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初中数学 七年级 下册 人教版
10.「2026河南郑州期中，★☆」如图所示的是乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（
A
B
C D
10.「2026河南郑州期中，★☆」如图所示的是乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（
C
）A
B
C D
答案
10.C
解析
【分析】
解题要用到“面动成体”的原理，即平面图形绕轴旋转可以得到对应的立体图形。解题思路如下：第一步先观察花瓶的外观特征：瓶口有缩颈结构、瓶身中部最宽、底部向内收窄；第二步依次分析每个选项的平面图形绕虚线旋转后得到的立体形状，和花瓶特征匹配的即为正确答案。
【解析】
根据面动成体的原理，逐一分析选项：
选项A：绕虚线旋转后得到的是颈部短、腹部圆鼓的罐形，与花瓶特征不符，排除；
选项B：是长方形，绕虚线旋转后得到圆柱体，与花瓶特征不符，排除；
选项C：绕虚线旋转后，得到的立体有缩颈结构、瓶身中部外鼓、底部收窄，和题干花瓶形状一致，符合要求；
选项D：绕虚线旋转后得到的立体无明显颈部，底部斜收，与花瓶特征不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；旋转体识别
【点评】
本题考查面动成体原理的实际应用，需要结合实物特征分析平面旋转后的立体形态，侧重考查空间想象能力。
【难度系数】
0.8
解题要用到“面动成体”的原理，即平面图形绕轴旋转可以得到对应的立体图形。解题思路如下：第一步先观察花瓶的外观特征：瓶口有缩颈结构、瓶身中部最宽、底部向内收窄；第二步依次分析每个选项的平面图形绕虚线旋转后得到的立体形状，和花瓶特征匹配的即为正确答案。
【解析】
根据面动成体的原理，逐一分析选项：
选项A：绕虚线旋转后得到的是颈部短、腹部圆鼓的罐形，与花瓶特征不符，排除；
选项B：是长方形，绕虚线旋转后得到圆柱体，与花瓶特征不符，排除；
选项C：绕虚线旋转后，得到的立体有缩颈结构、瓶身中部外鼓、底部收窄，和题干花瓶形状一致，符合要求；
选项D：绕虚线旋转后得到的立体无明显颈部，底部斜收，与花瓶特征不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；旋转体识别
【点评】
本题考查面动成体原理的实际应用，需要结合实物特征分析平面旋转后的立体形态，侧重考查空间想象能力。
【难度系数】
0.8
11.「2026山东淄博临淄期中，★☆」一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点A沿着棱爬向B，只能经过三条棱，共有多少种走法
（
A.8种
B.7种
C.6种
D.5种
（
C
）A.8种
B.7种
C.6种
D.5种
答案
11.C 如图所示,走法有①A→C→D→B;②A→C→H→B;③A→E→F→B;④A→E→D→B;⑤A→G→F→B;⑥A→G→H→B,共有6种走法.故选 C.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求：蚂蚁从A点沿棱爬行，仅走3条棱到达B点。首先回忆正方体顶点的特征：正方体每个顶点都连接3条棱，所以从A出发第一步共有3种不同的走法。走到和A相邻的顶点后，排除刚走过来的棱，每个顶点剩余的2条棱都可以通向B点，我们按第一步的走法分类枚举，就能不重不漏算出总走法。
【解析】
从A点出发的棱共有3条，分别为AC、AE、AG，分三类讨论：
1. 第一步走A→C：后续路径为①A→C→D→B、②A→C→H→B，共2种走法；
2. 第一步走A→E：后续路径为③A→E→F→B、④A→E→D→B，共2种走法；
3. 第一步走A→G：后续路径为⑤A→G→F→B、⑥A→G→H→B，共2种走法。
总走法数量为：2+2+2=6种。
【答案】
C
【知识点】
正方体结构特征，分类计数
【点评】
本题是几何计数的基础题型，解题关键是熟悉正方体的棱的特点，按照固定顺序分类枚举路径，避免出现重复计数或者遗漏路径的问题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确题目要求：蚂蚁从A点沿棱爬行，仅走3条棱到达B点。首先回忆正方体顶点的特征：正方体每个顶点都连接3条棱，所以从A出发第一步共有3种不同的走法。走到和A相邻的顶点后，排除刚走过来的棱，每个顶点剩余的2条棱都可以通向B点，我们按第一步的走法分类枚举，就能不重不漏算出总走法。
【解析】
从A点出发的棱共有3条，分别为AC、AE、AG，分三类讨论：
1. 第一步走A→C：后续路径为①A→C→D→B、②A→C→H→B，共2种走法；
2. 第一步走A→E：后续路径为③A→E→F→B、④A→E→D→B，共2种走法；
3. 第一步走A→G：后续路径为⑤A→G→F→B、⑥A→G→H→B，共2种走法。
总走法数量为：2+2+2=6种。
【答案】
C
【知识点】
正方体结构特征，分类计数
【点评】
本题是几何计数的基础题型，解题关键是熟悉正方体的棱的特点，按照固定顺序分类枚举路径，避免出现重复计数或者遗漏路径的问题。
【难度系数】
0.8
12.「2026甘肃兰州期中，★☆」如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，以AB所在直线为轴，将长方形旋转一周后得一个几何体，从前面看该几何体得到的平面图形的面积是
24
。答案
12.答案 24
解析 由题图可知旋转所得几何体为圆柱,从前面看该几何体所得的平面图形为长方形,且该长方形的长为2BC=6,宽为AB=4,所以所求平面图形的面积=6×4=24.
