登录
1 通过观察平面图形,你能肯定的是 (
A.图形中线段是否相等
B.图形中线段是否平行
C.图形中线段是否相交
D.图形中线段是否垂直
C
)A.图形中线段是否相等
B.图形中线段是否平行
C.图形中线段是否相交
D.图形中线段是否垂直
答案
1. C
解析
【分析】
拿到这道题首先明确题干要求：找到仅通过观察就能100%确定的结论。解题时先回忆直观观察的局限性：涉及长度、角度、平行等需要量化或严格判定的结论，观察易产生视觉误差，无法保证准确；只有不需要量化的直观位置关系，才能通过观察直接肯定。接下来逐个分析四个选项的结论是否符合“仅观察即可确定”的要求即可。
【解析】
我们知道仅通过观察得到的结论不一定完全准确，存在视觉误差，逐个分析选项：
A. 判断线段是否相等需要测量长度验证，仅观察可能把长度相近的线段误认为相等，无法肯定，故A错误；
B. 判断线段是否平行需要用平行判定方法验证，仅观察可能把接近平行的线段误认为平行，延长后可能相交，无法肯定，故B错误；
C. 判断线段是否相交只需看两条线段是否有公共交点，属于直观的位置关系，观察可直接确定，不会出错，能够肯定，故C正确；
D. 判断线段是否垂直需要验证夹角是否为90°，仅观察可能把接近直角的夹角误认为直角，无法肯定，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 观察的局限性
2. 证明的必要性
【点评】
这道题考查对直观观察可靠性的理解，要明确区分可直接通过观察确定的结论和需要测量、推理验证的结论，牢记“证明”的必要性，不能仅凭直观感觉下结论。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先明确题干要求：找到仅通过观察就能100%确定的结论。解题时先回忆直观观察的局限性：涉及长度、角度、平行等需要量化或严格判定的结论，观察易产生视觉误差，无法保证准确；只有不需要量化的直观位置关系，才能通过观察直接肯定。接下来逐个分析四个选项的结论是否符合“仅观察即可确定”的要求即可。
【解析】
我们知道仅通过观察得到的结论不一定完全准确，存在视觉误差，逐个分析选项：
A. 判断线段是否相等需要测量长度验证，仅观察可能把长度相近的线段误认为相等，无法肯定，故A错误；
B. 判断线段是否平行需要用平行判定方法验证，仅观察可能把接近平行的线段误认为平行，延长后可能相交，无法肯定，故B错误；
C. 判断线段是否相交只需看两条线段是否有公共交点，属于直观的位置关系，观察可直接确定，不会出错，能够肯定，故C正确；
D. 判断线段是否垂直需要验证夹角是否为90°，仅观察可能把接近直角的夹角误认为直角，无法肯定，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 观察的局限性
2. 证明的必要性
【点评】
这道题考查对直观观察可靠性的理解，要明确区分可直接通过观察确定的结论和需要测量、推理验证的结论，牢记“证明”的必要性，不能仅凭直观感觉下结论。
【难度系数】
0.8
2 先观察，再验证：
（1）如图①所示的实线是直的还是弯曲的？
（2）如图②所示的两条线段a，b哪一条更长？
（3）如图③所示的射线AB与射线CD平行吗？
（1）如图①所示的实线是直的还是弯曲的？
（2）如图②所示的两条线段a，b哪一条更长？
（3）如图③所示的射线AB与射线CD平行吗？
答案
2. 观察可能得出的结论(合理即可):(1)实线是弯曲的
(2)线段a更长一些 (3)射线AB与射线CD不平行 用科学的方法验证可发现:(1)实线是直的 (2)线段a与b一样长
(3)射线AB与射线CD平行
(2)线段a更长一些 (3)射线AB与射线CD不平行 用科学的方法验证可发现:(1)实线是直的 (2)线段a与b一样长
(3)射线AB与射线CD平行
解析
【分析】
这道题主要引导我们区分“直观观察”和“严谨验证”的差异，我们的视觉容易受周边图形的干扰产生错觉，所以不能仅凭观察下结论，需要借助工具科学验证：
1. 判断线段是否为直线：可以用直尺的边缘对齐待验证的实线，看是否完全重合；
2. 判断线段长短：用刻度尺分别测量两条线段的长度，比较数值即可；
3. 判断射线是否平行：可以用三角板平移法，或者测量两条射线间的垂线段长度是否处处相等，结合平行线的判定规则验证。
【解析】
（1）观察时受周围同心圆虚线的干扰，视觉上会觉得实线是弯曲的；取一把直尺，将直尺边缘与图中的实线对齐，可发现实线与直尺边缘完全重合，说明实线是直的。
