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1.(教材P53探究2变式)如图是抛物线形拱桥的截面图,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降2.5 m,水面宽度增加(
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.6 m
第1题图 第2题图
B
)A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.6 m
第1题图 第2题图
答案
1.B
解析
【分析】
解决实物抛物线类问题，首先需要通过建立合适的平面直角坐标系，将实际图形转化为二次函数图象问题，再利用二次函数的性质求解。本题可将拱顶设为坐标原点，对称轴为y轴建立坐标系，先通过已知条件求出抛物线解析式，再代入水面下降后的纵坐标求出对应横坐标，即可得到新的水面宽度，最终计算宽度的增加量。
【解析】
以拱顶为原点，过原点的水平线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点为(0,0)，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，即点$(2,-2)$在抛物线上，代入解析式得：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降2.5m后，水面的纵坐标为$y=-2-2.5=-4.5$，将$y=-4.5$代入解析式：
$-4.5=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=\pm3$，
此时水面宽度为$3-(-3)=6\ \mathrm{m}$，
水面宽度增加量为$6-4=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，合理建立平面直角坐标系是解题的关键，能有效简化计算过程，解题时要注意实际量和坐标值的对应关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解决实物抛物线类问题，首先需要通过建立合适的平面直角坐标系，将实际图形转化为二次函数图象问题，再利用二次函数的性质求解。本题可将拱顶设为坐标原点，对称轴为y轴建立坐标系，先通过已知条件求出抛物线解析式，再代入水面下降后的纵坐标求出对应横坐标，即可得到新的水面宽度，最终计算宽度的增加量。
【解析】
以拱顶为原点，过原点的水平线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点为(0,0)，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，即点$(2,-2)$在抛物线上，代入解析式得：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降2.5m后，水面的纵坐标为$y=-2-2.5=-4.5$，将$y=-4.5$代入解析式：
$-4.5=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=9$，即$x=\pm3$，
此时水面宽度为$3-(-3)=6\ \mathrm{m}$，
水面宽度增加量为$6-4=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，合理建立平面直角坐标系是解题的关键，能有效简化计算过程，解题时要注意实际量和坐标值的对应关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用$y=-x^2+12x-16$表示. 在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8 m，那么两排灯的水平距离是（
A.2 m
B.4 m
C.$4\sqrt{2}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
D
）A.2 m
B.4 m
C.$4\sqrt{2}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
答案
2.D
解析
【分析】
要求两排灯的水平距离，已知灯离地面高度为8m，y轴代表竖直高度，因此只需令抛物线解析式中y=8，求解对应的x的两个取值，两个x值的差即为两排灯的水平距离。
【解析】
由题意可知，灯离地面高度为8m，即$y=8$，将$y=8$代入抛物线解析式$y=-x^2+12x-16$，得：
$8=-x^2+12x-16$
整理方程：
$x^2-12x+24=0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1$，$b=-12$，$c=24$，代入得：
$x=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4×1×24}}{2×1}=\frac{12\pm\sqrt{48}}{2}=6\pm2\sqrt{3}$
则两排灯的水平距离为：
$(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题核心是将实际高度转化为二次函数的函数值，把实际问题转化为求一元二次方程解的问题，计算时要注意根式化简的准确性。
【难度系数】
0.7
要求两排灯的水平距离，已知灯离地面高度为8m，y轴代表竖直高度，因此只需令抛物线解析式中y=8，求解对应的x的两个取值，两个x值的差即为两排灯的水平距离。
【解析】
由题意可知，灯离地面高度为8m，即$y=8$，将$y=8$代入抛物线解析式$y=-x^2+12x-16$，得：
$8=-x^2+12x-16$
整理方程：
$x^2-12x+24=0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1$，$b=-12$，$c=24$，代入得：
$x=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4×1×24}}{2×1}=\frac{12\pm\sqrt{48}}{2}=6\pm2\sqrt{3}$
则两排灯的水平距离为：
$(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题核心是将实际高度转化为二次函数的函数值，把实际问题转化为求一元二次方程解的问题，计算时要注意根式化简的准确性。
【难度系数】
0.7
3.（新疆中考）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展。如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分。若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）。若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）。若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由。
答案
3.解:(1)由题意,得抛物线的顶点为$(\dfrac{12}{2},8)$,即$(6,8)$.设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$,将点$(12,0)$代入,得$a(12-6)^2+8=0$,解得$a=-\dfrac{2}{9}$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$.