解析 由题图可知旋转所得几何体为圆柱,从前面看该几何体所得的平面图形为长方形,且该长方形的长为2BC=6,宽为AB=4,所以所求平面图形的面积=6×4=24.
解析
【分析】
解题时首先判断旋转后得到的几何体：长方形绕一条边旋转一周会得到圆柱，本题以AB为旋转轴，因此圆柱的高等于AB的长度，底面半径等于BC的长度。再分析该几何体的前视图（主视图）的形状：圆柱的主视图为长方形，该长方形的长对应圆柱的底面直径，宽对应圆柱的高，最后代入长方形面积公式计算即可。
【解析】
将长方形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周，所得几何体为圆柱。
该圆柱的高为AB=4，底面半径为BC=3。
从前面看该圆柱得到的平面图形是长方形，长方形的长等于圆柱的底面直径：$2× BC=2×3=6$，宽等于圆柱的高AB=4。
因此该平面图形的面积为：$6×4=24$。
【答案】
24
【知识点】
面动成体；几何体的三视图；长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，结合旋转形成几何体和三视图的知识考查基础计算，解题关键是明确旋转后圆柱的参数，以及主视图各边对应的实际长度，注意不要误把底面半径当作直径计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先判断旋转后得到的几何体：长方形绕一条边旋转一周会得到圆柱，本题以AB为旋转轴，因此圆柱的高等于AB的长度，底面半径等于BC的长度。再分析该几何体的前视图（主视图）的形状：圆柱的主视图为长方形，该长方形的长对应圆柱的底面直径，宽对应圆柱的高，最后代入长方形面积公式计算即可。
【解析】
将长方形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周，所得几何体为圆柱。
该圆柱的高为AB=4，底面半径为BC=3。
从前面看该圆柱得到的平面图形是长方形，长方形的长等于圆柱的底面直径：$2× BC=2×3=6$，宽等于圆柱的高AB=4。
因此该平面图形的面积为：$6×4=24$。
【答案】
24
【知识点】
面动成体；几何体的三视图；长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，结合旋转形成几何体和三视图的知识考查基础计算，解题关键是明确旋转后圆柱的参数，以及主视图各边对应的实际长度，注意不要误把底面半径当作直径计算。
【难度系数】
0.8
13. 学科特色
分类讨论思想
「2026四川达州外国语学校期中，★☆」一个长方形的长和宽分别为5,4,绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积为
分类讨论思想
「2026四川达州外国语学校期中，★☆」一个长方形的长和宽分别为5,4,绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积为
80π 或 100π
（结果保留π）。答案
13.答案 80π 或 100π
解析 以长方形边长为5的边所在的直线为轴,旋转一周,得到的是底面半径为4,高为5的圆柱,因此体积为π×4²×5=80π;以长方形边长为4的边所在的直线为轴,旋转一周,得到的是底面半径为5,高为4的圆柱,因此体积为π×5²×4=100π.综上,几何体的体积为80π 或 100π.
解析 以长方形边长为5的边所在的直线为轴,旋转一周,得到的是底面半径为4,高为5的圆柱,因此体积为π×4²×5=80π;以长方形边长为4的边所在的直线为轴,旋转一周,得到的是底面半径为5,高为4的圆柱,因此体积为π×5²×4=100π.综上,几何体的体积为80π 或 100π.
