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7.某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.设厂家批发单价是x元/件，下列说法错误是 （
A.销售量可以表示为 $70000 - 5000x$
B.销售额可以表示为 $13×(70000 - 5000x)$
C.所获利润可以表示为 $-5000(x - 12)^2 + 20000$
D.当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元
B
）A.销售量可以表示为 $70000 - 5000x$
B.销售额可以表示为 $13×(70000 - 5000x)$
C.所获利润可以表示为 $-5000(x - 12)^2 + 20000$
D.当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元
答案
7.B
解析
【分析】
本题是销售利润类的二次函数应用题，解题思路如下：首先根据“单价下降幅度对应销量增加幅度”的关系推导销售量的表达式，再结合“销售额=单价×销售量”“利润=单件利润×销售量”的公式分别推导销售额、利润的表达式，再将利润表达式配方得到最值情况，逐一验证四个选项，找出错误选项即可。
【解析】
我们逐步推导各量的表达式：
1. 推导销售量：
已知原单价13元时销量5000件，单价降到x元时，降价了$(13-x)$元，每降价0.1元多售500件，因此增加的销量为$\frac{13-x}{0.1} × 500 = 5000(13-x)$件。
总销售量$=5000 + 5000(13-x) = 70000 - 5000x$，故A选项正确，不符合题意。
2. 推导销售额：
销售额=批发单价×销售量，即$S = x(70000 - 5000x)$，B选项中误将单价写为13元，表达式错误，符合题意。
3. 推导利润表达式及最值：
单件利润为$(x-10)$元，总利润$y = (x-10)(70000 - 5000x)$，展开并配方：
$\begin{aligned}y&=-5000x^2 + 120000x - 700000\\&=-5000(x^2 -24x +140)\\&=-5000[(x-12)^2 -4]\\&=-5000(x-12)^2 + 20000\end{aligned}$
因此C选项正确，不符合题意；
因为二次项系数$-5000＜0$，函数图象开口向下，当$x=12$时，$y$取最大值20000元，故D选项正确，不符合题意。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
销售利润问题；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题核心是理清销售问题中单价、销量、销售额、利润之间的对应关系，要注意结合题目给出的变量（批发单价x）列式，不要混淆原单价和实际批发单价，同时掌握用配方法求二次函数最值的方法，是利润类应用题的基础考查题型。
【难度系数】
0.65
本题是销售利润类的二次函数应用题，解题思路如下：首先根据“单价下降幅度对应销量增加幅度”的关系推导销售量的表达式，再结合“销售额=单价×销售量”“利润=单件利润×销售量”的公式分别推导销售额、利润的表达式，再将利润表达式配方得到最值情况，逐一验证四个选项，找出错误选项即可。
【解析】
我们逐步推导各量的表达式：
1. 推导销售量：
已知原单价13元时销量5000件，单价降到x元时，降价了$(13-x)$元，每降价0.1元多售500件，因此增加的销量为$\frac{13-x}{0.1} × 500 = 5000(13-x)$件。
总销售量$=5000 + 5000(13-x) = 70000 - 5000x$，故A选项正确，不符合题意。
2. 推导销售额：
销售额=批发单价×销售量，即$S = x(70000 - 5000x)$，B选项中误将单价写为13元，表达式错误，符合题意。
3. 推导利润表达式及最值：
单件利润为$(x-10)$元，总利润$y = (x-10)(70000 - 5000x)$，展开并配方：
$\begin{aligned}y&=-5000x^2 + 120000x - 700000\\&=-5000(x^2 -24x +140)\\&=-5000[(x-12)^2 -4]\\&=-5000(x-12)^2 + 20000\end{aligned}$
因此C选项正确，不符合题意；
因为二次项系数$-5000＜0$，函数图象开口向下，当$x=12$时，$y$取最大值20000元，故D选项正确，不符合题意。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
销售利润问题；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题核心是理清销售问题中单价、销量、销售额、利润之间的对应关系，要注意结合题目给出的变量（批发单价x）列式，不要混淆原单价和实际批发单价，同时掌握用配方法求二次函数最值的方法，是利润类应用题的基础考查题型。
【难度系数】
0.65
8.某商店购进一批单价为50元的日用商品，
如果以单价每个60元销售时，每周能卖出
120个，若这种商品零售价每涨价1元，周
销售量就减少3个，但物价部门规定，单个
利润不能超过成本价的30%，则每周获得
的最大利润为
如果以单价每个60元销售时，每周能卖出
120个，若这种商品零售价每涨价1元，周
销售量就减少3个，但物价部门规定，单个
利润不能超过成本价的30%，则每周获得
的最大利润为
1 575
元。答案
8.1 575
解析
【分析】