（2）观察时受两条线段摆放角度的影响，视觉上会觉得线段a更长；用刻度尺分别测量线段a、b的长度，测量后发现二者的长度数值相等，说明线段a和b一样长。
（3）观察时受射线旁锯齿状线条的干扰，视觉上会觉得射线AB与CD不平行；用三角板平移法：将三角板的一条直角边与射线AB重合，直尺靠紧三角板的另一条直角边，平移三角板，发现三角板的直角边能与射线CD完全重合，说明射线AB与CD平行。
【答案】
观察可能得出的结论(合理即可):(1)实线是弯曲的；(2)线段a更长一些；(3)射线AB与射线CD不平行。
用科学的方法验证可发现:(1)实线是直的；(2)线段a与b一样长；(3)射线AB与射线CD平行。
【知识点】
1. 观察的局限性
2. 线段长度测量
3. 平行线判定
【点评】
本题通过三个典型的视觉错觉案例，让我们直观感受到仅依靠观察得到的结论不一定可靠，体会到严谨验证、证明的重要性，帮助我们建立“结论需要验证”的理性思维。
【难度系数】
0.9
这道题主要引导我们区分“直观观察”和“严谨验证”的差异，我们的视觉容易受周边图形的干扰产生错觉，所以不能仅凭观察下结论，需要借助工具科学验证：
1. 判断线段是否为直线：可以用直尺的边缘对齐待验证的实线，看是否完全重合；
2. 判断线段长短：用刻度尺分别测量两条线段的长度，比较数值即可；
3. 判断射线是否平行：可以用三角板平移法，或者测量两条射线间的垂线段长度是否处处相等，结合平行线的判定规则验证。
【解析】
（1）观察时受周围同心圆虚线的干扰，视觉上会觉得实线是弯曲的；取一把直尺，将直尺边缘与图中的实线对齐，可发现实线与直尺边缘完全重合，说明实线是直的。
（2）观察时受两条线段摆放角度的影响，视觉上会觉得线段a更长；用刻度尺分别测量线段a、b的长度，测量后发现二者的长度数值相等，说明线段a和b一样长。
（3）观察时受射线旁锯齿状线条的干扰，视觉上会觉得射线AB与CD不平行；用三角板平移法：将三角板的一条直角边与射线AB重合，直尺靠紧三角板的另一条直角边，平移三角板，发现三角板的直角边能与射线CD完全重合，说明射线AB与CD平行。
【答案】
观察可能得出的结论(合理即可):(1)实线是弯曲的；(2)线段a更长一些；(3)射线AB与射线CD不平行。
用科学的方法验证可发现:(1)实线是直的；(2)线段a与b一样长；(3)射线AB与射线CD平行。
【知识点】
1. 观察的局限性
2. 线段长度测量
3. 平行线判定
【点评】
本题通过三个典型的视觉错觉案例，让我们直观感受到仅依靠观察得到的结论不一定可靠，体会到严谨验证、证明的重要性，帮助我们建立“结论需要验证”的理性思维。
【难度系数】
0.9
3 下列推理正确的是 （
A.弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B.如果 $a ＞ b, b ＞ c$，那么 $a ＞ c$
C.∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
B
）A.弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B.如果 $a ＞ b, b ＞ c$，那么 $a ＞ c$
C.∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
答案
3. B
解析
【分析】
这道题考查推理正确性的判断，解题时需逐一分析每个选项的推理过程是否符合数学规律、是否具备严谨依据：先结合年龄差的特点、不等式的性质、角相等的判定规则、对顶角的性质及逆命题的正误，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：哥哥和弟弟的年龄差是固定不变的，弟弟明年长1岁，哥哥明年也会长1岁，年龄差始终为6岁，因此该推理错误。
B选项：根据不等式的传递性，若$a＞b$，$b＞c$，那么$a＞c$，该推理有严谨的数学依据，是正确的。
C选项：判断两个角是否相等需要通过严格度量或者几何证明，不能仅凭借“看起来大小差不多”判定，因此该推理错误。
D选项：“对顶角相等”是正确的几何性质，但它的逆命题“相等的角必是对顶角”不成立，例如平行线被截得到的同位角也相等，但同位角不是对顶角，因此该推理错误。
综上，推理正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
不等式的传递性、对顶角的性质、推理的严谨性