(2)能安全通过,理由如下:如图,由题意,得$x_A=\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$. 将$x=2$代入$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8$,得$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$.$\because\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$,$\therefore$能安全通过.
(2)能安全通过,理由如下:如图,由题意,得$x_A=\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$. 将$x=2$代入$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8$,得$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$.$\because\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$,$\therefore$能安全通过.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知顶点坐标优先选择顶点式求解更简便。由隧道底部宽12米、高8米，可得抛物线顶点为(6,8)，且抛物线过点(12,0)，代入顶点式即可求出参数$a$，得到解析式。（2）判断车辆能否安全通过，需要计算车辆最外侧位置对应的隧道高度，减去车高后验证空隙是否不少于0.5米。首先根据两车宽度、间隔要求，算出左侧车辆左边缘的横坐标，再代入解析式求出对应高度，通过比较即可得出结论。
【解析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(\dfrac{12}{2},8)$，即$(6,8)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+8\ (a≠0)$，
将点$(12,0)$代入解析式，得：
$a(12-6)^2+8=0$，
$36a+8=0$，
解得$a=-\dfrac{2}{9}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
根据题意，隧道中心线对应$x=6$，两车至少间隔2米，每车宽3米，因此左侧车辆的左边缘横坐标为：
$x=6-\dfrac{2}{2}-3=2$，
将$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=-\dfrac{2}{9}×16+8=\dfrac{40}{9}$，
此时竖直方向空隙为$\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$，满足空隙要求，因此可以安全通过。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤12)$；（2）能安全通过。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题以隧道通行的实际问题为背景，考查二次函数的应用，解题的核心是准确建立二次函数模型，结合题意找到对应点的横坐标，通过计算高度差判断是否满足要求，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，已知顶点坐标优先选择顶点式求解更简便。由隧道底部宽12米、高8米，可得抛物线顶点为(6,8)，且抛物线过点(12,0)，代入顶点式即可求出参数$a$，得到解析式。（2）判断车辆能否安全通过，需要计算车辆最外侧位置对应的隧道高度，减去车高后验证空隙是否不少于0.5米。首先根据两车宽度、间隔要求，算出左侧车辆左边缘的横坐标，再代入解析式求出对应高度，通过比较即可得出结论。
【解析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(\dfrac{12}{2},8)$，即$(6,8)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+8\ (a≠0)$，
将点$(12,0)$代入解析式，得：
$a(12-6)^2+8=0$，
$36a+8=0$，
解得$a=-\dfrac{2}{9}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
根据题意，隧道中心线对应$x=6$，两车至少间隔2米，每车宽3米，因此左侧车辆的左边缘横坐标为：
$x=6-\dfrac{2}{2}-3=2$，
将$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=-\dfrac{2}{9}×16+8=\dfrac{40}{9}$，
此时竖直方向空隙为$\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$，满足空隙要求，因此可以安全通过。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8\ (0≤ x≤12)$；（2）能安全通过。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题以隧道通行的实际问题为背景，考查二次函数的应用，解题的核心是准确建立二次函数模型，结合题意找到对应点的横坐标，通过计算高度差判断是否满足要求，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
4.(连云港中考)如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2+2.5$运行,其中$x$是铅球离初始位置的水平距离,$y$是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度$OA$为1.6 m,则铅球掷出的水平距离$OB$为
8
m. 答案
4.8
5. 一名运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m。
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.82 m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2 m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.82 m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2 m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
答案
5.解:(1)$\because$当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,$\therefore$抛物线的顶点为$(0,3.5)$.$\therefore$设抛物线的解析式为$y=ax^2+3.5$. 将点$(1.5,3.05)$代入解析式,得$2.25a+3.5=3.05$,解得$a=-0.2$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-0.2x^2+3.5$.
