9. (2025·福建中考)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ AB'C'$,点B,C的对应点分别为$B',C'$,$B'C'$的延长线与边BC相交于点D,连接$CC'$.若$AC=4$,$CD=3$,则线段$CC'$的长为 ()

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.4
D.$\frac{16}{5}$

9. B 解析:如图,连接 AD,交 $CC'$ 于点 O,
根据旋转的性质,得到 $AC = AC' = 4$,
$∠ ACB = ∠ AC'B' = 90°$, 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AC'D$ 中,$\because \begin{cases} AC=AC', \\ AD=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ACD ≌ △ AC'D(\mathrm{HL})$,$\therefore CD = C'D = 3$,$\therefore AD$ 垂直平分 $CC'$,$AD = \sqrt{AC^2+CD^2} = 5$,$\therefore CC' = 2OC. \because S_{△ CAD} = \frac{1}{2}AD · OC = \frac{1}{2}AC · CD$, $\therefore OC = \frac{AC · CD}{AD} = \frac{12}{5}$,$\therefore CC' = 2OC = \frac{24}{5}$,故选 B.

10. (2024·南京中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是中线,将DA绕点D顺时针旋转$60°$得到DE,连接BE,则$S_{△ BDE}=$

10. $\sqrt{3}$ 解析:如图,过点 E 作 $EH ⊥ BC$ 交 BC 的延长线于点 H,$\because △ ABC$ 为等边三角形,$\therefore AB=BC=AC=4. \because AD$ 是中线,$\therefore AD ⊥ BC$,$BD=CD=2$,$\therefore$ 由勾股定理得 $AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = 2\sqrt{3}$,由旋转得 $DE = DA = 2\sqrt{3}$,$∠ ADE = 60°$,$\therefore ∠ EDC = 30°. \because EH ⊥ BC$,$\therefore EH = \frac{1}{2}DE = \sqrt{3}$,$\therefore S_{△ BDE} = \frac{1}{2}BD × EH = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

11.（绵阳中考）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC=6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN.
（1）如图①，作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH=∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；
（2）如图②，若∠ABC=30°，NC//AB，求以MC，MN为邻边的正方形的面积S.

11. (1)点 N 在直线 AB 上,理由:$\because ∠ CMH = ∠ B$, $∠ CMH+∠ C=90°$,$\therefore ∠ B+∠ C=90°$,$\therefore ∠ BMC=90°$,即 $CM ⊥ AB$,$\therefore$ 线段 $CM$ 绕点 $M$ 逆时针旋转 $90°$ 落在直线 $BA$ 上,即点 $N$ 在直线 $AB$ 上.
(2)如图,作 $CD ⊥ AB$ 于点 D,$\because MC = MN$, $∠ CMN = 90°$,$\therefore ∠ MCN=45°. \because NC // AB$,$\therefore ∠ BMC=45°. \because BC=6$,$∠ B=30°$,$\therefore CD=3$,$\therefore MC=3\sqrt{2}$,$\therefore S=MC^2=18$,即以 $MC$,$MN$ 为邻边的正方形的面积为 18.

12. (2025·兰州中考)【提出问题】数学讨论课上,小明绘制图①所示的图形,正方形ABCD与正方形BEFG(AB＞BE),点E,G分别在AB,BC上,根据图形提出问题:如图②,正方形BEFG绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°＜α＜180°),直线AE与CG相交于点H,连接BH,探究线段AH,BH,CH之间的数量关系.
【解决问题】(1)小明将上述问题特殊化,如图③,当点G,H重合时,请你写出AH,BH,CH之间的数量关系,并说明理由;
(2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后,再解决图②所示的一般化问题,当点G,H不重合时,请你写出AH,BH,CH之间的数量关系,并说明理由;
【拓展问题】(3)小明将图②所示问题中的旋转角α的范围再扩大,正方形BEFG绕点B顺时针旋转,旋转角为α(180°＜α＜360°),直线AE与CG相交于点H,连接BH,请直接写出AH,BH,CH之间的数量关系.

12. (1)$AH=CH+\sqrt{2} BH$,理由如下:当点 G,H 重合时,$\because$ 四边形 ABCD 与四边形 BEFG 都是正方形,$\therefore AB=BC$,$BE=BH$,$∠ ABC=90°$,$∠ EBH=90°$,$\therefore EH=\sqrt{2} BH$, $∠ ABE=90°-∠ EBC=∠ CBG$,$\therefore △ ABE ≌ △ CBG(\mathrm{SAS})$, $\therefore AE=CG$,$\therefore AH=AE+EH=CH+\sqrt{2} BH$.
(2)$AH=CH+\sqrt{2} BH$,理由如下:由(1)得$△ ABE ≌ △ CBG(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ 1=∠ 2$.如图①,在 AE 上截取 $AM=CH$,连接 BM,$\because ∠ 1=∠ 2$,$AB=BC$,$\therefore △ MAB ≌ △ HCB(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ 3=∠ 4$,$BM=BH. \because ∠ 5=90°-∠ 4-∠ EBC$,$∠ 6=90°-∠ 3-∠ EBC$,$\therefore ∠ 5=∠ 6$,$\therefore ∠ MBH=∠ 6+∠ EBC+∠ 4=∠ 5+∠ EBC+∠ 4=∠ EBG=90°$,$\therefore △ MBH$ 是等腰直角三角形,$\therefore MH=\sqrt{2} BH. \because AH=AM+MH$,$\therefore AH=CH+\sqrt{2} BH$.
(3)$CH=AH+\sqrt{2} BH$. 解析:如图②,由(1)得$△ ABE ≌ △ CBG(\mathrm{SAS})$,$\therefore AE=CG$,$∠ 1=∠ 2$.在 CG 上截取 $CM=AH$,连接 BM,$\because ∠ 1=∠ 2$,$BC=AB$,$\therefore △ ABH ≌ △ CBM(\mathrm{SAS})$,$\therefore BH=BM$,$∠ 3=∠ 4$.同理,$△ MBH$ 是等腰直角三角形,$\therefore MH=\sqrt{2} BH. \because CH=CM+MH$,$\therefore CH=AH+\sqrt{2} BH$.