【点评】
本题重点考查推理的合理性，需要结合已掌握的数学性质判断推理是否成立，要注意很多数学性质的逆命题不一定正确，不能随意逆用性质。
【难度系数】
0.9
这道题考查推理正确性的判断，解题时需逐一分析每个选项的推理过程是否符合数学规律、是否具备严谨依据：先结合年龄差的特点、不等式的性质、角相等的判定规则、对顶角的性质及逆命题的正误，逐一排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：哥哥和弟弟的年龄差是固定不变的，弟弟明年长1岁，哥哥明年也会长1岁，年龄差始终为6岁，因此该推理错误。
B选项：根据不等式的传递性，若$a＞b$，$b＞c$，那么$a＞c$，该推理有严谨的数学依据，是正确的。
C选项：判断两个角是否相等需要通过严格度量或者几何证明，不能仅凭借“看起来大小差不多”判定，因此该推理错误。
D选项：“对顶角相等”是正确的几何性质，但它的逆命题“相等的角必是对顶角”不成立，例如平行线被截得到的同位角也相等，但同位角不是对顶角，因此该推理错误。
综上，推理正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
不等式的传递性、对顶角的性质、推理的严谨性
【点评】
本题重点考查推理的合理性，需要结合已掌握的数学性质判断推理是否成立，要注意很多数学性质的逆命题不一定正确，不能随意逆用性质。
【难度系数】
0.9
4 若$n$是自然数，则$2n+5$是________，$2n+8$是________（填“奇数”或“偶数”）。
答案
4. 奇数 偶数
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆奇数和偶数的定义及运算性质。首先，自然数中能被2整除的数是偶数，2乘任意自然数的结果都含有因数2，因此2n一定是偶数。接下来根据奇偶性加减运算规律：偶数加奇数结果为奇数，偶数加偶数结果为偶数，分别判断两个式子的奇偶性即可，也可代入具体自然数举例验证结论。
【解析】
解：已知n为自然数，步骤如下：
1. 判断2n的奇偶性：2n含有因数2，能被2整除，因此2n是偶数。
2. 判断2n+5的奇偶性：5是奇数，根据奇偶运算性质“偶数+奇数=奇数”，可得2n+5=偶数+奇数=奇数。
3. 判断2n+8的奇偶性：8是偶数，根据奇偶运算性质“偶数+偶数=偶数”，可得2n+8=偶数+偶数=偶数。
可代入举例验证：如n=0时，2n+5=5（奇数），2n+8=8（偶数）；n=1时，2n+5=7（奇数），2n+8=10（偶数），结论均成立。
【答案】
奇数；偶数
【知识点】
1. 奇数与偶数的定义
2. 奇偶性运算规律
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对奇偶性基本运算规则的理解与应用，解题时也可通过举例法快速验证结果，思考门槛低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆奇数和偶数的定义及运算性质。首先，自然数中能被2整除的数是偶数，2乘任意自然数的结果都含有因数2，因此2n一定是偶数。接下来根据奇偶性加减运算规律：偶数加奇数结果为奇数，偶数加偶数结果为偶数，分别判断两个式子的奇偶性即可，也可代入具体自然数举例验证结论。
【解析】
解：已知n为自然数，步骤如下：
1. 判断2n的奇偶性：2n含有因数2，能被2整除，因此2n是偶数。
2. 判断2n+5的奇偶性：5是奇数，根据奇偶运算性质“偶数+奇数=奇数”，可得2n+5=偶数+奇数=奇数。
3. 判断2n+8的奇偶性：8是偶数，根据奇偶运算性质“偶数+偶数=偶数”，可得2n+8=偶数+偶数=偶数。
可代入举例验证：如n=0时，2n+5=5（奇数），2n+8=8（偶数）；n=1时，2n+5=7（奇数），2n+8=10（偶数），结论均成立。
【答案】
奇数；偶数
【知识点】
1. 奇数与偶数的定义
2. 奇偶性运算规律
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对奇偶性基本运算规则的理解与应用，解题时也可通过举例法快速验证结果，思考门槛低。
【难度系数】
0.9
5 当$n=0,1,2,3,4,5$时，代数式$n^2 - 3n +7$的值是质数还是合数？对于所有自然数$n$，代数式$n^2 -3n +7$的值是否都是质数？
答案
