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11. 已知$a＜0,b＞0,c＜0$,那么二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能是（
A
）答案
A
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断问题，可按“先看开口、再看对称轴、最后看与y轴交点”的顺序逐步排除错误选项：①首先根据二次项系数a的符号判断抛物线开口方向，排除开口不符合的选项；②再根据a、b的符号结合对称轴公式判断对称轴的位置，排除对称轴位置不符合的选项；③最后根据常数项c的符号判断抛物线与y轴的交点位置，即可确定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：已知$a＜0$，因此二次函数图象开口向下，选项D开口向上，不符合要求，排除D；
2. 判断对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$，$b＞0$，可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。选项B的对称轴在y轴左侧，选项C的对称轴为y轴，均不符合，排除B、C；
3. 判断与y轴交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，因此抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，选项A符合该特征。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 对称轴公式应用
3. 截距与系数关系
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次函数各项系数与图象特征的对应关系，按固定顺序逐一验证排除即可快速得出答案，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象判断问题，可按“先看开口、再看对称轴、最后看与y轴交点”的顺序逐步排除错误选项：①首先根据二次项系数a的符号判断抛物线开口方向，排除开口不符合的选项；②再根据a、b的符号结合对称轴公式判断对称轴的位置，排除对称轴位置不符合的选项；③最后根据常数项c的符号判断抛物线与y轴的交点位置，即可确定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：已知$a＜0$，因此二次函数图象开口向下，选项D开口向上，不符合要求，排除D；
2. 判断对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$，$b＞0$，可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。选项B的对称轴在y轴左侧，选项C的对称轴为y轴，均不符合，排除B、C；
3. 判断与y轴交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，因此抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，选项A符合该特征。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 对称轴公式应用
3. 截距与系数关系
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次函数各项系数与图象特征的对应关系，按固定顺序逐一验证排除即可快速得出答案，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
12.(福建中考)已知点$A(-2,y_1)$,$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上,若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是 (
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A
)A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，用含参数b的代数式表示出$y_1$和$y_2$；第二步，结合已知b的取值范围$3＜b＜4$，利用不等式的性质分别求出$y_1$、$y_2$的取值范围；第三步，比较1、$y_1$、$y_2$的大小关系即可得到答案。也可通过分析抛物线的开口方向、对称轴位置，结合点到对称轴的距离判断函数值大小，代入求值的方法更直观易懂。
【解析】
将点$A(-2,y_1)$代入抛物线解析式$y=3x^2+bx+1$：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) +1 = 12 - 2b +1 = 13-2b$
将点$B(1,y_2)$代入抛物线解析式：
$y_2=3×1^2 + b×1 +1 = 3 + b +1 = 4+b$
已知$3＜b＜4$，分别推导$y_1$、$y_2$的范围：
对于$y_1=13-2b$：
$\because 3＜b＜4$
$\therefore -8＜-2b＜-6$
$\therefore 13-8 ＜13-2b ＜13-6$，即$5＜y_1＜7$
对于$y_2=4+b$：
$\because 3＜b＜4$
$\therefore 3+4 ＜4+b ＜4+4$，即$7＜y_2＜8$
综上可得大小关系：$1＜y_1＜y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，二次函数求值
【点评】
本题结合参数范围考查二次函数函数值的大小比较，既可以通过代入坐标直接计算函数值的范围求解，也可以利用二次函数的开口方向、对称轴与点的位置关系结合增减性判断，是二次函数性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，用含参数b的代数式表示出$y_1$和$y_2$；第二步，结合已知b的取值范围$3＜b＜4$，利用不等式的性质分别求出$y_1$、$y_2$的取值范围；第三步，比较1、$y_1$、$y_2$的大小关系即可得到答案。也可通过分析抛物线的开口方向、对称轴位置，结合点到对称轴的距离判断函数值大小，代入求值的方法更直观易懂。