解析
【分析】
解决本题首先要明确长方形绕任意一边旋转一周形成的几何体都是圆柱，由于题目未指明旋转轴是长还是宽，因此需要分类讨论两种情况：①绕长度为5的边旋转；②绕长度为4的边旋转。分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 以长方形长为5的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为4，高为5，根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，可得体积为：$π × 4^2 × 5 = 80π$；
2. 以长方形宽为4的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为5，高为4，代入体积公式可得体积为：$π × 5^2 × 4 = 100π$。
综上，形成的几何体的体积为80π或100π。
【答案】
80π或100π
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的体积计算，解题的关键是明确旋转轴不同时，得到的圆柱的底面半径和高也不同，易错点是遗漏其中一种旋转情况，导致答案不完整。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确长方形绕任意一边旋转一周形成的几何体都是圆柱，由于题目未指明旋转轴是长还是宽，因此需要分类讨论两种情况：①绕长度为5的边旋转；②绕长度为4的边旋转。分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 以长方形长为5的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为4，高为5，根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，可得体积为：$π × 4^2 × 5 = 80π$；
2. 以长方形宽为4的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为5，高为4，代入体积公式可得体积为：$π × 5^2 × 4 = 100π$。
综上，形成的几何体的体积为80π或100π。
【答案】
80π或100π
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的体积计算，解题的关键是明确旋转轴不同时，得到的圆柱的底面半径和高也不同，易错点是遗漏其中一种旋转情况，导致答案不完整。
【难度系数】
0.7
14. 学科特色教材变式「2025河北邯郸临漳期中，★☆」如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了甲、乙两个立体图形.
小军:我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等.
小红:我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等.
(1)你同意
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
小军:我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等.
小红:我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等.
(1)你同意
小红
的说法.(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
答案
14.解析 (1)同意小红的说法.
理由:甲的体积=π×3²×6 - 1/3 π×3²×(6-3)=45π(cm³),
乙的体积=π×3²×3 + 1/3 π×3²×(6-3)= 36π(cm³),
所以甲、乙两个立体图形的体积不相等.
(2)甲的体积=45π cm³,乙的体积=36π cm³,所以甲、乙两个立体图形的体积比=45π : 36π = 5 : 4.
理由:甲的体积=π×3²×6 - 1/3 π×3²×(6-3)=45π(cm³),
乙的体积=π×3²×3 + 1/3 π×3²×(6-3)= 36π(cm³),
所以甲、乙两个立体图形的体积不相等.
(2)甲的体积=45π cm³,乙的体积=36π cm³,所以甲、乙两个立体图形的体积比=45π : 36π = 5 : 4.
解析
【分析】
要判断两人说法是否正确，需先明确两个旋转后立体图形的构成：甲是以上底为轴旋转得到，相当于底面半径3cm、高6cm的圆柱减去一个底面半径3cm、高3cm的圆锥；乙是以下底为轴旋转得到，相当于底面半径3cm、高3cm的圆柱加上一个底面半径3cm、高3cm的圆锥。分别计算两个立体图形的体积，即可判断体积是否相等，再将两个体积作比化简得到结果。
【解析】
(1) 计算甲的体积：
圆柱体积公式为$V_{圆柱}=π r^2 h$，圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$。
甲的体积 = 底面半径3cm、高6cm的圆柱体积 - 底面半径3cm、高$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥体积
即$V_甲=π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)=54π -9π=45π(\mathrm{cm^3})$
计算乙的体积：
乙的体积 = 底面半径3cm、高3cm的圆柱体积 + 底面半径3cm、高$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥体积
即$V_乙=π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)=27π +9π=36π(\mathrm{cm^3})$
因为$45π≠36π$，两个立体图形体积不相等，所以同意小红的说法。
(2) 甲、乙体积比为：
$V_甲:V_乙=45π:36π=5:4$
【答案】
(1) 小红
(2) $5:4$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题考查旋转形成立体图形的体积计算，解题的核心是准确分析旋转后立体图形的组成，将不规则图形转化为学过的圆柱、圆锥来计算体积，同时要注意旋转轴不同，得到的立体图形结构也不同。
【难度系数】
0.7
要判断两人说法是否正确，需先明确两个旋转后立体图形的构成：甲是以上底为轴旋转得到，相当于底面半径3cm、高6cm的圆柱减去一个底面半径3cm、高3cm的圆锥；乙是以下底为轴旋转得到，相当于底面半径3cm、高3cm的圆柱加上一个底面半径3cm、高3cm的圆锥。分别计算两个立体图形的体积，即可判断体积是否相等，再将两个体积作比化简得到结果。
【解析】
(1) 计算甲的体积：
圆柱体积公式为$V_{圆柱}=π r^2 h$，圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$。
甲的体积 = 底面半径3cm、高6cm的圆柱体积 - 底面半径3cm、高$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥体积
即$V_甲=π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)=54π -9π=45π(\mathrm{cm^3})$
计算乙的体积：
乙的体积 = 底面半径3cm、高3cm的圆柱体积 + 底面半径3cm、高$6-3=3\mathrm{cm}$的圆锥体积
即$V_乙=π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)=27π +9π=36π(\mathrm{cm^3})$
因为$45π≠36π$，两个立体图形体积不相等，所以同意小红的说法。
(2) 甲、乙体积比为：
$V_甲:V_乙=45π:36π=5:4$
【答案】
(1) 小红
(2) $5:4$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题考查旋转形成立体图形的体积计算，解题的核心是准确分析旋转后立体图形的组成，将不规则图形转化为学过的圆柱、圆锥来计算体积，同时要注意旋转轴不同，得到的立体图形结构也不同。
【难度系数】
0.7
15.核心素养 抽象能力 欧拉是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数$V$、棱数$E$、面数$F$之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
| 名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
|--------|--------|--------|--------|----------|
| 图形 | |
| | |
| 顶点数$V$| 4 | 6 | 8 |
| 棱数$E$ | 6 |
| 面数$F$ | 4 | 5 |
(2)分析表中的数据，你能发现$V,E,F$之间有什么关系吗？请写出关系式：
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
| 名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
|--------|--------|--------|--------|----------|
| 图形 | |
| | || 顶点数$V$| 4 | 6 | 8 |
6
|| 棱数$E$ | 6 |
9
| 12 | 12
|| 面数$F$ | 4 | 5 |
6
| 8 |(2)分析表中的数据，你能发现$V,E,F$之间有什么关系吗？请写出关系式：
$V+F-E=2$
.答案
15.解析 (1)填表如下.
