8. 若直线 $y = m$（$m$ 为常数）与函数 $y = \begin{cases} x^2 & (x ≤ 2), \\ \dfrac{4}{x} & (x ＞ 2) \end{cases}$ 的图象恒有三个不同的交点，则常数 $m$ 的取值范围是 ______。

8. $0＜m＜2$ 解析: 分段函数 $y=\begin{cases}x^2(x\le2),\\\dfrac{4}{x}(x＞2)\end{cases}$ 的图象如图.

故要使直线 $y=m$($m$ 为常数) 与函数 $y=\begin{cases}x^2(x\le2),\\\dfrac{4}{x}(x＞2)\end{cases}$ 的图象
恒有三个不同的交点, 常数 $m$ 的取值范围是 $0＜m＜2.$

9. 在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=ax$，$y=\dfrac{1}{a}x$与反比例函数$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$的图象分别交于$A$，$B$两点，由线段$OA$，$OB$和双曲线$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$在$A$，$B$之间的部分围成的区域(不含边界)为$W$。若区域$W$内恰有8个整数点，则$a$的取值范围是。

9. $3＜a\le4$ 或 $\frac{1}{4}\le a＜\frac{1}{3}$ 解析: 如图, $\because$ 直线 $y=ax,y=\frac{1}{a}x$ 关
于 $y=x$ 对称, $y=\frac{8}{x}$ 与 $y=x$ 的图象在第一象限的交点为
$(2\sqrt{2},2\sqrt{2}),\therefore$ 在区域 $W$ 内有点 $(1,1),(2,2).\because$ 区域 $W$ 内
恰有 8 个整数点, $\therefore$ 在直线 $y=x$ 上方与下方各有 3 个整数
点即可. $\because(2,4),(4,2)$ 在双曲线 $y=\frac{8}{x}$ 上, $\therefore(2,3),$
$(3,2)$ 在区域 $W$ 内. 当点 $(1,3)$ 在 $y=ax$ 上时, $a=3$, 当点
$(1,4)$ 在 $y=ax$ 上时, $a=4,\therefore 3＜a\le4$; 当点 $(1,3)$ 在 $y=\frac{1}{a}x$
上时, $a=\frac{1}{3}$, 当点 $(1,4)$ 在 $y=\frac{1}{a}x$ 上时, $a=\frac{1}{4},\therefore \frac{1}{4}\le a＜$
$\frac{1}{3},\therefore 3＜a\le4$ 或 $\frac{1}{4}\le a＜\frac{1}{3}.$

10. (2024·眉山中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(1,6)$,$B(n,2)$,与$x$轴、$y$轴分别交于$C,D$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若点$P$在$y$轴上,当$△ PAB$的周长最小时,请直接写出点$P$的坐标;
(3)将直线$AB$向下平移$a$个单位长度后与$x$轴、$y$轴分别交于$E,F$两点,当$EF=\frac{1}{2}AB$时,求$a$的值.

10. (1)$\because$ 一次函数 $y=kx+b$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x＞0)$ 的图
象交于点 $A(1,6),B(n,2),\therefore \frac{m}{1}=6,\therefore m=6,\therefore$ 反比例函
数的解析式为 $y=\frac{6}{x}$. 把 $B(n,2)$ 代入 $y=\frac{6}{x}$, 得 $2=\frac{6}{n}$,
$\therefore n=3,\therefore B(3,2)$. 把 $A(1,6),B(3,2)$ 代入 $y=kx+b$, 得
$\begin{cases}k+b=6,\\3k+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=8,\end{cases}\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-2x+8.$
(2)$P(0,5).$ 解析: 如图, 作点 $A$ 关于
$y$ 轴的对称点 $A'$, 连接 $A'B$ 交 $y$ 轴于点 $P$,
此时, $△ PAB$ 的周长最小, $\because$ 点 $A(1,6)$,
$\therefore A'(-1,6)$. 设直线 $BA'$ 的解析式为
$y=mx+c,\therefore \begin{cases}-m+c=6,\\3m+c=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-1,\\c=5,\end{cases}\therefore$ 直
线 $BA'$ 的解析式为 $y=-x+5$, 当 $x=0$ 时, $y=5,\therefore$ 点 $P$ 的
坐标为 $(0,5).$

(3)将直线 $AB$ 向下平移 $a$ 个单位长度后与 $x$ 轴, $y$ 轴分别
交于 $E,F$ 两点, $\therefore$ 直线 $EF$ 的解析式为
$y=-2x+8-a,\therefore E(\frac{8-a}{2},0),F(0,8-a).\because EF=\frac{1}{2}AB$,
$\therefore \sqrt{(\frac{8-a}{2})^2+(8-a)^2}=\frac{1}{2}×\sqrt{(1-3)^2+(6-2)^2}$, 解得 $a=6$
或 $a=10.$

11. 如图①,正方形ABCD的顶点A(1,1)和点C(3,3),反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$,双曲线经过点D.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的解析式.
(2)如图②,正方形ABCD向下平移得到正方形A'B'C'D',边A'B'在x轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象分别交正方形A'B'C'D'的边C'D'、边B'C'于点F,E.
①求△A'EF的面积;
②如图③,x轴上一点P,是否存在△PEF是等腰三角形,若存在,直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.

11. (1)$\because$ 点 $A(1,1)$, 点 $C(3,3),\therefore$ 点 $D(1,3)$, 代入反比例函
数解析式得 $k=3,\therefore$ 反比例函数解析式为 $y=\frac{3}{x}.$
(2)①平移后点 $A',B',C',D'$ 的坐标分别为 $(1,0),(3,0)$,
$(3,2),(1,2)$, 则平移后点 $E$ 的横坐标为 3, 代入反比例
函数解析式可得 $y_E=1,\therefore E(3,1)$. 同理, 平移后点 $F$ 的纵坐
标为 2, 代入反比例函数解析式可得 $x_F=\frac{3}{2}$,
$\therefore F(\frac{3}{2},2),\therefore D'F=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2},EC'=2-1=1,FC'=3-$
$\frac{3}{2}=\frac{3}{2},\therefore S_{△ A'EF}=S_{\mathrm{正方形}A'B'C'D'}-S_{△ A'B'E}-S_{△ A'D'F}-$
$S_{△ EFC'}=2×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×1×\frac{3}{2}=\frac{7}{4}.$
②存在, $P(\frac{3}{2},0)$ 或 $P(\frac{5}{4},0).$ 解析: 由①知点 $E(3,$
$1),F(\frac{3}{2},2)$, 设点 $P(m,0)$, 则 $EF^2=(3-\frac{3}{2})^2+$
$(1-2)^2=\frac{13}{4},EP^2=(m-3)^2+(0-1)^2=m^2-6m+10,PF^2=$
$(m-\frac{3}{2})^2+(0-2)^2=m^2-3m+\frac{25}{4}$. 当 $EF=EP$ 时, $m^2-6m+$
$10=\frac{13}{4}$, 解得 $m=\frac{3}{2}$ 或 $m=\frac{9}{2}$(舍去); 当 $EF=PF$ 时, $m^2-$
$3m+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$, 无解; 当 $EP=PF$ 时, $m^2-6m+10=m^2-3m+$
$\frac{25}{4}$, 解得 $m=\frac{5}{4},\therefore P(\frac{3}{2},0)$ 或 $P(\frac{5}{4},0).$