解决本题首先要明确销售利润的基本等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。我们可以先设商品涨价x元，用含x的式子分别表示出单个利润和周销售量，进而得到利润关于x的二次函数表达式；再结合“单个利润不能超过成本价30%”的限制条件求出自变量x的取值范围；最后结合二次函数的增减性，在取值范围内求出最大利润即可。
【解析】
设每个商品涨价x元，每周获得的利润为y元。
1. 表示相关量：
单个商品利润为：$(60 + x - 50) = (10 + x)$元
周销售量为：$(120 - 3x)$个
2. 列利润函数：
$y = (10 + x)(120 - 3x)$
整理得：$y = -3x^2 + 90x + 1200$
3. 求自变量x的取值范围：
根据规定，单个利润不能超过成本的30%，则：
$10 + x ≤ 50 × 30\%$
解得：$x ≤ 5$
同时销售量不能为负，$120 - 3x ≥ 0$，解得$x ≤ 40$，结合实际涨价$x≥0$，所以x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 5$。
4. 求最大利润：
二次函数$y = -3x^2 + 90x + 1200$中，$a=-3＜0$，开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{90}{2×(-3)} = 15$。
在$x ≤15$时，y随x的增大而增大，因此在取值范围$0 ≤x ≤5$内，x取最大值5时，y取得最大值。
将x=5代入函数：
$y = (10+5)×(120 - 3×5) = 15×105 = 1575$
【答案】
1575
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值，取值范围确定
【点评】
本题是典型的销售利润最值问题，解题的易错点是容易忽略题目中的利润限制条件，直接取二次函数顶点的数值作为最大值，做题时要先结合实际限制确定自变量范围，再结合函数增减性判断最值的取值点。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确销售利润的基本等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。我们可以先设商品涨价x元，用含x的式子分别表示出单个利润和周销售量，进而得到利润关于x的二次函数表达式；再结合“单个利润不能超过成本价30%”的限制条件求出自变量x的取值范围；最后结合二次函数的增减性，在取值范围内求出最大利润即可。
【解析】
设每个商品涨价x元，每周获得的利润为y元。
1. 表示相关量：
单个商品利润为：$(60 + x - 50) = (10 + x)$元
周销售量为：$(120 - 3x)$个
2. 列利润函数：
$y = (10 + x)(120 - 3x)$
整理得：$y = -3x^2 + 90x + 1200$
3. 求自变量x的取值范围：
根据规定，单个利润不能超过成本的30%，则：
$10 + x ≤ 50 × 30\%$
解得：$x ≤ 5$
同时销售量不能为负，$120 - 3x ≥ 0$，解得$x ≤ 40$，结合实际涨价$x≥0$，所以x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 5$。
4. 求最大利润：
二次函数$y = -3x^2 + 90x + 1200$中，$a=-3＜0$，开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{90}{2×(-3)} = 15$。
在$x ≤15$时，y随x的增大而增大，因此在取值范围$0 ≤x ≤5$内，x取最大值5时，y取得最大值。
将x=5代入函数：
$y = (10+5)×(120 - 3×5) = 15×105 = 1575$
【答案】
1575
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值，取值范围确定
【点评】
本题是典型的销售利润最值问题，解题的易错点是容易忽略题目中的利润限制条件，直接取二次函数顶点的数值作为最大值，做题时要先结合实际限制确定自变量范围，再结合函数增减性判断最值的取值点。
【难度系数】
0.6
9.(大庆中考)为推进我市“红色研学”文化旅游发展,大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降价1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(元),每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数).
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大?
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大?
答案
9.解:(1)由题意,设每个A纪念品的成本为$x$元,每个B纪念品的成本为$y$元,根据题意,得$\begin{cases} 2x+3y=155,\\4x+y=135, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=25,\\y=35. \end{cases}$答:每个A纪念品的成本为25元,每个B纪念品的成本为35元. (2)由题意,每套成本为$25+35=60$元,售价为$a$元,$\therefore$每套利润为$(a-60)$元.$\because$售价为72元时销量80套,每降价1元销量增加10套,$\therefore$销量为$80+10(72-a)=800-10a$.$\therefore$利润$W=(a-60)(800-10a)=-10a^2+1400a-48000=-10(a-70)^2+1000$.$\because 65≤ a≤72$且$a$为整数,$\therefore$当$a=70$时,每天的利润$W$最大.