(2)因为4+4-6=2,6+5-9=2,8+6-12=2,6+8-12=2,所以$V+F-E=2$.
故答案为$V+F-E=2$.
解析
【分析】
(1) 补全表格的核心是明确多面体顶点、棱、面的定义：顶点是棱与棱的交点，棱是面与面的交线，面是多面体的每个表面，对应每个图形逐个计数空缺的数值即可。(2) 探究V、E、F的关系时，可将每组已知的三个数值做加减运算尝试，找到对所有多面体都成立的等式规律。
【解析】
(1) 逐个计数空缺数值：
①三棱柱的棱数：上下底面各3条棱，侧面3条侧棱，总棱数$E=3×2+3=9$；
②正方体的面数：包含上下、前后、左右共6个面，故面数$F=6$；
③正八面体的顶点数：上下各1个顶点，中间正方形有4个顶点，总顶点数$V=1+4+1=6$；
④正八面体的棱数：上顶点连中间4个顶点有4条棱，下顶点连中间4个顶点有4条棱，中间正方形有4条棱，总棱数$E=4+4+4=12$。
补全后的表格如下：
(2) 将每个多面体的V、E、F代入运算验证：
三棱锥：$4+4-6=2$；
三棱柱：$6+5-9=2$；
正方体：$8+6-12=2$；
正八面体：$6+8-12=2$。
所有运算结果均相等，由此可得出三者的关系式。
【答案】
(1)
(2) $V+F-E=2$
【知识点】
立体图形的认识；欧拉公式；规律探究
【点评】
本题以欧拉公式为探究背景，既考查了对多面体基本构成要素的计数能力，也锻炼了归纳总结的逻辑思维能力，准确计数顶点、棱、面的数量是解题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 补全表格的核心是明确多面体顶点、棱、面的定义：顶点是棱与棱的交点，棱是面与面的交线，面是多面体的每个表面，对应每个图形逐个计数空缺的数值即可。(2) 探究V、E、F的关系时，可将每组已知的三个数值做加减运算尝试，找到对所有多面体都成立的等式规律。
【解析】
(1) 逐个计数空缺数值：
①三棱柱的棱数：上下底面各3条棱，侧面3条侧棱，总棱数$E=3×2+3=9$；
②正方体的面数：包含上下、前后、左右共6个面，故面数$F=6$；
③正八面体的顶点数：上下各1个顶点，中间正方形有4个顶点，总顶点数$V=1+4+1=6$；
④正八面体的棱数：上顶点连中间4个顶点有4条棱，下顶点连中间4个顶点有4条棱，中间正方形有4条棱，总棱数$E=4+4+4=12$。
补全后的表格如下：
(2) 将每个多面体的V、E、F代入运算验证：
三棱锥：$4+4-6=2$；
三棱柱：$6+5-9=2$；
正方体：$8+6-12=2$；
正八面体：$6+8-12=2$。
所有运算结果均相等，由此可得出三者的关系式。
【答案】
(1)
(2) $V+F-E=2$
【知识点】
立体图形的认识；欧拉公式；规律探究
【点评】
本题以欧拉公式为探究背景，既考查了对多面体基本构成要素的计数能力，也锻炼了归纳总结的逻辑思维能力，准确计数顶点、棱、面的数量是解题的基础。
【难度系数】
0.8