5. 当$n=0,1,2,3,4,5$时,$n^2-3n+7$的值分别为7,5,5,7,11,17,都是质数 当$n=6$时,$n^2-3n+7$的值为25,是合数.所以对于所有自然数$n$,代数式$n^2-3n+7$的值不都是质数
解析
【分析】
解题分为两个部分：第一部分先将n=0、1、2、3、4、5分别代入代数式计算出结果，再结合质数（仅1和它本身两个正因数的大于1的自然数）、合数（除了1和它本身还有其他正因数的大于1的自然数）的定义判断每个结果的类型；第二部分要判断“对所有自然数n，代数式的值都是质数”是否成立，根据证明的逻辑，推翻一个全称结论只需找到一个反例即可，因此尝试代入更大的自然数计算，验证是否存在结果为合数的情况。
【解析】
1. 计算n=0到5时代数式的值并判断：
当$n=0$时，$n^2 - 3n +7 = 0^2 - 3×0 +7 =7$，7的正因数只有1和7，是质数；
当$n=1$时，$n^2 - 3n +7 = 1^2 - 3×1 +7 =5$，5的正因数只有1和5，是质数；
当$n=2$时，$n^2 - 3n +7 = 2^2 - 3×2 +7 =5$，是质数；
当$n=3$时，$n^2 - 3n +7 = 3^2 - 3×3 +7 =7$，是质数；
当$n=4$时，$n^2 - 3n +7 = 4^2 - 3×4 +7 =11$，11的正因数只有1和11，是质数；
当$n=5$时，$n^2 - 3n +7 = 5^2 - 3×5 +7 =17$，17的正因数只有1和17，是质数。
2. 判断对所有自然数n是否都成立：
代入$n=6$计算，$n^2 - 3n +7 = 6^2 - 3×6 +7 =25$，25的正因数有1、5、25，属于合数，说明存在自然数n使得代数式的值为合数，因此原全称结论不成立。
【答案】
当$n=0,1,2,3,4,5$时,$n^2-3n+7$的值分别为7,5,5,7,11,17,都是质数；当$n=6$时,$n^2-3n+7$的值为25,是合数.所以对于所有自然数$n$,代数式$n^2-3n+7$的值不都是质数
【知识点】
代数式求值；质数与合数；证明的必要性
【点评】
本题重点考查对证明必要性的理解，明确仅通过有限个特殊案例归纳出的一般性结论不一定正确，验证全称命题成立需要严谨推导，而推翻全称命题只需找到一个反例即可，同时巩固了代数式代入计算、质数合数判别的基础能力。
【难度系数】
0.8
解题分为两个部分：第一部分先将n=0、1、2、3、4、5分别代入代数式计算出结果，再结合质数（仅1和它本身两个正因数的大于1的自然数）、合数（除了1和它本身还有其他正因数的大于1的自然数）的定义判断每个结果的类型；第二部分要判断“对所有自然数n，代数式的值都是质数”是否成立，根据证明的逻辑，推翻一个全称结论只需找到一个反例即可，因此尝试代入更大的自然数计算，验证是否存在结果为合数的情况。
【解析】
1. 计算n=0到5时代数式的值并判断：
当$n=0$时，$n^2 - 3n +7 = 0^2 - 3×0 +7 =7$，7的正因数只有1和7，是质数；
当$n=1$时，$n^2 - 3n +7 = 1^2 - 3×1 +7 =5$，5的正因数只有1和5，是质数；
当$n=2$时，$n^2 - 3n +7 = 2^2 - 3×2 +7 =5$，是质数；
当$n=3$时，$n^2 - 3n +7 = 3^2 - 3×3 +7 =7$，是质数；
当$n=4$时，$n^2 - 3n +7 = 4^2 - 3×4 +7 =11$，11的正因数只有1和11，是质数；
当$n=5$时，$n^2 - 3n +7 = 5^2 - 3×5 +7 =17$，17的正因数只有1和17，是质数。
2. 判断对所有自然数n是否都成立：
代入$n=6$计算，$n^2 - 3n +7 = 6^2 - 3×6 +7 =25$，25的正因数有1、5、25，属于合数，说明存在自然数n使得代数式的值为合数，因此原全称结论不成立。
【答案】
当$n=0,1,2,3,4,5$时,$n^2-3n+7$的值分别为7,5,5,7,11,17,都是质数；当$n=6$时,$n^2-3n+7$的值为25,是合数.所以对于所有自然数$n$,代数式$n^2-3n+7$的值不都是质数
【知识点】
代数式求值；质数与合数；证明的必要性
【点评】
本题重点考查对证明必要性的理解，明确仅通过有限个特殊案例归纳出的一般性结论不一定正确，验证全称命题成立需要严谨推导，而推翻全称命题只需找到一个反例即可，同时巩固了代数式代入计算、质数合数判别的基础能力。
