1. (2024·大庆中考)在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx-k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的大致图象为 ()

1. C 解析:y=kx-k(k≠0),当k＜0时,一次函数的图象经过第一、二、四象限,当k＞0时,一次函数的图象经过第一、三、四象限.A. 一次函数中k＜0,则当x＞0时,函数$y=\frac{k}{|x|}$的图象在第四象限,不符合题意;B. 一次函数的图象经过第二、三、四象限,不符合题意;C与D,一次函数中k＞0,则当x＞0时,函数$y=\frac{k}{|x|}$的图象在第一象限,故C选项正确,D选项错误.故选C.

2.（乐山中考改编）如图，曲线$C_2$是曲线$C_1:y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$绕原点$O$逆时针旋转$45°$得到的图形，$P$是曲线$C_2$上任意一点，点$A$在直线$l:y=x$上，且$PA=PO$，则$△ POA$的面积等于。

2. 6 解析:如图,将$C_2$及直线$y=x$绕点O逆时针旋转45°,则得到曲线$C_3$,直线l与y轴重合.曲线$C_3$的解析式为$y=-\frac{6}{x}$,过点P作$PB⊥y$轴于点B,$\because PA=PO,\therefore B$为OA的中点,$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ POB}.\because S_{△ POB}= \frac{1}{2}×OB×PB=\frac{1}{2}(y_P·|x_P|)=\frac{1}{2}×6=3,\therefore △ POA$的面积是6.

3. (十堰中考)函数$y=\frac{k}{x+a}$的图象可以由函数$y=\frac{k}{x}$的图象左右平移得到.
(1)将函数$y=\frac{1}{x}$的图象向右平移4个单位长度得到函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象,则$a=$.
(2)下列关于函数$y=\frac{1}{x+a}$的性质:①$y$随$x$的增大而减小;②图象关于直线$y=-x+a$对称;③$y$的取值范围为$y≠0$.其中说法正确的是(填序号).
(3)根据(1)中$a$的值,写出不等式$\frac{1}{x+a}＞\frac{1}{x}$的解集.

3. (1)-4
(2)③ 解析:函数$y=\frac{1}{x}$的图象向左平移a个单位长度得到函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象,①y随x的增大而减小,错误,缺少前提条件“在每一个分支上”;②$y=\frac{1}{x}$的图象关于直线y=-x对称,直线y=-x向左平移a个单位长度后是直线y=-(x+a),故错误;③x+a≠0,所以y的取值范围为y≠0,正确.其中说法正确的是③.
(3)观察图象,可得不等式$\frac{1}{x+a}＞\frac{1}{x}$的解集为x＞4或x＜0.

4. (2024·宁夏中考改编)参照学习函数的过程与方法,探究函数$y=\frac{x-2}{x}(x≠0)$的图象与性质.
因为$y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$,即$y=-\frac{2}{x}+1$,所以我们对比函数$y=-\frac{2}{x}$来探究.
(1)画图:在平面直角坐标系中,画出函数$y=\frac{x-2}{x}$的图象.
(2)观察:由图象可知:①当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;(填“增大”或“减小”)
②$y=\frac{x-2}{x}$的图象是由$y=-\frac{2}{x}$的图象向平移个单位长度得到的.
(3)探究:若直线$l$对应的函数解析式为$y_1=kx+b$,且经过点$A(-1,3)$和点$B(1,-1)$,$y_2=\frac{x-2}{x}$,若$y_1＞y_2$,则$x$的取值范围是,$△ AOB$的面积为.
(4)延伸:函数$y=\frac{-2x+4}{x+1}$的图象可以由反比例函数$y=$的图象先向平移个单位长度,再向平移个单位长度得到.

4. (1)函数图象如图所示.

(2)①增大 ②上 1
(3)x＜-1 或 0＜x＜1 1 解析:易得$y_1=-2x+1$,同时点A(-1,3)和点B(1,-1)是直线l和函数$y_2=\frac{x-2}{x}$图象的交点,若$y_1＞y_2$,则根据图象可得x＜-1或0＜x＜1.在$y_1=-2x+1$中,当y=0时,-2x+1=0,解得$x=\frac{1}{2}$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×(3+1)×\frac{1}{2}=1$.
(4)$\frac{6}{x}$ 左 1 下 2(或下 2 左 1)
解析:$y=\frac{-2x+4}{x+1}=\frac{-2(x+1)+2+4}{x+1}=\frac{6}{x+1}-2$.
技法点拨 分离常数法:对含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围.
分离常数法是分式型函数中常用的一种方法,通过拆项使分式的分子为常数,或者分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式,如:$y=\frac{cx+d}{ax+b}=\frac{cx+\frac{bc}{a}+d-\frac{bc}{a}}{ax+b}=\frac{c}{a}+\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b}(a≠0)$.