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1. (2025·汉中模拟)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与一次函数$y=2x+3$的图象的一个交点的坐标为$(-2,m)$，则$k$的值为（
A.2
B.3
C.-2
D.-3
A
）A.2
B.3
C.-2
D.-3
答案
1. A 解析:把点$(-2,m)$代入$y=2x+3$得 $m=2×(-2)+3=-1$,
$\therefore$ 交点的坐标为$(-2,-1)$.把点$(-2,-1)$代入 $y=\frac{k}{x}$得
$k=-2×(-1)=2$. 故选 A.
$\therefore$ 交点的坐标为$(-2,-1)$.把点$(-2,-1)$代入 $y=\frac{k}{x}$得
$k=-2×(-1)=2$. 故选 A.
2.（2026·九江月考）如图，已知点P是双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上一点，过点P作$PA⊥x$轴于点A，且$S_{△ PAO}=5$，则该双曲线的解析式为（
A.$y=-\frac{5}{x}$
B.$y=\frac{5}{x}$
C.$y=\frac{10}{x}$
D.$y=-\frac{10}{x}$
D
）A.$y=-\frac{5}{x}$
B.$y=\frac{5}{x}$
C.$y=\frac{10}{x}$
D.$y=-\frac{10}{x}$
答案
2. D 解析:设 $P(x,\frac{k}{x})$,由图象可得 $PA=\frac{k}{x},OA=|x|=-x$,
则 $S_{△ PAO}=\frac{1}{2}PA· OA=\frac{1}{2}·\frac{k}{x}·(-x)=-\frac{k}{2}=5,\therefore k=-10$,
$\therefore$ 该双曲线的解析式为 $y=-\frac{10}{x}$. 故选 D.
3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$的图象交于点$A(-1,-2)$,$B(n,1)$.则不等式$kx+b＜\dfrac{m}{x}$的解集为
x＜-1 或 0＜x＜2
.答案
3. 解析:$\because$ 一次函数 $y_1=kx+b$ 与反比例函数
$y_2=\frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A(-1,-2),B(n,1),\therefore m=-1×$
$(-2)=2,\therefore$ 将 $B(n,1)$ 代入 $y_2=\frac{2}{x}$ 得 $n=2,\therefore B(2,1),\therefore$ 不
等式 $kx+b＜\frac{m}{x}$ 的解集是 $x＜-1$ 或 $0＜x＜2$.
$y_2=\frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A(-1,-2),B(n,1),\therefore m=-1×$
$(-2)=2,\therefore$ 将 $B(n,1)$ 代入 $y_2=\frac{2}{x}$ 得 $n=2,\therefore B(2,1),\therefore$ 不
等式 $kx+b＜\frac{m}{x}$ 的解集是 $x＜-1$ 或 $0＜x＜2$.
4. (2026·周口月考)如图,正比例函数$y=kx$与反比例函数$y=\dfrac{a}{x}$的图象交于$A,B$两点,$AC⊥ x$轴于点$C$,连接$BC$,若$△ ABC$的面积为$4$,则反比例函数的解析式为________.
答案
4. $y=\frac{4}{x}$ 解析:$\because$ 正比例函数 $y=kx$ 与反比例函数 $y=\frac{a}{x}$ 的图象
交于 $A,B$ 两点, 联立 $\begin{cases}y=kx,\\y=\frac{a}{x},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{\sqrt{ka}}{k},\\y=\sqrt{ka}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-\frac{\sqrt{ka}}{k},\\y=-\sqrt{ka},\end{cases}$
$\therefore A(\frac{\sqrt{ka}}{k},\sqrt{ka}),B(-\frac{\sqrt{ka}}{k},-\sqrt{ka}),\therefore |y_A|=|y_B|.\because AC⊥$
$x$ 轴, $\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|y_A|× OC+\frac{1}{2}|y_B|× OC=|y_A|×$
$OC=a.\because △ ABC$ 的面积为 $4,\therefore a=4,\therefore$ 反比例函数的解析式为
$y=\frac{4}{x}.$
交于 $A,B$ 两点, 联立 $\begin{cases}y=kx,\\y=\frac{a}{x},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{\sqrt{ka}}{k},\\y=\sqrt{ka}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-\frac{\sqrt{ka}}{k},\\y=-\sqrt{ka},\end{cases}$
$\therefore A(\frac{\sqrt{ka}}{k},\sqrt{ka}),B(-\frac{\sqrt{ka}}{k},-\sqrt{ka}),\therefore |y_A|=|y_B|.\because AC⊥$
$x$ 轴, $\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|y_A|× OC+\frac{1}{2}|y_B|× OC=|y_A|×$
$OC=a.\because △ ABC$ 的面积为 $4,\therefore a=4,\therefore$ 反比例函数的解析式为
$y=\frac{4}{x}.$
5. (2025·郑州模拟)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$□ ABCD$的边$AB$在一次函数$y=\frac{1}{2}x+b$的图象上,且点$B(3,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$AD// x$轴,点$D(8,2)$.
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将$□ ABCD$向下平移,当点$C$落在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上时,求平移的距离.
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将$□ ABCD$向下平移,当点$C$落在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上时,求平移的距离.
