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1.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润$y$(元)与每件销售价$x$(元)之间的关系满足$y=-2x^2+80x+758$，由于某种原因，价格需满足$15≤ x≤19$，那么一周可获得最大利润是（
A.758元
B.1508元
C.1556元
D.1558元
C
）A.758元
B.1508元
C.1556元
D.1558元
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数在给定自变量范围下的最值求解。解题思路如下：第一步，先根据二次函数的二次项系数判断抛物线开口方向；第二步，计算抛物线的对称轴，判断对称轴与给定x的取值范围15≤x≤19的位置关系；第三步，结合开口方向和函数增减性，确定能取到最大利润的x值，最后代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+80x+758$，
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
对称轴为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$。
∵给定的售价范围是$15≤x≤19$，全部在对称轴$x=20$的左侧，
∴在$15≤x≤19$范围内，$y$随$x$的增大而增大，当$x$取最大值19时，$y$取得最大值。
将$x=19$代入函数得：
$y=-2×19^2+80×19+758=-2×361+1520+758=-722+1520+758=1556$。
即一周可获得的最大利润是1556元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；利润问题应用
【点评】
本题的易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点横坐标x=20代入计算得到错误结果。解题时要先判断对称轴是否在给定的自变量区间内，再结合函数的增减性求解最值。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在给定自变量范围下的最值求解。解题思路如下：第一步，先根据二次函数的二次项系数判断抛物线开口方向；第二步，计算抛物线的对称轴，判断对称轴与给定x的取值范围15≤x≤19的位置关系；第三步，结合开口方向和函数增减性，确定能取到最大利润的x值，最后代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+80x+758$，
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
对称轴为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$。
∵给定的售价范围是$15≤x≤19$，全部在对称轴$x=20$的左侧，
∴在$15≤x≤19$范围内，$y$随$x$的增大而增大，当$x$取最大值19时，$y$取得最大值。
将$x=19$代入函数得：
$y=-2×19^2+80×19+758=-2×361+1520+758=-722+1520+758=1556$。
即一周可获得的最大利润是1556元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；利润问题应用
【点评】
本题的易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点横坐标x=20代入计算得到错误结果。解题时要先判断对称轴是否在给定的自变量区间内，再结合函数的增减性求解最值。
【难度系数】
0.6
2. 婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒.当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒.已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数解析式为（
A.$y=(10-x)(200+5x)$
B.$y=(15-x)(200+5x)$
C.$y=(10-x)(200-5x)$
D.$y=(15-x)(200-5x)$
A
）A.$y=(10-x)(200+5x)$
B.$y=(15-x)(200+5x)$
C.$y=(10-x)(200-5x)$
D.$y=(15-x)(200-5x)$
答案
2.A
解析
【分析】
解这类利润问题首先要牢记总利润的计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时先分别求出降价后的单件利润、降价后的总销售量，再代入公式就能得到y与x的函数解析式。首先计算单件利润：原本每盒售价15元，成本5元，原本单件利润是15-5=10元，每盒降价x元后，单件利润就减少x元，即为(10-x)元；再算销售量：原本日销量200盒，每降价1元销量增加5盒，降价x元后销量就增加5x盒，即为(200+5x)盒，最后两者相乘就是总利润y。
【解析】
解：根据总利润=单件利润×销售数量的公式逐步推导：
1. 计算降价后的单件利润：每盒原本的利润为$15-5=10$元，降价x元后，单件利润为$(10 - x)$元；
2. 计算降价后的日销售量：每降价1元销量增加5盒，降价x元后销量增加$5x$盒，即日销售量为$(200 + 5x)$盒；
3. 代入总利润公式可得：$y=(10 - x)(200 + 5x)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算；列函数关系式
【点评】
本题是销售类利润的基础应用题，解题核心是准确梳理出单价变化后，单件利润和销售量的对应表达式，再结合总利润公式推导即可，是利润类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解这类利润问题首先要牢记总利润的计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时先分别求出降价后的单件利润、降价后的总销售量，再代入公式就能得到y与x的函数解析式。首先计算单件利润：原本每盒售价15元，成本5元，原本单件利润是15-5=10元，每盒降价x元后，单件利润就减少x元，即为(10-x)元；再算销售量：原本日销量200盒，每降价1元销量增加5盒，降价x元后销量就增加5x盒，即为(200+5x)盒，最后两者相乘就是总利润y。
【解析】
解：根据总利润=单件利润×销售数量的公式逐步推导：
1. 计算降价后的单件利润：每盒原本的利润为$15-5=10$元，降价x元后，单件利润为$(10 - x)$元；
2. 计算降价后的日销售量：每降价1元销量增加5盒，降价x元后销量增加$5x$盒，即日销售量为$(200 + 5x)$盒；
3. 代入总利润公式可得：$y=(10 - x)(200 + 5x)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算；列函数关系式
【点评】