解析
【分析】
(1) 第一问求A、B两种纪念品的成本，题目给出了两组不同数量的A、B成本和的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解。首先设每个A成本为x元，每个B成本为y元，根据“2个A的成本+3个B的成本=155元”“4个A的成本+1个B的成本=135元”列出方程组，解方程组即可得到两种纪念品的成本。
(2) 第二问求利润最大时的售价a，利润的计算公式为：总利润=单套利润×销售量。首先计算单套纪念品的成本为A、B成本之和，单套利润为(a-成本)；再根据售价与销量的关系：售价72元时销量为80套，每降价1元销量增加10套，可推导出售价为a元时的销量表达式；然后列出利润W关于a的函数表达式，整理为二次函数顶点式，结合a的取值范围65≤a≤72（a为整数），即可找到利润最大时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品的成本为$x$元，每个B纪念品的成本为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=155\\4x+y=135 \end{cases}$
用消元法求解：将第二个方程乘3得$12x+3y=405$，减去第一个方程得$10x=250$，解得$x=25$；将$x=25$代入$4x+y=135$，得$100+y=135$，解得$y=35$。
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元。
(2) 单套纪念品的成本为$25+35=60$元，因此单套利润为$(a-60)$元。
当售价为a元时，相比72元降价了$(72-a)$元，此时销售量为$80+10(72-a)=800-10a$套。
总利润$W=(a-60)(800-10a)$，展开整理得：
$W=-10a^2+1400a-48000$
配方为顶点式：$W=-10(a-70)^2+1000$
由于二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，且$a=70$在$65≤a≤72$的取值范围内，因此当$a=70$时，$W$取得最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品成本25元，每个B纪念品成本35元；
(2) 当$a=70$时，每天的利润W最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题以红色研学文创产品销售为背景，贴合生活实际，主要考查学生建立方程、函数模型解决实际问题的能力，解题时需要注意结合自变量的实际取值范围求解最值，避免忽略限制条件直接用顶点坐标求解出错。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问求A、B两种纪念品的成本，题目给出了两组不同数量的A、B成本和的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解。首先设每个A成本为x元，每个B成本为y元，根据“2个A的成本+3个B的成本=155元”“4个A的成本+1个B的成本=135元”列出方程组，解方程组即可得到两种纪念品的成本。
(2) 第二问求利润最大时的售价a，利润的计算公式为：总利润=单套利润×销售量。首先计算单套纪念品的成本为A、B成本之和，单套利润为(a-成本)；再根据售价与销量的关系：售价72元时销量为80套，每降价1元销量增加10套，可推导出售价为a元时的销量表达式；然后列出利润W关于a的函数表达式，整理为二次函数顶点式，结合a的取值范围65≤a≤72（a为整数），即可找到利润最大时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品的成本为$x$元，每个B纪念品的成本为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=155\\4x+y=135 \end{cases}$
用消元法求解：将第二个方程乘3得$12x+3y=405$，减去第一个方程得$10x=250$，解得$x=25$；将$x=25$代入$4x+y=135$，得$100+y=135$，解得$y=35$。
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元。
(2) 单套纪念品的成本为$25+35=60$元，因此单套利润为$(a-60)$元。
当售价为a元时，相比72元降价了$(72-a)$元，此时销售量为$80+10(72-a)=800-10a$套。
总利润$W=(a-60)(800-10a)$，展开整理得：
$W=-10a^2+1400a-48000$
配方为顶点式：$W=-10(a-70)^2+1000$
由于二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，且$a=70$在$65≤a≤72$的取值范围内，因此当$a=70$时，$W$取得最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品成本25元，每个B纪念品成本35元；
(2) 当$a=70$时，每天的利润W最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题以红色研学文创产品销售为背景，贴合生活实际，主要考查学生建立方程、函数模型解决实际问题的能力，解题时需要注意结合自变量的实际取值范围求解最值，避免忽略限制条件直接用顶点坐标求解出错。
【难度系数】
0.65
10.(南阳社旗县期末)项目式学习
【项目主题】如何销售获利最大？
【项目背景】一款台灯，凭其高颜值外观、智能调光功能，深受年轻人喜爱.某商场捕捉到这一商机，决定购买此款台灯进行销售.
【市场调研】该商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调研表明:售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨$x(0＜x≤20)$元.
【分析问题】
(1)售价上涨$x$元后，该商场平均每月可售出
【解决问题】
(2)为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
【深入研究】
(3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【项目主题】如何销售获利最大？
【项目背景】一款台灯，凭其高颜值外观、智能调光功能，深受年轻人喜爱.某商场捕捉到这一商机，决定购买此款台灯进行销售.
【市场调研】该商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调研表明:售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨$x(0＜x≤20)$元.