【难度系数】
0.8
6 某旅行团在一城游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“要游览甲，就得去乙；乙、丙只能去一个；丙、丁要么都去，要么都不去。”根据导游的说法，该旅行团可能游览的景点是(
A.甲、丙
B.甲、丁
C.乙、丁
D.丙、丁
D
)A.甲、丙
B.甲、丁
C.乙、丁
D.丙、丁
答案
6. D
解析
【分析】
这是一道逻辑推理类选择题，解题可以采用代入排除法：先明确导游提出的3个游览要求，再把每个选项依次代入要求中验证，只要不符合任意一个要求就排除该选项，全部符合要求的就是正确答案。
【解析】
首先整理导游的3条游览规则：
① 若去甲景点，就必须去乙景点（有甲就一定有乙）；
② 乙、丙两个景点只能去1个，不能都去也不能都不去；
③ 丙、丁两个景点游览情况一致，要么都去，要么都不去。
逐一验证选项：
A选项（甲、丙）：包含甲但没有乙，不符合规则①，排除；
B选项（甲、丁）：包含甲但没有乙，不符合规则①，排除；
C选项（乙、丁）：丁去了，根据规则③丙也必须去，但选项里没有丙，不符合规则③，排除；
D选项（丙、丁）：没有去甲，不涉及规则①的限制；丙去了、乙没去，符合规则②“乙丙只去1个”的要求；丙、丁都去，符合规则③的要求，全部规则都满足。
【答案】
D
【知识点】
逻辑推理，代入排除法
【点评】
本题考查基础逻辑分析能力，解题核心是先准确读懂题干给出的所有限制条件，再用代入排除法逐一验证选项，能大幅提升解题效率，是选择题常用的解题技巧之一。
【难度系数】
0.7
这是一道逻辑推理类选择题，解题可以采用代入排除法：先明确导游提出的3个游览要求，再把每个选项依次代入要求中验证，只要不符合任意一个要求就排除该选项，全部符合要求的就是正确答案。
【解析】
首先整理导游的3条游览规则：
① 若去甲景点，就必须去乙景点（有甲就一定有乙）；
② 乙、丙两个景点只能去1个，不能都去也不能都不去；
③ 丙、丁两个景点游览情况一致，要么都去，要么都不去。
逐一验证选项：
A选项（甲、丙）：包含甲但没有乙，不符合规则①，排除；
B选项（甲、丁）：包含甲但没有乙，不符合规则①，排除；
C选项（乙、丁）：丁去了，根据规则③丙也必须去，但选项里没有丙，不符合规则③，排除；
D选项（丙、丁）：没有去甲，不涉及规则①的限制；丙去了、乙没去，符合规则②“乙丙只去1个”的要求；丙、丁都去，符合规则③的要求，全部规则都满足。
【答案】
D
【知识点】
逻辑推理，代入排除法
【点评】
本题考查基础逻辑分析能力，解题核心是先准确读懂题干给出的所有限制条件，再用代入排除法逐一验证选项，能大幅提升解题效率，是选择题常用的解题技巧之一。
【难度系数】
0.7
7 甲、乙、丙三名同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的。”乙说：“不是我打破的。”丙说：“甲说谎。”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是
乙
打破的。答案
7. 乙
解析
【分析】
本题属于逻辑推理类问题，核心已知条件是三人中仅有一人说了真话，解题可采用假设法：依次假设甲、乙、丙的陈述为真，推导其余两人的陈述是否符合“仅一人真话”的要求，出现矛盾的假设不成立，无矛盾的假设即为正确情况，进而判断出是谁打破玻璃。
【解析】
我们采用假设法逐一验证：
1. 假设甲说的是真话，即玻璃是丙打破的。此时乙说“不是我打破的”也为真话，出现两人说真话，与“只有一人说了真话”矛盾，因此甲说的是假话，玻璃不是丙打破的。
2. 假设乙说的是真话，即玻璃不是乙打破的。结合第一步结论“不是丙打破的”，可知玻璃是甲打破的，此时丙说“甲说谎”也为真话，出现两人说真话，与条件矛盾，因此乙说的是假话。
3. 假设丙说的是真话，即甲确实说谎，符合第一步“甲说假话”的结论。此时仅丙一人说真话，因此乙的陈述为假，乙说“不是我打破的”是假话，即玻璃是乙打破的，该情况无矛盾，符合要求。
【答案】
乙
【知识点】
逻辑推理，假设法验证
【点评】
本题侧重考查逻辑分析能力，解题时紧扣“只有一人说真话”的限制条件，通过逐一枚举假设、排除矛盾情况即可快速得到答案，是逻辑推理的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题属于逻辑推理类问题，核心已知条件是三人中仅有一人说了真话，解题可采用假设法：依次假设甲、乙、丙的陈述为真，推导其余两人的陈述是否符合“仅一人真话”的要求，出现矛盾的假设不成立，无矛盾的假设即为正确情况，进而判断出是谁打破玻璃。