【解析】
将点$A(-2,y_1)$代入抛物线解析式$y=3x^2+bx+1$：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) +1 = 12 - 2b +1 = 13-2b$
将点$B(1,y_2)$代入抛物线解析式：
$y_2=3×1^2 + b×1 +1 = 3 + b +1 = 4+b$
已知$3＜b＜4$，分别推导$y_1$、$y_2$的范围：
对于$y_1=13-2b$：
$\because 3＜b＜4$
$\therefore -8＜-2b＜-6$
$\therefore 13-8 ＜13-2b ＜13-6$，即$5＜y_1＜7$
对于$y_2=4+b$：
$\because 3＜b＜4$
$\therefore 3+4 ＜4+b ＜4+4$，即$7＜y_2＜8$
综上可得大小关系：$1＜y_1＜y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，二次函数求值
【点评】
本题结合参数范围考查二次函数函数值的大小比较，既可以通过代入坐标直接计算函数值的范围求解，也可以利用二次函数的开口方向、对称轴与点的位置关系结合增减性判断，是二次函数性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.7
13. 如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象经过点A，B(3,0)，与y轴交于点C，对称轴是x=1. 下列结论正确的是 （
A.$ ac ＞ 0 $
B.$ 2a - b = 0 $
C.$ A(0, -1) $
D.$ am^2 + bm ≥ a + b $
D
）A.$ ac ＞ 0 $
B.$ 2a - b = 0 $
C.$ A(0, -1) $
D.$ am^2 + bm ≥ a + b $
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像和已知条件提取核心信息：抛物线开口向上可得a＞0，与y轴交于负半轴得c＜0，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$可得b与a的关系，再结合二次函数的对称性、最值性质逐一验证四个选项即可得出正确结论。
【解析】
1. 分析选项A：
抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$ac＜0$，A错误。
2. 分析选项B：
已知抛物线对称轴为$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$-b=2a$，即$2a+b=0$，不是$2a-b=0$，B错误。
3. 分析选项C：
点B(3,0)是抛物线与x轴的交点，且抛物线对称轴为$x=1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点横坐标到对称轴的距离相等：$3-1=2$，因此点A的横坐标为$1-2=-1$，即A点坐标为(-1,0)，C错误。
4. 分析选项D：
抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x=1$时函数取得最小值，即对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥ a·1^2+b·1+c$，两边同时减去c，可得$am^2+bm≥ a+b$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的常规考题，需要熟练掌握开口方向、对称轴、交点、最值等性质，结合已知条件逐一判断选项，解题时利用对称性和最值性质可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图像和已知条件提取核心信息：抛物线开口向上可得a＞0，与y轴交于负半轴得c＜0，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$可得b与a的关系，再结合二次函数的对称性、最值性质逐一验证四个选项即可得出正确结论。
【解析】
1. 分析选项A：
抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$ac＜0$，A错误。
2. 分析选项B：
已知抛物线对称轴为$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$-b=2a$，即$2a+b=0$，不是$2a-b=0$，B错误。
3. 分析选项C：
点B(3,0)是抛物线与x轴的交点，且抛物线对称轴为$x=1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点横坐标到对称轴的距离相等：$3-1=2$，因此点A的横坐标为$1-2=-1$，即A点坐标为(-1,0)，C错误。
4. 分析选项D：
抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x=1$时函数取得最小值，即对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥ a·1^2+b·1+c$，两边同时减去c，可得$am^2+bm≥ a+b$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图像性质的常规考题，需要熟练掌握开口方向、对称轴、交点、最值等性质，结合已知条件逐一判断选项，解题时利用对称性和最值性质可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
14. 将抛物线 $ y = x^2 - 2x + 1 $ 向右平移5个单位长度得到抛物线 $ C_1 $，抛物线 $ C_1 $ 与抛物线 $ C_2 $ 关于y轴对称，那么抛物线 $ C_2 $ 的表达式为 ______。