本题是销售类利润的基础应用题，解题核心是准确梳理出单价变化后，单件利润和销售量的对应表达式，再结合总利润公式推导即可，是利润类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元，设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化，所得利润$y=-10x^2+100x+6000$.下列结论中正确的是（
A.涨价时不存在利润最大
B.自变量$x$的取值范围是$x≥0$
C.当$x=0$时，最大利润为6000元
D.当定价65元时，利润最大为6250元
D
）A.涨价时不存在利润最大
B.自变量$x$的取值范围是$x≥0$
C.当$x=0$时，最大利润为6000元
D.当定价65元时，利润最大为6250元
答案
3.D
解析
【分析】
本题是二次函数在利润问题中的应用题型，解题思路如下：首先观察给出的利润函数解析式，二次项系数为负，因此抛物线开口向下，存在最大值，可初步判断A选项正误；接下来结合实际意义确定自变量x的取值范围：涨价金额不能为负，同时每星期的销售量也不能为负，据此判断B选项；再利用二次函数顶点坐标公式求出利润最大时对应的x值和最大利润，最后对比C、D选项即可得出正确结论。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 分析A选项：利润函数$y=-10x^2+100x+6000$中，二次项系数$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，即涨价时存在最大利润，故A错误。
2. 分析B选项：自变量x为每件涨价的金额，因此$x≥0$；同时每星期销售量不能为负，即$300-10x≥0$，解得$x≤30$，因此x的取值范围是$0≤ x≤30$，故B错误。
3. 计算最大利润：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-10，b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-10)}=5$
将x=5代入函数得最大利润：
$y=-10×5^2+100×5+6000=-250+500+6000=6250$（元）
此时定价为$60+5=65$（元）
4. 分析C选项：由上述计算可知，最大利润为6250元，对应x=5，不是x=0时的6000元，故C错误。
5. 分析D选项：定价65元即涨价5元，此时利润最大为6250元，符合计算结果，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数性质，利润问题应用，自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数实际应用的常考题型，解题核心是熟练掌握二次函数求最值的方法，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不能仅从函数表达式本身判断参数范围。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在利润问题中的应用题型，解题思路如下：首先观察给出的利润函数解析式，二次项系数为负，因此抛物线开口向下，存在最大值，可初步判断A选项正误；接下来结合实际意义确定自变量x的取值范围：涨价金额不能为负，同时每星期的销售量也不能为负，据此判断B选项；再利用二次函数顶点坐标公式求出利润最大时对应的x值和最大利润，最后对比C、D选项即可得出正确结论。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 分析A选项：利润函数$y=-10x^2+100x+6000$中，二次项系数$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，即涨价时存在最大利润，故A错误。
2. 分析B选项：自变量x为每件涨价的金额，因此$x≥0$；同时每星期销售量不能为负，即$300-10x≥0$，解得$x≤30$，因此x的取值范围是$0≤ x≤30$，故B错误。
3. 计算最大利润：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-10，b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-10)}=5$
将x=5代入函数得最大利润：
$y=-10×5^2+100×5+6000=-250+500+6000=6250$（元）
此时定价为$60+5=65$（元）
4. 分析C选项：由上述计算可知，最大利润为6250元，对应x=5，不是x=0时的6000元，故C错误。
5. 分析D选项：定价65元即涨价5元，此时利润最大为6250元，符合计算结果，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数性质，利润问题应用，自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数实际应用的常考题型，解题核心是熟练掌握二次函数求最值的方法，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不能仅从函数表达式本身判断参数范围。
【难度系数】
0.7
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件售出时，每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件.为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为
(30－x)
元，每日的销售量为(20＋x)
件，则每日的利润y(元)与x(元)之间的函数解析式是$y=-x^2+10x+600$
（不要求写自变量的取值范围），所以每件降价5
元时，每日获得的利润最大，最大利润为625
元.答案
4.$(30-x)\ (20+x)\ \ y=-x^2+10x+600\ \ 5\ \ 625$
解析
【分析】
解题先从利润问题的核心等量关系入手：总利润=单件利润×销售量。第一步先算单件利润：原本每件利润是零售价减进价，降价x元后单件利润随之减少x元；第二步算销售量：每降价1元销量增加1件，降价x元销量就对应增加x件；第三步把两者相乘得到总利润的函数关系式，这是一个开口向下的二次函数，根据二次函数顶点坐标公式即可求出利润最大时的降价金额和最大利润。
【解析】
1. 计算单件利润：原单件利润为$100-70=30$元，降价$x$元后，单件利润为$\boldsymbol{(30-x)}$元。
2. 计算每日销售量：原日销量为20件，降价$x$元后销量增加$x$件，每日销售量为$\boldsymbol{(20+x)}$件。
3. 推导利润函数：总利润$y=$单件利润×销售量，因此：
$y=(30-x)(20+x)$
展开得$y=-x^2+10x+600$。
4. 求最大利润：该函数是二次函数，$a=-1＜0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即降价5元时利润最大。
将$x=5$代入函数，得最大利润$y=-5^2+10×5+600=625$元。
【答案】
$(30-x)$；$(20+x)$；$y=-x^2+10x+600$；$5$；$625$