【解析】
我们采用假设法逐一验证：
1. 假设甲说的是真话，即玻璃是丙打破的。此时乙说“不是我打破的”也为真话，出现两人说真话，与“只有一人说了真话”矛盾，因此甲说的是假话，玻璃不是丙打破的。
2. 假设乙说的是真话，即玻璃不是乙打破的。结合第一步结论“不是丙打破的”，可知玻璃是甲打破的，此时丙说“甲说谎”也为真话，出现两人说真话，与条件矛盾，因此乙说的是假话。
3. 假设丙说的是真话，即甲确实说谎，符合第一步“甲说假话”的结论。此时仅丙一人说真话，因此乙的陈述为假，乙说“不是我打破的”是假话，即玻璃是乙打破的，该情况无矛盾，符合要求。
【答案】
乙
【知识点】
逻辑推理，假设法验证
【点评】
本题侧重考查逻辑分析能力，解题时紧扣“只有一人说真话”的限制条件，通过逐一枚举假设、排除矛盾情况即可快速得到答案，是逻辑推理的基础题型。
【难度系数】
0.7
8 如图所示为两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个大小相同的小圆，另一个大圆内有2个大小相同的小圆，你认为一个大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和相比，哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想。
答案
8. 它们的周长之和一样大 设原来大圆的半径为R,则一个大圆内的10个小圆的周长之和为 $10×2π×\frac{R}{10}=2πR$,另一个大圆内的2个小圆的周长之和为 $2×2π×\frac{R}{2}=2πR$,所以一个大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和一样大
解析
【分析】
要比较两组小圆的周长之和的大小，首先可以设大圆的半径为参数，结合图形找到每组小圆的半径与大圆半径的关系，再利用圆的周长公式分别计算两组小圆的周长之和，最后对比两个计算结果即可得出结论。
【解析】
解：设两个大小相同的大圆的半径均为$R$。
观察左图：10个大小相同的小圆的直径之和等于大圆的直径，因此每个小圆的半径为$\frac{R}{10}$。
10个小圆的周长之和为：$10× 2π × \frac{R}{10}=2π R$。
观察右图：2个大小相同的小圆的直径之和等于大圆的直径，因此每个小圆的半径为$\frac{R}{2}$。
2个小圆的周长之和为：$2× 2π × \frac{R}{2}=2π R$。
因为$2π R=2π R$，所以两个大圆内的小圆周长之和相等。
【答案】
一个大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和一样大
【知识点】
圆的周长计算，代数式化简运算
【点评】
本题打破了“小圆数量越多周长和越大”的直觉误区，需要通过严谨的代数推导验证结论，解题核心是抓住小圆直径和等于大圆直径这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
要比较两组小圆的周长之和的大小，首先可以设大圆的半径为参数，结合图形找到每组小圆的半径与大圆半径的关系，再利用圆的周长公式分别计算两组小圆的周长之和，最后对比两个计算结果即可得出结论。
【解析】
解：设两个大小相同的大圆的半径均为$R$。
观察左图：10个大小相同的小圆的直径之和等于大圆的直径，因此每个小圆的半径为$\frac{R}{10}$。
10个小圆的周长之和为：$10× 2π × \frac{R}{10}=2π R$。
观察右图：2个大小相同的小圆的直径之和等于大圆的直径，因此每个小圆的半径为$\frac{R}{2}$。
2个小圆的周长之和为：$2× 2π × \frac{R}{2}=2π R$。
因为$2π R=2π R$，所以两个大圆内的小圆周长之和相等。
【答案】
一个大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和一样大
【知识点】
圆的周长计算，代数式化简运算
【点评】
本题打破了“小圆数量越多周长和越大”的直觉误区，需要通过严谨的代数推导验证结论，解题核心是抓住小圆直径和等于大圆直径这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