答案
$y=x^2+12x+36$
解析
【分析】
解题时先将原抛物线化为顶点式，方便进行平移变换计算：第一步，先通过配方把原抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标；第二步，根据“左加右减”的平移规律，计算向右平移5个单位后抛物线$C_1$的顶点坐标，写出$C_1$的顶点式；第三步，利用关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的特点，得到抛物线$C_2$的顶点坐标，结合开口大小方向不变（a值不变）写出$C_2$的顶点式，最后展开为一般式即可得到结果。
【解析】
1. 先将原抛物线配方为顶点式：
$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，原抛物线的顶点坐标为$(1,0)$，二次项系数$a=1$。
2. 抛物线向右平移5个单位长度，根据平移规律“左加右减（针对横坐标）”，平移后抛物线$C_1$的顶点坐标为$(1+5,0)=(6,0)$，因此$C_1$的解析式为：
$y=(x-6)^2$
3. 抛物线$C_1$与$C_2$关于y轴对称，关于y轴对称的点满足横坐标取相反数、纵坐标不变，因此将$C_1$解析式中的$x$替换为$-x$，即可得到$C_2$的解析式：
$y=(-x -6)^2=(x+6)^2$
展开得：$y=x^2 + 12x + 36$
【答案】
$y=x^2+12x+36$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数轴对称变换；二次函数式互化
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础常考题，核心是掌握平移变换和对称变换的坐标变化规律，熟练进行顶点式和一般式的互化，计算时注意不要搞反“左加右减”的平移方向即可。
【难度系数】
0.7
解题时先将原抛物线化为顶点式，方便进行平移变换计算：第一步，先通过配方把原抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标；第二步，根据“左加右减”的平移规律，计算向右平移5个单位后抛物线$C_1$的顶点坐标，写出$C_1$的顶点式；第三步，利用关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的特点，得到抛物线$C_2$的顶点坐标，结合开口大小方向不变（a值不变）写出$C_2$的顶点式，最后展开为一般式即可得到结果。
【解析】
1. 先将原抛物线配方为顶点式：
$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，原抛物线的顶点坐标为$(1,0)$，二次项系数$a=1$。
2. 抛物线向右平移5个单位长度，根据平移规律“左加右减（针对横坐标）”，平移后抛物线$C_1$的顶点坐标为$(1+5,0)=(6,0)$，因此$C_1$的解析式为：
$y=(x-6)^2$
3. 抛物线$C_1$与$C_2$关于y轴对称，关于y轴对称的点满足横坐标取相反数、纵坐标不变，因此将$C_1$解析式中的$x$替换为$-x$，即可得到$C_2$的解析式：
$y=(-x -6)^2=(x+6)^2$
展开得：$y=x^2 + 12x + 36$
【答案】
$y=x^2+12x+36$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数轴对称变换；二次函数式互化
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础常考题，核心是掌握平移变换和对称变换的坐标变化规律，熟练进行顶点式和一般式的互化，计算时注意不要搞反“左加右减”的平移方向即可。
【难度系数】
0.7
15. 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y=-x^2 + 3x + m $ 的图象经过点 $ A(1,0) $ 与点 $ B(2,n) $。
(1)求 $ m,n $ 的值；
(2)若点 $ C(a,-2),D(b,-2) $ 为该二次函数图象上的两个不同点(其中 $ a,b $ 为常数，$ a＜b $)，求 $ △ BCD $ 的面积。
(1)求 $ m,n $ 的值；
(2)若点 $ C(a,-2),D(b,-2) $ 为该二次函数图象上的两个不同点(其中 $ a,b $ 为常数，$ a＜b $)，求 $ △ BCD $ 的面积。
答案
解:(1)将$A(1,0)$代入$y=-x^2+3x+m$,得$-1+3+m=0$,解得$m=-2$.$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^2+3x-2$.将$B(2,n)$代入$y=-x^2+3x-2$,得$-4+6-2=n$,解得$n=0$.$\therefore m=-2,n=0$.
(2)将$y=-2$代入$y=-x^2+3x-2$,得$-x^2+3x-2=-2$,解得$x=0$或$x=3$.$\therefore a=0,b=3$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-2)$,点$D$的坐标为$(3,-2)$.$\because$点$B$的坐标为$(2,0)$,$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×(3-0)×2=3$.
(2)将$y=-2$代入$y=-x^2+3x-2$,得$-x^2+3x-2=-2$,解得$x=0$或$x=3$.$\therefore a=0,b=3$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-2)$,点$D$的坐标为$(3,-2)$.$\because$点$B$的坐标为$(2,0)$,$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×(3-0)×2=3$.
