $(-1,5)$
(2)
，三角形$A_1B_1C_1$的面积为$\boldsymbol{3}$(3) $(1,0)$或$(7,0)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定、图形的平移变换、格点图形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖了坐标识别、平移性质应用、割补法求面积、坐标与面积结合的方程求解，需要注意求解绝对值方程时不要漏解，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11.在平面直角坐标系中有两点$A(-a+2,-b+1),B(3a,b)$.若点A向右移动2个单位长度,再向下移动3个单位长度后与点B重合,则点B所在的象限为（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.D
解析
【分析】
首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减小。已知点A平移后与点B重合，说明平移后点A的横、纵坐标分别与点B的横、纵坐标相等，我们可以据此列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后就能确定点B的坐标，再结合各象限内点的坐标符号特征即可判断点B所在的象限。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律：
点A向右移动2个单位长度后，横坐标变为$-a+2+2=-a+4$；
再向下移动3个单位长度后，纵坐标变为$-b+1-3=-b-2$，
即平移后点A的坐标为$(-a+4, -b-2)$。
∵平移后点A与点B重合
∴平移后A的横、纵坐标分别与B的横、纵坐标相等，可列方程：
$\begin{cases}-a+4=3a \\ -b-2=b\end{cases}$
解第一个方程：
$-a+4=3a$
移项得：$4=3a+a$
合并同类项得：$4a=4$
解得：$a=1$
解第二个方程：
$-b-2=b$
移项得：$-2=b+b$
合并同类项得：$2b=-2$
解得：$b=-1$
∴点B的坐标为$(3a,b)=(3×1,-1)=(3,-1)$
根据象限内点的坐标特征：第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，可知点B在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1.点平移的坐标规律
2.解一元一次方程
3.象限的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，将点的平移、方程求解和象限判断相结合，解题核心是抓住平移后两点重合的条件建立方程求出未知参数，熟练掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减小。已知点A平移后与点B重合，说明平移后点A的横、纵坐标分别与点B的横、纵坐标相等，我们可以据此列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后就能确定点B的坐标，再结合各象限内点的坐标符号特征即可判断点B所在的象限。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律：
点A向右移动2个单位长度后，横坐标变为$-a+2+2=-a+4$；
再向下移动3个单位长度后，纵坐标变为$-b+1-3=-b-2$，
即平移后点A的坐标为$(-a+4, -b-2)$。
∵平移后点A与点B重合
∴平移后A的横、纵坐标分别与B的横、纵坐标相等，可列方程：
$\begin{cases}-a+4=3a \\ -b-2=b\end{cases}$
解第一个方程：
$-a+4=3a$
移项得：$4=3a+a$
合并同类项得：$4a=4$
解得：$a=1$
解第二个方程：
$-b-2=b$
移项得：$-2=b+b$
合并同类项得：$2b=-2$
解得：$b=-1$
∴点B的坐标为$(3a,b)=(3×1,-1)=(3,-1)$
根据象限内点的坐标特征：第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，可知点B在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1.点平移的坐标规律
2.解一元一次方程
3.象限的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，将点的平移、方程求解和象限判断相结合，解题核心是抓住平移后两点重合的条件建立方程求出未知参数，熟练掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
12.已知点$P(m+1,m-6)$是第四象限的一个点，且点$P$到$x$轴的距离是4个单位长度.若点$P$不动，将$x$轴向上平移2个单位长度，$y$轴向右平移4个单位长度，那么在新的平面直角坐标系中，点$P$的坐标为
(-1,-6)
.答案
12.(-1,-6)
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步，先根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）和点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，列方程求出m的值，得到点P在原坐标系中的坐标；第二步，分析坐标轴平移的规律：x轴向上平移n个单位，等价于点的纵坐标在新坐标系中减去n；y轴向右平移n个单位，等价于点的横坐标在新坐标系中减去n，代入原坐标即可求出新坐标系下点P的坐标。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 点$P(m+1,m-6)$在第四象限，
∴ 点P的纵坐标$m-6＜0$。
∵ 点P到x轴的距离是4个单位长度，
∴ $|m-6|=4$。
结合$m-6＜0$，可得$m-6=-4$，解得$m=2$。
2. 求原坐标系中点P的坐标：
将$m=2$代入坐标得：横坐标$m+1=2+1=3$，纵坐标$m-6=2-6=-4$，即原坐标系中$P(3,-4)$。
3. 求新坐标系中点P的坐标：
x轴向上平移2个单位，新坐标系下点的纵坐标为原纵坐标减2；y轴向右平移4个单位，新坐标系下点的横坐标为原横坐标减4。
∴ 新横坐标：$3-4=-1$，新纵坐标：$-4-2=-6$。
【答案】
$(-1,-6)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 坐标系平移的坐标规律
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关性质，易错点是容易混淆坐标轴平移和点平移的坐标变化规律，做题时可通过画图辅助理解平移方向，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步，先根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）和点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，列方程求出m的值，得到点P在原坐标系中的坐标；第二步，分析坐标轴平移的规律：x轴向上平移n个单位，等价于点的纵坐标在新坐标系中减去n；y轴向右平移n个单位，等价于点的横坐标在新坐标系中减去n，代入原坐标即可求出新坐标系下点P的坐标。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 点$P(m+1,m-6)$在第四象限，
∴ 点P的纵坐标$m-6＜0$。
∵ 点P到x轴的距离是4个单位长度，
∴ $|m-6|=4$。
结合$m-6＜0$，可得$m-6=-4$，解得$m=2$。
2. 求原坐标系中点P的坐标：
将$m=2$代入坐标得：横坐标$m+1=2+1=3$，纵坐标$m-6=2-6=-4$，即原坐标系中$P(3,-4)$。
3. 求新坐标系中点P的坐标：
x轴向上平移2个单位，新坐标系下点的纵坐标为原纵坐标减2；y轴向右平移4个单位，新坐标系下点的横坐标为原横坐标减4。
∴ 新横坐标：$3-4=-1$，新纵坐标：$-4-2=-6$。
【答案】
$(-1,-6)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 坐标系平移的坐标规律
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关性质，易错点是容易混淆坐标轴平移和点平移的坐标变化规律，做题时可通过画图辅助理解平移方向，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