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的典型考法，核心是理清售价、销量、利润三者的变化关系，结合二次函数性质求解最值，是二次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题先从利润问题的核心等量关系入手：总利润=单件利润×销售量。第一步先算单件利润：原本每件利润是零售价减进价，降价x元后单件利润随之减少x元；第二步算销售量：每降价1元销量增加1件，降价x元销量就对应增加x件；第三步把两者相乘得到总利润的函数关系式，这是一个开口向下的二次函数，根据二次函数顶点坐标公式即可求出利润最大时的降价金额和最大利润。
【解析】
1. 计算单件利润：原单件利润为$100-70=30$元，降价$x$元后，单件利润为$\boldsymbol{(30-x)}$元。
2. 计算每日销售量：原日销量为20件，降价$x$元后销量增加$x$件，每日销售量为$\boldsymbol{(20+x)}$件。
3. 推导利润函数：总利润$y=$单件利润×销售量，因此：
$y=(30-x)(20+x)$
展开得$y=-x^2+10x+600$。
4. 求最大利润：该函数是二次函数，$a=-1＜0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即降价5元时利润最大。
将$x=5$代入函数，得最大利润$y=-5^2+10×5+600=625$元。
【答案】
$(30-x)$；$(20+x)$；$y=-x^2+10x+600$；$5$；$625$
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的典型考法，核心是理清售价、销量、利润三者的变化关系，结合二次函数性质求解最值，是二次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
5.(黔西南兴仁市期末)黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出(100－5x)千克.
(1)当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？
(2)设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？
(1)当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？
(2)设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？
答案
5.解:(1)$(12-8)×(100-5×12)=160$(元).答:当售价定为每千克12元时，每天的利润是160元. (2)由题意，得$y=(x-8)(100-5x)=-5(x-14)^2+180$.$\therefore$当$x=14$时，$y$取最大值，最大值为180.答:该电商平台定价为14元时，每天的总利润$y$的值最大，最大值是180元.
解析
【分析】
(1) 求解售价12元时的日利润，需用到利润的基本计算公式：单日利润=每千克的利润×当日销售量。先计算售价12元时每千克的利润，再代入销量公式算出当日销量，二者相乘即可得到结果。
(2) 求总利润的最大值，先根据“总利润=单千克利润×销售量”的等量关系列出y关于x的二次函数表达式；再结合二次函数的性质：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点处函数值取得最大值，通过配方法将函数化为顶点式，即可得到对应定价和最大利润。
【解析】
(1) 当售价$x=12$元时：
每千克的利润为：$12-8=4$（元）
当日销售量为：$100-5×12=40$（千克）
单日利润为：$4×40=160$（元）
(2) 根据总利润的等量关系列函数式：
$y=(x-8)(100-5x)$
展开并配方：
$\begin{aligned}y&=-5x^2+140x-800\\&=-5(x^2-28x+196)+980-800\\&=-5(x-14)^2+180\end{aligned}$
∵二次项系数$-5＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=14$时，$y$取得最大值，最大值为180元。
【答案】
(1) 当售价定为每千克12元时，每天的利润是160元；
(2) 该电商平台定价为14元时，每天的总利润$y$的值最大，最大值是180元。
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题结合特色农产品销售的生活场景命题，考查销售类应用题的基本等量关系和二次函数最值的应用，解题核心是准确列出利润的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，是利润类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解售价12元时的日利润，需用到利润的基本计算公式：单日利润=每千克的利润×当日销售量。先计算售价12元时每千克的利润，再代入销量公式算出当日销量，二者相乘即可得到结果。
(2) 求总利润的最大值，先根据“总利润=单千克利润×销售量”的等量关系列出y关于x的二次函数表达式；再结合二次函数的性质：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点处函数值取得最大值，通过配方法将函数化为顶点式，即可得到对应定价和最大利润。
【解析】
(1) 当售价$x=12$元时：
每千克的利润为：$12-8=4$（元）
当日销售量为：$100-5×12=40$（千克）
单日利润为：$4×40=160$（元）
(2) 根据总利润的等量关系列函数式：
$y=(x-8)(100-5x)$
展开并配方：
$\begin{aligned}y&=-5x^2+140x-800\\&=-5(x^2-28x+196)+980-800\\&=-5(x-14)^2+180\end{aligned}$
∵二次项系数$-5＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=14$时，$y$取得最大值，最大值为180元。
【答案】
(1) 当售价定为每千克12元时，每天的利润是160元；
(2) 该电商平台定价为14元时，每天的总利润$y$的值最大，最大值是180元。
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题结合特色农产品销售的生活场景命题，考查销售类应用题的基本等量关系和二次函数最值的应用，解题核心是准确列出利润的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，是利润类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
6. 某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件.设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件.
