登录
5. 如图，小球从台球桌面ABCO上的点P(0,1)出发，撞击桌边发生反弹(反射角等于入射角).若小球以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第50秒的小球所在位置的坐标为 (
A.(2,3)
B.(3,4)
C.(3,2)
D.(0,1)
（第5题图）
（第7题图）
（第8题图）
A
)A.(2,3)
B.(3,4)
C.(3,2)
D.(0,1)
（第5题图）
（第7题图）
（第8题图）
答案
5.A
解析
【分析】
首先先明确小球的运动速度对应的移动距离：小正方形的对角线长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，刚好等于小球的运动速度，因此小球每秒斜向走1个小正方形的对角线。接下来逐段梳理小球碰到边界反弹后的路径，找到运动的周期规律，再用总时间除以周期得到余数，对应周期内的位置即可得到结果。
【解析】
1. 计算单位时间移动距离：单个小正方形的对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，已知小球速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，因此小球每秒斜向走1个小格的对角线。
2. 寻找运动周期：
初始（第0秒）：位置为$P(0,1)$
沿右上方向运动，第2秒时位置为$(2,3)$
第3秒走到$(3,4)$，碰到上边界$y=4$反弹，运动方向变为右下
第4秒走到$(4,3)$，碰到右边界$x=4$反弹，运动方向变为左下
第7秒走到$(1,0)$，碰到下边界$y=0$反弹，运动方向变为左上
第8秒回到初始位置$(0,1)$
由此可知小球的运动周期为8秒。
3. 计算第50秒的位置：
$50÷8=6······2$，即经过6个完整周期（48秒）后，再运动2秒，对应的位置和第2秒的位置相同，为$(2,3)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标规律，周期问题
【点评】
本题结合反射规律考查平面直角坐标系中点的坐标变化，解题核心是先梳理出小球运动的循环周期，再通过余数快速定位对应位置，能够避免逐秒推算的繁琐。
【难度系数】
0.6
首先先明确小球的运动速度对应的移动距离：小正方形的对角线长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，刚好等于小球的运动速度，因此小球每秒斜向走1个小正方形的对角线。接下来逐段梳理小球碰到边界反弹后的路径，找到运动的周期规律，再用总时间除以周期得到余数，对应周期内的位置即可得到结果。
【解析】
1. 计算单位时间移动距离：单个小正方形的对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，已知小球速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，因此小球每秒斜向走1个小格的对角线。
2. 寻找运动周期：
初始（第0秒）：位置为$P(0,1)$
沿右上方向运动，第2秒时位置为$(2,3)$
第3秒走到$(3,4)$，碰到上边界$y=4$反弹，运动方向变为右下
第4秒走到$(4,3)$，碰到右边界$x=4$反弹，运动方向变为左下
第7秒走到$(1,0)$，碰到下边界$y=0$反弹，运动方向变为左上
第8秒回到初始位置$(0,1)$
由此可知小球的运动周期为8秒。
3. 计算第50秒的位置：
$50÷8=6······2$，即经过6个完整周期（48秒）后，再运动2秒，对应的位置和第2秒的位置相同，为$(2,3)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标规律，周期问题
【点评】
本题结合反射规律考查平面直角坐标系中点的坐标变化，解题核心是先梳理出小球运动的循环周期，再通过余数快速定位对应位置，能够避免逐秒推算的繁琐。
【难度系数】
0.6
6.已知$\sqrt{a - 8} + |b + 24| = 0$，则$(a,b)$先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是
(15,-21)
。答案
6.(15,-21)
解析
【分析】
解题时首先利用非负数的性质求出a、b的值，得到原坐标，再根据平面直角坐标系中点的平移规律计算平移后的坐标：①算术平方根和绝对值都为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列方程求出a、b；②点平移时，横坐标遵循“右加左减”，纵坐标遵循“上加下减”，代入计算即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a - 8} ≥ 0$，$|b + 24| ≥ 0$，且$\sqrt{a - 8} + |b + 24| = 0$
∴$\begin{cases}a - 8 = 0 \\ b + 24 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 8 \\ b = -24\end{cases}$
即原坐标为$(8,-24)$
将点向上平移3个单位长度，纵坐标变为：$-24 + 3 = -21$
再向右平移7个单位长度，横坐标变为：$8 + 7 = 15$
