13. 在平面直角坐标系中，一只小蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图.
(1)填写下列各点坐标：$A_4$(), $A_8$(), $A_{12}$().
(2)写出点$A_{4n}$的坐标(n是正整数).
(3)指出小蚂蚁从点$A_{2024}$到点$A_{2025}$的移动方向.

13.解:(1)$A_4(2,0),A_8(4,0),A_{12}(6,0).$
(2)根据(1)得$OA_{4n}=4n÷2=2n$,所以点$A_{4n}$的坐标为$(2n,0).$
(3)因为$2024÷4=506$,所以从点$A_{2024}$到点$A_{2025}$的移动方向与从原点 O 到$A_1$的方向一致为向上.

【分析】
解题时首先观察小蚂蚁的移动顺序，可发现移动按“向上、向右、向下、向右”4次为一个周期重复，每个周期结束后，横坐标增加2，纵坐标回到0。第一问可直接根据移动路线数出对应点的坐标；第二问根据第一问的结果，归纳下标为4的倍数的点的坐标规律，得到通式；第三问先判断2024是否为4的倍数，确定$A_{2024}$在周期中的位置，即可判断下一步的移动方向。
【解析】
(1) 观察小蚂蚁的移动过程：从原点O出发，第1步向上到$A_1(0,1)$，第2步向右到$A_2(1,1)$，第3步向下到$A_3(1,0)$，第4步向右到$A_4(2,0)$；继续按规律移动，第8步到达$A_8(4,0)$，第12步到达$A_{12}(6,0)$。
(2) 由(1)的结果可知：当$n=1$时，$A_4$的坐标为$(2×1, 0)$；$n=2$时，$A_8$的坐标为$(2×2, 0)$；$n=3$时，$A_{12}$的坐标为$(2×3, 0)$，因此可归纳得点$A_{4n}$的坐标为$(2n, 0)$。
(3) 计算$2024÷4=506$，说明$A_{2024}$是第506个移动周期的终点，下一个移动是第507个周期的第一步，移动方向和周期第一步（O到$A_1$）的方向一致，为向上。
【答案】
(1) $A_4(2,0)$，$A_8(4,0)$，$A_{12}(6,0)$
(2) $A_{4n}(2n,0)$
(3) 向上
【知识点】
点的坐标表示，规律探究，周期问题
【点评】
本题以坐标系内动点移动为背景，考察学生归纳规律的能力，解题核心是找到移动的周期规律，通过特殊点的坐标推导一般规律，再结合周期判断移动方向，难度不高，侧重对观察归纳能力的考察。
【难度系数】
0.7