【分析问题】
(1)售价上涨$x$元后，该商场平均每月可售出
(600－10x)
个台灯(用含$x$的代数式表示)；【解决问题】
(2)为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
【深入研究】
(3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
答案
10.解:(1)$(600-10x)$ (2)由题意,得$(40+x-30)·(600-10x)=10000$,解得$x_1=10$,$x_2=40$(不合题意,舍去).$\therefore 40+x=40+10=50$,$600-10x=600-10×10=500$.答:这种台灯的售价应定为50元,这时应进台灯500个. (3)设每月销售利润为$W$,则$W=(40+x-30)(600-10x)=-10x^2+500x+6000=-10(x-25)^2+12250$.$\because -10＜0$,$\therefore$当$x＜25$时,$W$随$x$的增大而增大.$\because 0＜x≤20$,$\therefore$当$x=20$时,$W$取最大值,此时$40+x=60$.答:台灯售价定为60元时,每月销售利润最大.
解析
【分析】
(1) 首先明确销量与涨价幅度的关系：原销量为600个，售价每上涨1元销量减少10个，上涨x元时销量就减少10x个，用原销量减去减少的销量即可得到涨价后的销量。
(2) 销售利润的计算核心公式为“总利润=单个商品利润×销售量”，单个利润等于现售价减去进价，现售价为$(40+x)$元，进价30元，因此单个利润为$(40+x-30)$元，销量为第一问得到的$(600-10x)$个，两者乘积等于10000即可列方程；解方程后需结合x的取值范围$0＜x≤20$舍去不符合要求的根，再计算对应售价和进货量。
(3) 求最大利润需先将总利润表示为关于x的二次函数，通过配方找到函数对称轴，再结合二次函数的开口方向和x的取值范围，确定利润取最大值时x的取值，进而得到对应售价。
【解析】
(1) 原销量600个，上涨x元后销量减少$10x$个，因此销量为$\boxed{600-10x}$个。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(40+x-30)(600-10x)=10000$
整理得$x^2-50x+400=0$，因式分解得$(x-10)(x-40)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$。
$\because 0＜x≤20$，$\therefore x_2=40$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 售价为$40+10=50$元，此时进货量为$600-10×10=500$个。
(3) 设每月销售利润为$W$元，则：
$\begin{aligned}W&=(40+x-30)(600-10x)\\&=-10x^2+500x+6000\\&=-10(x-25)^2+12250\end{aligned}$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，当$x＜25$时，$W$随$x$的增大而增大。
又$\because 0＜x≤20$，$\therefore$ 当$x=20$时$W$取最大值，此时售价为$40+20=60$元。
【答案】
(1) $\boxed{(600-10x)}$
(2) 这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个。
(3) 台灯售价定为60元时，每月销售利润最大。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类典型应用题，解题关键是掌握总利润的计算公式，同时要注意结合题目给出的自变量取值范围对结果进行取舍，求最值时不能直接套用二次函数顶点坐标，需结合取值范围判断最值位置，考查了实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确销量与涨价幅度的关系：原销量为600个，售价每上涨1元销量减少10个，上涨x元时销量就减少10x个，用原销量减去减少的销量即可得到涨价后的销量。
(2) 销售利润的计算核心公式为“总利润=单个商品利润×销售量”，单个利润等于现售价减去进价，现售价为$(40+x)$元，进价30元，因此单个利润为$(40+x-30)$元，销量为第一问得到的$(600-10x)$个，两者乘积等于10000即可列方程；解方程后需结合x的取值范围$0＜x≤20$舍去不符合要求的根，再计算对应售价和进货量。
(3) 求最大利润需先将总利润表示为关于x的二次函数，通过配方找到函数对称轴，再结合二次函数的开口方向和x的取值范围，确定利润取最大值时x的取值，进而得到对应售价。
【解析】
(1) 原销量600个，上涨x元后销量减少$10x$个，因此销量为$\boxed{600-10x}$个。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(40+x-30)(600-10x)=10000$
整理得$x^2-50x+400=0$，因式分解得$(x-10)(x-40)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$。
$\because 0＜x≤20$，$\therefore x_2=40$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 售价为$40+10=50$元，此时进货量为$600-10×10=500$个。
(3) 设每月销售利润为$W$元，则：
$\begin{aligned}W&=(40+x-30)(600-10x)\\&=-10x^2+500x+6000\\&=-10(x-25)^2+12250\end{aligned}$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，当$x＜25$时，$W$随$x$的增大而增大。
又$\because 0＜x≤20$，$\therefore$ 当$x=20$时$W$取最大值，此时售价为$40+20=60$元。
【答案】
(1) $\boxed{(600-10x)}$
(2) 这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个。
(3) 台灯售价定为60元时，每月销售利润最大。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类典型应用题，解题关键是掌握总利润的计算公式，同时要注意结合题目给出的自变量取值范围对结果进行取舍，求最值时不能直接套用二次函数顶点坐标，需结合取值范围判断最值位置，考查了实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.6
