1. (海南中考)如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B的坐标为$(6,0)$,将$△ ABO$绕着点B顺时针旋转$60°$,得到$△ DBC$,则点C的坐标是 ()

A.$(3\sqrt{3},3)$
B.$(3,3\sqrt{3})$
C.$(6,3)$
D.$(3,6)$

1. B 解析:作 $CM ⊥ x$ 轴于点 $M,∵$ 点 $B$ 的坐标为 $(6,0)$,
$∴ BC=OB=6. ∵ ∠OBC = 60°, ∴ BM = \frac{1}{2} BC = 3, CM = \frac{\sqrt{3}}{2}BC=3\sqrt{3},∴ OM=OB-BM=6-3=3,∴ C(3,3\sqrt{3}).$

2.（通辽中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点$P(0,1)$，点$A(4,1)$，以点$P$为中心，把点$A$按逆时针方向旋转$60°$得到点$B$，在$M_1(-1,-\sqrt{3})$，$M_2(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$，$M_3(1,\sqrt{3}-1)$，$M_4(2,2\sqrt{3})$四个点中，直线$PB$经过的点是（）

A.$M_1$
B.$M_2$
C.$M_3$
D.$M_4$

2. B 解析:
∵ 点 $A(4,1)$ ,点 $P(0,1),∴ PA ⊥ y$ 轴, $PA=4$,由旋转得 $∠APB=60°,AP=PB=4$,如图,过点 $B$ 作 $BC ⊥ y$ 轴于点 $C,∴ ∠BPC=30°,∴ BC=2,PC=2\sqrt{3},∴ B(2,1+2\sqrt{3}).$设直线 $PB$ 的函数解析式为 $y=kx+b$,则$\begin{cases}2k+b=1+2\sqrt{3},\\b=1,\end{cases} ∴ \begin{cases}k=\sqrt{3},\\b=1,\end{cases}$
$∴$ 直线 $PB$ 的解析式为 $y=\sqrt{3}x+1.$ 当 $x=-1$ 时,$y=-\sqrt{3}+1$,
$∴$ 点$M_1(-1,-\sqrt{3})$不在直线 $PB$ 上;当 $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时,$y=\sqrt{3} × (-\frac{\sqrt{3}}{3})+1=0,∴ M_2 (-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$在直线 $PB$ 上;当 $x=1$ 时,$y=\sqrt{3}+1,∴ M_3(1,\sqrt{3}-1)$不在直线 $PB$ 上;当 $x=2$ 时,$y=2\sqrt{3}+1$,
$∴ M_4(2,2\sqrt{3})$不在直线 $PB$ 上.

3. (内蒙古中考)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(8,4),连接OB,将OB绕点O逆时针旋转90°,得到OB',则点B'的坐标为.

3. (-4,8) 解析:如图,分别过点 $B,B'$ 向 $x$ 轴作垂线,垂足分别为点 $M, N. ∵ ∠BOB' = 90°, ∴ ∠BOM + ∠B'ON= 90°.$
又
∵ $∠BOM+∠OBM=90°,∴ ∠B'ON=∠OBM.$在 $Rt△ OMB$ 和 $Rt△B'NO$ 中, $∠OMB=∠B'NO,∠OBM=∠B'ON,OB=B'O$,
$∴ Rt△ OMB≌Rt△B'NO(AAS),∴ B'N=OM=8,ON=BM=4,∴$ 点 $B'$ 的坐标为 $(-4,8).$

4. 原创题 按下列要求作图：
(1)如图①,把点P绕点O顺时针旋转$45°$；
(2)如图②,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转$90°$；
(3)如图③,以AC的中点O为中心,把$△ ABC$顺时针旋转$120°$；
(4)如图④,$△ A'B'C'$是将$△ ABC$绕点O旋转得到的,点$A'$,$B'$的对应点分别是点A,B,作出旋转中心O及$△ ABC$.

4. (1)(2)(3)(4)分别如图①②③④所示.

5. 如图,矩形 OABC 在平面直角坐标系中,矩形各顶点坐标分别为 $O(0,0),A(0,6),B(8,6),C(8,0)$.点 $D(0,3)$ 在 $OA$ 上,点 $E(4,0)$ 在 $OC$ 上,连接 $DE$,将 $△ DOE$ 绕点 $O$ 逆时针旋转,旋转角为 $α(0°＜α＜360°)$,得到 $△ D'OE'$,连接 $AD'$,当 $∠ AD'O=90°$时.
(1)旋转角 $α$ 等于 ______ 度;
(2)求点 $D',E'$ 的坐标.

5. (1)60或300 解析:如图①,连接 $DD'.$ 当 $∠AD'O=90°$时,
$DD'=AD=DO=\frac{1}{2}AO=3.∵ DO=D'O=3,∴ DO=D'O=DD'$,
$∴ ∠DOD'=60°,∴ α=60°.$

如图②,连接 $DD''.$ 当 $∠AD''O=90°$时, $DD''=AD=DO=\frac{1}{2}AO=3.∵ DO=D''O=3,∴ DO=D''O=DD'',∴ ∠DOD''=60°$,
$∴ α=300°.$
综上,旋转角 $α$ 为 $60°$或 $300°.$
(2)如图③,当旋转 $60°$时,作 $D'F ⊥ x$ 轴于点 $F,E'H ⊥ x$ 轴于点 $H,∵ ∠AD'O=90°,OA=6,OD'=3,∴ ∠D'AO=30°$,
$∴ ∠D'OF=30°,∠E'OH=60°.∵ OD'=OD=3,OE'=OE=4$,
$∴ D'F=\frac{3}{2},FO=\frac{3\sqrt{3}}{2},OH=2,E'H=2\sqrt{3},∴ D' (-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}),E'(2,2\sqrt{3}).$

如图④,当旋转 $300°$时,比较图③与图④,$D'$与 $D''$关于 $y$ 轴对称,$E'$与 $E''$关于 $x$ 轴对称,进而得出 $D'' (\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$,$E''(2,-2\sqrt{3}).$综上所述,$D' (-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}),E'(2,2\sqrt{3})$ 或 $D' (\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}),E'(2,-2\sqrt{3}).$