解析
【分析】
(1) 二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此先将点A(1,0)代入解析式，得到关于m的一元一次方程，解出m即可得到完整的二次函数解析式，再将点B(2,n)代入解析式就能求出n的值。
(2) 点C、D纵坐标相同，说明两点连线平行于x轴，两点距离为横坐标的差。先将y=-2代入二次函数解析式，解对应的一元二次方程得到a、b的值，即可求出CD的长度；△BCD的高为点B到直线y=-2的竖直距离，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$代入$y=-x^2+3x+m$，得：
$-1^2+3×1+m=0$，即$-1+3+m=0$，解得$m=-2$。
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+3x-2$。
将$B(2,n)$代入$y=-x^2+3x-2$，得：
$-2^2+3×2-2=n$，即$-4+6-2=n$，解得$n=0$。
(2) 将$y=-2$代入$y=-x^2+3x-2$，得：
$-x^2+3x-2=-2$，整理得$x^2-3x=0$，解得$x=0$或$x=3$。
因为$a＜b$，所以$a=0$，$b=3$，即$C(0,-2)$，$D(3,-2)$，则$CD=3-0=3$。
点B坐标为$(2,0)$，点B到直线$y=-2$的距离为$|0-(-2)|=2$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× 高=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) $m=-2$，$n=0$；(2) $△ BCD$的面积为3。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础应用题，考查了代入法求函数参数、二次函数与一元二次方程的关系及三角形面积计算，解题关键是理解纵坐标相同的两点连线平行于x轴，其长度为横坐标之差。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此先将点A(1,0)代入解析式，得到关于m的一元一次方程，解出m即可得到完整的二次函数解析式，再将点B(2,n)代入解析式就能求出n的值。
(2) 点C、D纵坐标相同，说明两点连线平行于x轴，两点距离为横坐标的差。先将y=-2代入二次函数解析式，解对应的一元二次方程得到a、b的值，即可求出CD的长度；△BCD的高为点B到直线y=-2的竖直距离，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$代入$y=-x^2+3x+m$，得：
$-1^2+3×1+m=0$，即$-1+3+m=0$，解得$m=-2$。
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+3x-2$。
将$B(2,n)$代入$y=-x^2+3x-2$，得：
$-2^2+3×2-2=n$，即$-4+6-2=n$，解得$n=0$。
(2) 将$y=-2$代入$y=-x^2+3x-2$，得：
$-x^2+3x-2=-2$，整理得$x^2-3x=0$，解得$x=0$或$x=3$。
因为$a＜b$，所以$a=0$，$b=3$，即$C(0,-2)$，$D(3,-2)$，则$CD=3-0=3$。
点B坐标为$(2,0)$，点B到直线$y=-2$的距离为$|0-(-2)|=2$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× 高=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) $m=-2$，$n=0$；(2) $△ BCD$的面积为3。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础应用题，考查了代入法求函数参数、二次函数与一元二次方程的关系及三角形面积计算，解题关键是理解纵坐标相同的两点连线平行于x轴，其长度为横坐标之差。
【难度系数】
0.8
16.已知抛物线$y=ax^2-2ax-3+2a^2(a≠0).$
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求其解析式；
(3)设点$P(m,y_1),Q(3,y_2)$在抛物线上,若$y_1＜y_2$,求$m$的取值范围.
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求其解析式；
(3)设点$P(m,y_1),Q(3,y_2)$在抛物线上,若$y_1＜y_2$,求$m$的取值范围.
答案
解:(1)抛物线的对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$.
(2)$\because$抛物线的顶点在$x$轴上,$\therefore \frac{4a(-3+2a^2)-(-2a)^2}{4a}=0$(其中$a≠0$),$\therefore 2a^2-a-3=0$,解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-1$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^2+2x-1$.
(3)$\because$抛物线的对称轴为$x=1$,$\therefore$点$Q(3,y_2)$关于$x=1$的对称点的坐标为$(-1,y_2)$.$\because y_1＜y_2$,$\therefore$当$a＞0$时,$-1＜m＜3$;当$a＜0$时,$m＜-1$或$m＞3$.
(2)$\because$抛物线的顶点在$x$轴上,$\therefore \frac{4a(-3+2a^2)-(-2a)^2}{4a}=0$(其中$a≠0$),$\therefore 2a^2-a-3=0$,解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-1$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^2+2x-1$.
