3.为了更好治理涪江的水质,遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,每台的价格、月处理污水量如下表:

经调查,买一台A型设备比B型设备多3万元,买2台A型设备比3台B型设备少5万元.
(1)求$m,n$的值;
(2)经预算,购买设备的资金不超过117万元,且要求每月处理污水不低于2050吨,你认为有哪几种购买方案?

3.（1）由题意得 $\begin{cases}m=n+3,\\2m=3n-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n=11,\\m=14,\end{cases}$,故 $m=14,n=11$.
(2)设购买 A 型设备 $x$ 台,则购买 B 型设备（$10 - x$）台,由题意得$\begin{cases}14x+11(10-x)≤117\\250x+200(10-x)≥2050\end{cases}$, 解得 $1≤ x≤\dfrac{7}{3}$,因为 $x$ 为正整数,所以 $x=1$ 或 $x=2$,
所以有两种购买方案：
方案一,购买 A 型设备 1 台,B 型设备9 台；
方案二,购买 A 型设备 2 台,B 型设备8 台.

【分析】
（1）解决第一问需从题干提取两个关于A、B型设备价格的等量关系：①1台A型设备价格=1台B型设备价格+3万元；②2台A型设备价格=3台B型设备价格-5万元，将两个等量关系转化为二元一次方程组，求解即可得到m、n的值。
（2）解决第二问首先设购买A型设备x台，那么B型设备数量为(10-x)台，结合题干的两个限制条件：总购买资金≤117万元，每月总处理污水量≥2050吨，分别列不等式组成一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合x为非负整数的实际意义，筛选出符合条件的x值，对应得出购买方案即可。
【解析】
(1) 根据题意可列二元一次方程组：
$\begin{cases}m=n+3\\2m=3n-5\end{cases}$
将$m=n+3$代入第二个方程，得：
$2(n+3)=3n-5$
展开整理得$2n+6=3n-5$，解得$n=11$，代入$m=n+3$得$m=14$。
(2) 设购买A型设备$x$台，则购买B型设备$(10-x)$台，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}14x+11(10-x)≤117 \quad ①\\250x+200(10-x)≥2050 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
$14x+110-11x≤117$，$3x≤7$，得$x≤\frac{7}{3}$
解不等式②：
$250x+2000-200x≥2050$，$50x≥50$，得$x≥1$
因此不等式组的解集为$1≤x≤\frac{7}{3}$，因为x为设备台数，需取正整数，所以x可取1、2。
对应购买方案为：
方案一：购买A型设备1台，B型设备$10-1=9$台；
方案二：购买A型设备2台，B型设备$10-2=8$台。
【答案】
(1) $m=14$，$n=11$；
(2) 共有2种购买方案：方案一：购买A型设备1台，B型设备9台；方案二：购买A型设备2台，B型设备8台。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案设计问题
【点评】
本题结合污水处理的实际场景出题，既考查了根据等量关系列方程组求解未知量的能力，也考查了根据限制条件列不等式组、结合实际意义筛选整数解设计方案的能力，贴近生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7