(2)设球出手时,他跳离地面的高度为$h$ m,$\because y=-0.2x^2+3.5$,而球出手时,球的高度为$h+1.82+0.2=(h+2.02)(\mathrm{m})$,$\therefore h+2.02=-0.2×(-2.5)^2+3.5$,$\therefore h=0.23$.答:球出手时,他跳离地面的高度为0.23 m.
(2)设球出手时,他跳离地面的高度为$h$ m,$\because y=-0.2x^2+3.5$,而球出手时,球的高度为$h+1.82+0.2=(h+2.02)(\mathrm{m})$,$\therefore h+2.02=-0.2×(-2.5)^2+3.5$,$\therefore h=0.23$.答:球出手时,他跳离地面的高度为0.23 m.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先确定顶点坐标：由题意球运行到最大高度时对应坐标系的顶点为$(0,3.5)$，因此选用顶点式设解析式，只需再找到一个抛物线上的已知点代入即可求出未知系数。篮圈中心高度为3.05m，对应横坐标为$4-2.5=1.5$，即点$(1.5,3.05)$在抛物线上，代入即可求出系数$a$。
(2) 求跳离地面高度时，先确定球出手位置的横坐标为$-2.5$，代入抛物线解析式求出出手时球的高度，该高度等于运动员身高、头顶上方球的高度与跳离地面高度之和，列方程即可求出所求高度。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(0,3.5)$，设抛物线解析式为$y=ax^2+3.5$。
篮圈中心坐标为$(1.5,3.05)$，将其代入解析式：
$1.5^2a + 3.5 = 3.05$
$2.25a = -0.45$
解得$a=-0.2$
因此抛物线解析式为$y=-0.2x^2+3.5$。
(2) 设球出手时他跳离地面的高度为$h\ \mathrm{m}$。
球出手时横坐标为$x=-2.5$，代入解析式得此时球的高度：
$y=-0.2×(-2.5)^2 +3.5=2.25\ \mathrm{m}$
由高度关系可得：$h + 1.82 + 0.2 = 2.25$
解得$h=0.23$
【答案】
(1) $y=-0.2x^2+3.5$
(2) $0.23\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数结合生活场景的典型基础题，解题关键是将实际位置准确转化为坐标系内的点坐标，结合抛物线顶点式快速求解，侧重考查坐标转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式首先确定顶点坐标：由题意球运行到最大高度时对应坐标系的顶点为$(0,3.5)$，因此选用顶点式设解析式，只需再找到一个抛物线上的已知点代入即可求出未知系数。篮圈中心高度为3.05m，对应横坐标为$4-2.5=1.5$，即点$(1.5,3.05)$在抛物线上，代入即可求出系数$a$。
(2) 求跳离地面高度时，先确定球出手位置的横坐标为$-2.5$，代入抛物线解析式求出出手时球的高度，该高度等于运动员身高、头顶上方球的高度与跳离地面高度之和，列方程即可求出所求高度。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(0,3.5)$，设抛物线解析式为$y=ax^2+3.5$。
篮圈中心坐标为$(1.5,3.05)$，将其代入解析式：
$1.5^2a + 3.5 = 3.05$
$2.25a = -0.45$
解得$a=-0.2$
因此抛物线解析式为$y=-0.2x^2+3.5$。
(2) 设球出手时他跳离地面的高度为$h\ \mathrm{m}$。
球出手时横坐标为$x=-2.5$，代入解析式得此时球的高度：
$y=-0.2×(-2.5)^2 +3.5=2.25\ \mathrm{m}$
由高度关系可得：$h + 1.82 + 0.2 = 2.25$
解得$h=0.23$
【答案】
(1) $y=-0.2x^2+3.5$
(2) $0.23\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数结合生活场景的典型基础题，解题关键是将实际位置准确转化为坐标系内的点坐标，结合抛物线顶点式快速求解，侧重考查坐标转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