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
答案
6.解:(1)根据题意，得$y=300-10(x-60)=-10x+900$$(60≤ x＜90)$. (2)设每个月的销售利润为$w$，由(1)知，$w=(x-50)(-10x+900)=-10x^2+1400x-45000=-10(x-70)^2+4000$.$\because -10＜0$，$\therefore$当$x=70$时，$w_{\mathrm{最大}}=4000$.答:当该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元.
解析
【分析】
(1) 求解y与x的函数解析式，首先梳理销量变化规律：售价60元时销量为300件，售价每上涨1元销量减少10件。先计算售价为x元时较60元上涨的金额为$(x-60)$元，对应销量减少$10(x-60)$件，用基础销量减去减少的销量即可得到函数关系式，再结合销量不能为负、售价不低于成本的实际要求确定自变量x的取值范围。
(2) 销售利润=单件利润×月销售量，单件利润为售价减成本即$(x-50)$元，月销售量为(1)中所求的y，代入即可得到利润关于x的二次函数，将函数整理为顶点式后，结合二次项系数的正负判断开口方向，即可求出最大利润及对应的售价。
【解析】
(1) 根据题意，售价为x元时，销量较售价60元时减少$10(x-60)$件，因此：
$y=300-10(x-60)$
化简得：$y=-10x+900$
结合实际意义，销量$y≥0$且售价不低于60元，即$\begin{cases}-10x+900≥0 \\x≥60 \end{cases}$，解得$60≤ x＜90$。
(2) 设每个月的销售利润为$w$元，单件利润为$(x-50)$元，因此：
$w=(x-50)y$
将$y=-10x+900$代入得：
$w=(x-50)(-10x+900)$
展开整理得：$w=-10x^2+1400x-45000$
配方为顶点式：$w=-10(x-70)^2+4000$
$\because -10＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=70$时，$w$取得最大值，最大值为4000元。
【答案】
(1) $y=-10x+900(60≤ x＜90)$；
(2) 当该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元。
【知识点】
一次函数实际应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类实际问题的常规题型，核心考查将实际数量关系转化为函数模型的能力，解题时要注意自变量取值范围需符合实际意义，熟练掌握二次函数的配方变形和最值判断方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解y与x的函数解析式，首先梳理销量变化规律：售价60元时销量为300件，售价每上涨1元销量减少10件。先计算售价为x元时较60元上涨的金额为$(x-60)$元，对应销量减少$10(x-60)$件，用基础销量减去减少的销量即可得到函数关系式，再结合销量不能为负、售价不低于成本的实际要求确定自变量x的取值范围。
(2) 销售利润=单件利润×月销售量，单件利润为售价减成本即$(x-50)$元，月销售量为(1)中所求的y，代入即可得到利润关于x的二次函数，将函数整理为顶点式后，结合二次项系数的正负判断开口方向，即可求出最大利润及对应的售价。
【解析】
(1) 根据题意，售价为x元时，销量较售价60元时减少$10(x-60)$件，因此：
$y=300-10(x-60)$
化简得：$y=-10x+900$
结合实际意义，销量$y≥0$且售价不低于60元，即$\begin{cases}-10x+900≥0 \\x≥60 \end{cases}$，解得$60≤ x＜90$。
(2) 设每个月的销售利润为$w$元，单件利润为$(x-50)$元，因此：
$w=(x-50)y$
将$y=-10x+900$代入得：
$w=(x-50)(-10x+900)$
展开整理得：$w=-10x^2+1400x-45000$
配方为顶点式：$w=-10(x-70)^2+4000$
$\because -10＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=70$时，$w$取得最大值，最大值为4000元。
【答案】
(1) $y=-10x+900(60≤ x＜90)$；
(2) 当该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元。
【知识点】
一次函数实际应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类实际问题的常规题型，核心考查将实际数量关系转化为函数模型的能力，解题时要注意自变量取值范围需符合实际意义，熟练掌握二次函数的配方变形和最值判断方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
