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15. (11分)如果一点在由有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么这点叫作这条折线的“折中点”.如图，D是折线A-C-B的“折中点”.
(1)当$AC＞BC$时，点D在线段
(2)若线段AC和线段CB组成一条折线，D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，$EC=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，求线段BC的长.
(1)当$AC＞BC$时，点D在线段
AC
上；当$AC=BC$时，点D与点C
重合；当$AC＜BC$时，点D在线段BC
上.(2)若线段AC和线段CB组成一条折线，D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，$EC=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，求线段BC的长.
答案
15. (1) AC;点C;BC.
(2) ① 当点D在线段AC上时，因为E为线段AC的中点，$EC=8\ \mathrm{cm}$,所以$AC=2EC=16\ \mathrm{cm}$.因为$CD=6\ \mathrm{cm}$,所以$AD=AC-CD=10\ \mathrm{cm}$.所以$BC=10-6=4(\mathrm{cm})$. ② 当点D在线段BC上时，因为$AC=16\ \mathrm{cm}$,$CD=6\ \mathrm{cm}$,所以折线A-C-D的长为$AC+CD=22\ \mathrm{cm}$. 因为$BD=AC+CD=22\ \mathrm{cm}$,所以$BC=BD+CD=22+6=28(\mathrm{cm})$.综上所述,BC的长为4 cm或28 cm.
(2) ① 当点D在线段AC上时，因为E为线段AC的中点，$EC=8\ \mathrm{cm}$,所以$AC=2EC=16\ \mathrm{cm}$.因为$CD=6\ \mathrm{cm}$,所以$AD=AC-CD=10\ \mathrm{cm}$.所以$BC=10-6=4(\mathrm{cm})$. ② 当点D在线段BC上时，因为$AC=16\ \mathrm{cm}$,$CD=6\ \mathrm{cm}$,所以折线A-C-D的长为$AC+CD=22\ \mathrm{cm}$. 因为$BD=AC+CD=22\ \mathrm{cm}$,所以$BC=BD+CD=22+6=28(\mathrm{cm})$.综上所述,BC的长为4 cm或28 cm.
16. (13分)如图，O为直线AD上一点，OC是∠AOB内部一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOB，∠AOC的平分线。
(1) ∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由。
(2) 若∠AOB=150°，试求∠AON与∠MON的度数。
(3) 若∠MON=52°，试求∠AOB的度数。
(1) ∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由。
(2) 若∠AOB=150°，试求∠AON与∠MON的度数。
(3) 若∠MON=52°，试求∠AOB的度数。
答案
16. (1) $∠COD=∠AOB$.理由:因为∠AOB与∠AOC互补,所以$∠AOB+∠AOC=180°$.因为$∠COD+∠AOC=180°$,所以$∠COD=∠AOB$.
(2) 因为∠AOB与∠AOC互补,$∠AOB=150°$,所以$∠AOC=180°-150°=30°$.因为ON为∠AOC的平分线,所以$∠AON=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$.因为OM为∠AOB的平分线,$∠AOB=150°$,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×150°=75°$.所以$∠MON=∠AOM-∠AON=75°-15°=60°$.
(3) 因为OM,ON分别为∠AOB,∠AOC的平分线,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB$,$∠AON=\frac{1}{2}∠AOC$.所以$∠MON=∠AOM-∠AON=\frac{1}{2}∠AOB-\frac{1}{2}∠AOC=52°$.所以$∠AOB-∠AOC=104°$.因为$∠AOB+∠AOC=180°$,所以$∠AOC=180°-∠AOB$.所以$∠AOB-(180°-∠AOB)=104°$.所以$∠AOB=142°$.
(2) 因为∠AOB与∠AOC互补,$∠AOB=150°$,所以$∠AOC=180°-150°=30°$.因为ON为∠AOC的平分线,所以$∠AON=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$.因为OM为∠AOB的平分线,$∠AOB=150°$,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×150°=75°$.所以$∠MON=∠AOM-∠AON=75°-15°=60°$.
(3) 因为OM,ON分别为∠AOB,∠AOC的平分线,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB$,$∠AON=\frac{1}{2}∠AOC$.所以$∠MON=∠AOM-∠AON=\frac{1}{2}∠AOB-\frac{1}{2}∠AOC=52°$.所以$∠AOB-∠AOC=104°$.因为$∠AOB+∠AOC=180°$,所以$∠AOC=180°-∠AOB$.所以$∠AOB-(180°-∠AOB)=104°$.所以$∠AOB=142°$.
17. (13分)如图，M是定长线段AB上一定点，C，D两点分别从M，B两点同时出发以1 cm/s，3 cm/s的速度沿直线BA向左运动，点C在线段AM上，点D在线段BM上.
（1）若AB=10 cm，当点C，D运动了2 s时，求AC+MD的长度.
（2）若当点C，D运动时，总有MD=3AC，则AM=
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求$\frac{MN}{AB}$的值.
（1）若AB=10 cm，当点C，D运动了2 s时，求AC+MD的长度.
（2）若当点C，D运动时，总有MD=3AC，则AM=
$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$
AB.（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求$\frac{MN}{AB}$的值.
答案
17. (1) 当点C,D运动了2 s时,$CM=1×2=2(\mathrm{cm})$,$BD=3×2=6(\mathrm{cm})$.因为$AB=10\ \mathrm{cm}$,所以$AC+MD=AB-CM-BD=10-2-6=2(\mathrm{cm})$.
(2) $\frac{1}{4}$. 设运动时间为t s,则$CM=t\ \mathrm{cm}$,$BD=3t\ \mathrm{cm}$.设$AM=x\ \mathrm{cm}$,$BM=y\ \mathrm{cm}$.因为$AC=AM-CM=(x-t)\ \mathrm{cm}$,$MD=BM-BD=(y-3t)\ \mathrm{cm}$,$MD=3AC$,所以$y-3t=3(x-t)$.所以$y=3x$,即$BM=3AM$.因为$BM=AB-AM$,所以$AB-AM=3AM$.所以$AM=\frac{1}{4}AB$.
(3) 当点N在线段AB上时,如图①. 因为$AN-BN=MN$,$AN-AM=MN$,所以$BN=AM=\frac{1}{4}AB$.所以$MN=AB-AM-BN=\frac{1}{2}AB$.所以$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$.当点N在线段AB的延长线上时,如图②. 因为$AN-BN=MN$,$AN-BN=AB$,所以$MN=AB$.所以$\frac{MN}{AB}=1$.综上所述,$\frac{MN}{AB}$的值为$\frac{1}{2}$或1.