答案
5. (1)$\because$ 点 $B(3,1)$ 在一次函数 $y=\frac{1}{2}x+b$ 的图象上, $\therefore 1=\frac{1}{2}×$
$3+b$, 解得 $b=-\frac{1}{2},\therefore$ 一次函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.\because$ 点
$B(3,1)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, $\therefore 1=\frac{k}{3}$, 解得 $k=3$,
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{x}.$
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AD// BC.\because AD// x$ 轴,
$\therefore BC// x$ 轴. $\because$ 点 $D(8,2),\therefore$ 点 $A$ 的纵坐标为 2. 当 $y=$
2 时, $2=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},\therefore x=5,\therefore AD=BC=8-5=3,\therefore$ 点 $C(6,1).$
$\because □ ABCD$ 向下平移, 当点 $C$ 落在 $y=\frac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上时,
设向下平移的距离为 $a$, 则平移后的点 $C(6,1-a)$,
$\therefore 6(1-a)=3$, 解得 $a=\frac{1}{2},\therefore$ 平移的距离为 $\frac{1}{2}.$
$3+b$, 解得 $b=-\frac{1}{2},\therefore$ 一次函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.\because$ 点
$B(3,1)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, $\therefore 1=\frac{k}{3}$, 解得 $k=3$,
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{x}.$
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AD// BC.\because AD// x$ 轴,
$\therefore BC// x$ 轴. $\because$ 点 $D(8,2),\therefore$ 点 $A$ 的纵坐标为 2. 当 $y=$
2 时, $2=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},\therefore x=5,\therefore AD=BC=8-5=3,\therefore$ 点 $C(6,1).$
$\because □ ABCD$ 向下平移, 当点 $C$ 落在 $y=\frac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上时,
设向下平移的距离为 $a$, 则平移后的点 $C(6,1-a)$,
$\therefore 6(1-a)=3$, 解得 $a=\frac{1}{2},\therefore$ 平移的距离为 $\frac{1}{2}.$
6. 如图,点A,B在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上,点C,D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,$AC// BD// y$轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,$△ OAC$与$△ ABD$的面积之和为$\frac{3}{2}$,则k的值为 (
A.4
B.3
C.2
D.$\frac{3}{2}$
B
)A.4
B.3
C.2
D.$\frac{3}{2}$
答案
6. B 解析:易得 $A(1,1),B(2,\frac{1}{2}).\because AC// BD// y$ 轴, $\therefore$ 点
$C,D$ 的横坐标分别为 $1,2,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(1,k)$, 点 $D$ 的
坐标为 $(2,\frac{k}{2}),\therefore AC=k-1,BD=\frac{k}{2}-\frac{1}{2}=\frac{k-1}{2},\therefore S_{△ OAC}=$
$\frac{1}{2}(k-1)×1=\frac{k-1}{2},S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×\frac{k-1}{2}×(2-1)=\frac{k-1}{4}.\because △ OAC$
与 $△ ABD$ 的面积之和为 $\frac{3}{2},\therefore \frac{k-1}{2}+\frac{k-1}{4}=\frac{3}{2}$, 解得 $k=3.$
$C,D$ 的横坐标分别为 $1,2,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(1,k)$, 点 $D$ 的
坐标为 $(2,\frac{k}{2}),\therefore AC=k-1,BD=\frac{k}{2}-\frac{1}{2}=\frac{k-1}{2},\therefore S_{△ OAC}=$
$\frac{1}{2}(k-1)×1=\frac{k-1}{2},S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×\frac{k-1}{2}×(2-1)=\frac{k-1}{4}.\because △ OAC$
与 $△ ABD$ 的面积之和为 $\frac{3}{2},\therefore \frac{k-1}{2}+\frac{k-1}{4}=\frac{3}{2}$, 解得 $k=3.$
7. (2026·青岛期末)如图,一次函数$y=x(x≥0)$与反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴的垂线,垂足为点D,交$y=x$的图象于点B,点A的横坐标为1,点P为一次函数$y=x(x≥0)$上一点.若$S_{△ ABP}=4$,则点P的坐标为
(2,2)或(0,0)
.答案
7. $(2,2)$ 或 $(0,0)$ 解析:$\because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{9}{x}(x＞0)$ 的
图象上, 点 $A$ 的横坐标为 $1, \therefore A(1,9).\because AD⊥ x$ 轴, 点 $B$ 在
一次函数 $y=x(x\ge0)$ 的图象上, $\therefore B(1,1),\therefore S_{△ ABP}=$
$\frac{1}{2}× AB×|x_p-x_A|=\frac{1}{2}×(9-1)×|x_p-1|=4|x_p-1|.\because S_{△ ABP}=$
$4,\therefore 4|x_p-1|=4,\therefore |x_p-1|=1,\therefore x_p=2$ 或 $0,\therefore P(2,2)$ 或
$(0,0).$
图象上, 点 $A$ 的横坐标为 $1, \therefore A(1,9).\because AD⊥ x$ 轴, 点 $B$ 在
一次函数 $y=x(x\ge0)$ 的图象上, $\therefore B(1,1),\therefore S_{△ ABP}=$
$\frac{1}{2}× AB×|x_p-x_A|=\frac{1}{2}×(9-1)×|x_p-1|=4|x_p-1|.\because S_{△ ABP}=$
$4,\therefore 4|x_p-1|=4,\therefore |x_p-1|=1,\therefore x_p=2$ 或 $0,\therefore P(2,2)$ 或
$(0,0).$