(3)$\because$抛物线的对称轴为$x=1$,$\therefore$点$Q(3,y_2)$关于$x=1$的对称点的坐标为$(-1,y_2)$.$\because y_1＜y_2$,$\therefore$当$a＞0$时,$-1＜m＜3$;当$a＜0$时,$m＜-1$或$m＞3$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数对称轴可直接套用公式$x=-\frac{b}{2a}$，从给定解析式中提取对应系数代入计算即可，也可通过配方转化为顶点式得到对称轴。
(2) 抛物线顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=0(a≠0)$列方程求解参数$a$，再将$a$代回原解析式即可得到结果。
(3) 先根据对称轴求出点$Q$关于对称轴的对称点，再结合二次函数增减性分类讨论：开口方向不同时，函数值随自变量的变化规律相反，根据$y_1＜y_2$的条件分别确定$m$的取值范围，注意不要漏分类。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
即抛物线对称轴为直线$x=1$。
(2) $\because$抛物线顶点在$x$轴上，$\therefore$顶点纵坐标为0，即$\frac{4ac-b^2}{4a}=0(a≠0)$。
将$a=a$，$b=-2a$，$c=-3+2a^2$代入，化简得：
$2a^2 - a - 3 = 0$
因式分解得$(2a-3)(a+1)=0$，解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-1$。
将$a$的值代回原解析式，得抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^2+2x-1$。
(3) $\because$抛物线对称轴为直线$x=1$，$\therefore$点$Q(3,y_2)$关于直线$x=1$的对称点为$(-1,y_2)$。
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，$\because y_1＜y_2$，$\therefore -1＜m＜3$；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越远函数值越小，$\because y_1＜y_2$，$\therefore m＜-1$或$m＞3$。
【答案】
(1) 直线$\boldsymbol{x=1}$；
(2) $\boldsymbol{y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{y=-x^2+2x-1}$；
(3) 当$a＞0$时，$\boldsymbol{-1＜m＜3}$；当$a＜0$时，$\boldsymbol{m＜-1}$或$\boldsymbol{m＞3}$。
【知识点】
1. 二次函数对称轴求解
2. 二次函数顶点性质
3. 二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，前两问考查核心公式的直接应用，难度较低；第三问需要结合开口方向分类讨论，考查分类讨论思想的应用，需注意不要遗漏情况。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数对称轴可直接套用公式$x=-\frac{b}{2a}$，从给定解析式中提取对应系数代入计算即可，也可通过配方转化为顶点式得到对称轴。
(2) 抛物线顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=0(a≠0)$列方程求解参数$a$，再将$a$代回原解析式即可得到结果。
(3) 先根据对称轴求出点$Q$关于对称轴的对称点，再结合二次函数增减性分类讨论：开口方向不同时，函数值随自变量的变化规律相反，根据$y_1＜y_2$的条件分别确定$m$的取值范围，注意不要漏分类。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
即抛物线对称轴为直线$x=1$。
(2) $\because$抛物线顶点在$x$轴上，$\therefore$顶点纵坐标为0，即$\frac{4ac-b^2}{4a}=0(a≠0)$。
将$a=a$，$b=-2a$，$c=-3+2a^2$代入，化简得：
$2a^2 - a - 3 = 0$
因式分解得$(2a-3)(a+1)=0$，解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-1$。
将$a$的值代回原解析式，得抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^2+2x-1$。
(3) $\because$抛物线对称轴为直线$x=1$，$\therefore$点$Q(3,y_2)$关于直线$x=1$的对称点为$(-1,y_2)$。
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，$\because y_1＜y_2$，$\therefore -1＜m＜3$；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越远函数值越小，$\because y_1＜y_2$，$\therefore m＜-1$或$m＞3$。
【答案】
(1) 直线$\boldsymbol{x=1}$；
(2) $\boldsymbol{y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{y=-x^2+2x-1}$；
(3) 当$a＞0$时，$\boldsymbol{-1＜m＜3}$；当$a＜0$时，$\boldsymbol{m＜-1}$或$\boldsymbol{m＞3}$。
【知识点】
1. 二次函数对称轴求解
2. 二次函数顶点性质
3. 二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，前两问考查核心公式的直接应用，难度较低；第三问需要结合开口方向分类讨论，考查分类讨论思想的应用，需注意不要遗漏情况。
【难度系数】
0.7