∴平移后的坐标为$(15,-21)$
【答案】
$(15,-21)$
【知识点】
非负数的性质，坐标平移规律
【点评】
本题是基础常考题型，将非负数的性质和坐标平移结合考查，难度不大，解题的关键是牢记非负项和为0时每一项均为0，以及平移时“右加左减、上加下减”的规则，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用非负数的性质求出a、b的值，得到原坐标，再根据平面直角坐标系中点的平移规律计算平移后的坐标：①算术平方根和绝对值都为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列方程求出a、b；②点平移时，横坐标遵循“右加左减”，纵坐标遵循“上加下减”，代入计算即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a - 8} ≥ 0$，$|b + 24| ≥ 0$，且$\sqrt{a - 8} + |b + 24| = 0$
∴$\begin{cases}a - 8 = 0 \\ b + 24 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 8 \\ b = -24\end{cases}$
即原坐标为$(8,-24)$
将点向上平移3个单位长度，纵坐标变为：$-24 + 3 = -21$
再向右平移7个单位长度，横坐标变为：$8 + 7 = 15$
∴平移后的坐标为$(15,-21)$
【答案】
$(15,-21)$
【知识点】
非负数的性质，坐标平移规律
【点评】
本题是基础常考题型，将非负数的性质和坐标平移结合考查，难度不大，解题的关键是牢记非负项和为0时每一项均为0，以及平移时“右加左减、上加下减”的规则，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在平面直角坐标系中，将三角形$ABC$平移至三角形$A_1B_1C_1$，点$P(a,b)$是三角形$ABC$内一点，经平移后得到三角形$A_1B_1C_1$内对应点$P_1(a+8,b-5)$.若点$A_1$的坐标为$(5,-1)$，则点$A$的坐标为________.
答案
7.(-3,4)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，首先根据已知的对应点P和P₁的坐标变化，确定整个三角形的平移规则：横坐标加8，纵坐标减5，即图形向右平移8个单位，向下平移5个单位。已知平移后点A₁的坐标，要求原点点A的坐标，只需逆向运用平移规律：将A₁的横坐标减8，纵坐标加5即可得到A的坐标。
【解析】
解：
∵ 三角形ABC内的点P(a,b)平移后对应点为P₁(a+8,b-5)，
∴ 平移的规律为：所有点的横坐标加8，纵坐标减5，即三角形ABC向右平移8个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形A₁B₁C₁。
设点A的坐标为(x,y)，根据平移规律可得：
$x + 8 = 5$，$y -5 = -1$
解得：$x = 5 - 8 = -3$，$y = -1 +5 =4$
∴ 点A的坐标为(-3,4)。
【答案】
(-3,4)
【知识点】
平移的性质；点的坐标平移规律
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是根据对应点的坐标变化确定平移规则，再逆向推导原点点坐标，熟练掌握平移时坐标的变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，首先根据已知的对应点P和P₁的坐标变化，确定整个三角形的平移规则：横坐标加8，纵坐标减5，即图形向右平移8个单位，向下平移5个单位。已知平移后点A₁的坐标，要求原点点A的坐标，只需逆向运用平移规律：将A₁的横坐标减8，纵坐标加5即可得到A的坐标。
【解析】
解：
∵ 三角形ABC内的点P(a,b)平移后对应点为P₁(a+8,b-5)，
∴ 平移的规律为：所有点的横坐标加8，纵坐标减5，即三角形ABC向右平移8个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形A₁B₁C₁。
设点A的坐标为(x,y)，根据平移规律可得：
$x + 8 = 5$，$y -5 = -1$
解得：$x = 5 - 8 = -3$，$y = -1 +5 =4$
∴ 点A的坐标为(-3,4)。
【答案】
(-3,4)
【知识点】
平移的性质；点的坐标平移规律
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是根据对应点的坐标变化确定平移规则，再逆向推导原点点坐标，熟练掌握平移时坐标的变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.如图,点A,B的坐标分别为(2,0),(0,1).若将线段AB平移至$A_1B_1$的位置,则$a+b$的值是
2
.答案
8.2
解析
【分析】
解题时需要运用平移的性质：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量也相等。首先通过已知对应点的坐标差确定平移的方向和距离：先看点A从(2,0)平移到A₁(3,b)，横坐标增加了3-2=1，说明线段向右平移1个单位；再看点B从(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标增加了2-1=1，说明线段向上平移1个单位。再根据平移规律计算a、b的值，最后求和即可。
【解析】
根据平移的性质，平移前后对应点的横、纵坐标变化量分别相等：
1. 计算平移的横坐标变化量：点A(2,0)平移到A₁(3,b)，横坐标变化为$3-2=1$，即平移后所有点的横坐标都加1；
2. 计算平移的纵坐标变化量：点B(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标变化为$2-1=1$，即平移后所有点的纵坐标都加1；
3. 求a的值：B点横坐标加1得到B₁的横坐标，即$a=0+1=1$；
4. 求b的值：A点纵坐标加1得到A₁的纵坐标，即$b=0+1=1$；
5. 计算a+b：$a+b=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题核心考查平移的坐标变化规律，解题的关键是抓住平移前后对应点坐标变化量一致的特点，只要熟练掌握平移规律就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时需要运用平移的性质：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量也相等。首先通过已知对应点的坐标差确定平移的方向和距离：先看点A从(2,0)平移到A₁(3,b)，横坐标增加了3-2=1，说明线段向右平移1个单位；再看点B从(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标增加了2-1=1，说明线段向上平移1个单位。再根据平移规律计算a、b的值，最后求和即可。
【解析】
根据平移的性质，平移前后对应点的横、纵坐标变化量分别相等：
1. 计算平移的横坐标变化量：点A(2,0)平移到A₁(3,b)，横坐标变化为$3-2=1$，即平移后所有点的横坐标都加1；
2. 计算平移的纵坐标变化量：点B(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标变化为$2-1=1$，即平移后所有点的纵坐标都加1；
3. 求a的值：B点横坐标加1得到B₁的横坐标，即$a=0+1=1$；
4. 求b的值：A点纵坐标加1得到A₁的纵坐标，即$b=0+1=1$；
5. 计算a+b：$a+b=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题核心考查平移的坐标变化规律，解题的关键是抓住平移前后对应点坐标变化量一致的特点，只要熟练掌握平移规律就能快速解答。
【难度系数】
0.8
9. 根据指令$[s,α](s≥0,0°≤α＜360°)$机器人在平面上能完成如下动作：先在原地顺时针旋转角度$α$，再朝其面对的方向沿直线行走距离$s$. 已知机器人在平面直角坐标系的原点处，且面对$y$轴的负方向，为使其移动到点$(-3,0)$，应下的指令是
[3,90°]
.答案
9.[3,90°]
解析
【分析】
解题时先明确机器人的初始状态：位于原点，面朝y轴负方向，目标是移动到点(-3,0)。首先思考目标点的位置：(-3,0)在x轴负半轴，距离原点的距离就是行走距离s；再思考需要旋转的角度：要从初始朝向y轴负方向，顺时针旋转到面朝x轴负方向，结合顺时针旋转的方向规律就能算出旋转角度α，最终组合得到指令。
【解析】
1. 计算行走距离s：点(-3,0)到原点的距离为$\left|-3\right|=3$，因此$s=3$。
2. 计算旋转角度α：机器人初始面朝y轴负方向（对应钟表6点的朝向），顺时针旋转方向和钟表指针转动方向一致，顺时针旋转90°后，朝向变为x轴负方向（对应钟表9点的朝向），刚好对准目标点所在的方向，因此$α=90°$。
综上，应下的指令是$[3,90°]$。
【答案】
$[3,90°]$
【知识点】
平面直角坐标系，旋转的认识，点到原点的距离
【点评】
本题结合机器人运动的趣味场景，考察对坐标位置和旋转方向的理解，解题核心是理清初始朝向和目标朝向的关系，准确判断旋转角度和行走距离，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时先明确机器人的初始状态：位于原点，面朝y轴负方向，目标是移动到点(-3,0)。首先思考目标点的位置：(-3,0)在x轴负半轴，距离原点的距离就是行走距离s；再思考需要旋转的角度：要从初始朝向y轴负方向，顺时针旋转到面朝x轴负方向，结合顺时针旋转的方向规律就能算出旋转角度α，最终组合得到指令。
【解析】
1. 计算行走距离s：点(-3,0)到原点的距离为$\left|-3\right|=3$，因此$s=3$。
2. 计算旋转角度α：机器人初始面朝y轴负方向（对应钟表6点的朝向），顺时针旋转方向和钟表指针转动方向一致，顺时针旋转90°后，朝向变为x轴负方向（对应钟表9点的朝向），刚好对准目标点所在的方向，因此$α=90°$。
综上，应下的指令是$[3,90°]$。
【答案】
$[3,90°]$
【知识点】
平面直角坐标系，旋转的认识，点到原点的距离
【点评】
本题结合机器人运动的趣味场景，考察对坐标位置和旋转方向的理解，解题核心是理清初始朝向和目标朝向的关系，准确判断旋转角度和行走距离，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
