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1. 已知二次函数$y=2x^2 -4x -6.$
(1)用配方法将$y=2x^2 -4x -6$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为________；
(2)该二次函数图象的对称轴是________，顶点是________；
(3)当$x\_\_\_\_\_\_$时，$y$随$x$的增大而减小。
(1)用配方法将$y=2x^2 -4x -6$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为________；
(2)该二次函数图象的对称轴是________，顶点是________；
(3)当$x\_\_\_\_\_\_$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案
(1)$y=2(x-1)^2 -8$ (2)$x=1$，$(1,-8)$ (3)$＜1$
解析
【分析】
本题考查二次函数配方法及顶点式的相关性质，解题思路如下：1. 第一问配方法转化为顶点式：先提取二次项系数，将二次项与一次项组合，再凑完全平方，最后化简得到指定形式；2. 第二问根据顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的结构，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应读取即可；3. 第三问先由二次项系数判断抛物线开口方向，开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，开口向下时相反，结合对称轴即可得到增减区间。
【解析】
(1) 用配方法变形：
$y=2x^2 -4x -6$
先提取二次项系数2，将二次项、一次项组合：
$y=2(x^2 -2x) -6$
凑完全平方，$x^2-2x=(x-1)^2 -1$，代入得：
$y=2[(x-1)^2 -1] -6$
去括号化简：
$y=2(x-1)^2 -2 -6 = 2(x-1)^2 -8$
(2) 由顶点式$y=2(x-1)^2 -8$，可得$h=1$，$k=-8$，因此二次函数图象的对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-8)$。
(3) 二次项系数$a=2＞0$，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，即当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)$y=2(x-1)^2 -8$ (2)$x=1$，$(1,-8)$ (3)$＜1$
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查配方法的运算步骤以及顶点式对应的图象性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数配方法及顶点式的相关性质，解题思路如下：1. 第一问配方法转化为顶点式：先提取二次项系数，将二次项与一次项组合，再凑完全平方，最后化简得到指定形式；2. 第二问根据顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的结构，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应读取即可；3. 第三问先由二次项系数判断抛物线开口方向，开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，开口向下时相反，结合对称轴即可得到增减区间。
【解析】
(1) 用配方法变形：
$y=2x^2 -4x -6$
先提取二次项系数2，将二次项、一次项组合：
$y=2(x^2 -2x) -6$
凑完全平方，$x^2-2x=(x-1)^2 -1$，代入得：
$y=2[(x-1)^2 -1] -6$
去括号化简：
$y=2(x-1)^2 -2 -6 = 2(x-1)^2 -8$
(2) 由顶点式$y=2(x-1)^2 -8$，可得$h=1$，$k=-8$，因此二次函数图象的对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-8)$。
(3) 二次项系数$a=2＞0$，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，即当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)$y=2(x-1)^2 -8$ (2)$x=1$，$(1,-8)$ (3)$＜1$
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查配方法的运算步骤以及顶点式对应的图象性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.(徐州中考)二次函数$y=x^2+x+1$的最小值为
$\frac{3}{4}$
。答案
$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
要求二次函数的最小值，首先观察二次项系数a=1＞0，可知抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值。我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或者直接用二次函数的最值公式计算，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数配方化为顶点式：
$y = x^2 + x + 1$
$= x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1$
$= (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
$\because (x + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$\frac{3}{4}$。
方法二（公式法）：
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$，当$a＞0$时，最小值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=1$，$c=1$，代入得：
最小值$= \frac{4×1×1 - 1^2}{4×1} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，熟练掌握配方法或二次函数最值公式即可快速求解，解题时需先根据二次项系数的正负判断函数取最大值还是最小值，避免出错。
【难度系数】
0.8
要求二次函数的最小值，首先观察二次项系数a=1＞0，可知抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值。我们可以通过配方法将函数化为顶点式，或者直接用二次函数的最值公式计算，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数配方化为顶点式：
$y = x^2 + x + 1$
$= x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1$
$= (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
$\because (x + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$\frac{3}{4}$。
方法二（公式法）：
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$，当$a＞0$时，最小值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=1$，$c=1$，代入得：
最小值$= \frac{4×1×1 - 1^2}{4×1} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，熟练掌握配方法或二次函数最值公式即可快速求解，解题时需先根据二次项系数的正负判断函数取最大值还是最小值，避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $（$ m $ 是常数）的顶点在第
一
象限。答案
一
解析
【分析】
要判断抛物线顶点所在的象限，需先求出顶点坐标，再判断横、纵坐标的正负：首先可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；再根据平方的非负性判断纵坐标的符号，结合横坐标的符号，最终根据象限内点的坐标特征确定顶点所在象限。
【解析】
先对抛物线解析式进行配方，转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2x + m^2 + 2\\&=(x^2 - 2x + 1) + m^2 + 2 - 1\\&=(x-1)^2 + (m^2 + 1)\end{aligned}$
因此抛物线的顶点坐标为$(1, m^2 + 1)$。
其中横坐标$1＞0$；
根据平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$m^2 + 1≥1＞0$，即纵坐标也为正数。
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为正的点在第一象限，因此该抛物线顶点在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的顶点坐标；非负数的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的性质，核心是掌握二次函数一般式化顶点式的方法，结合非负性判断点的坐标符号，属于基础题型，熟练掌握顶点坐标的求法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线顶点所在的象限，需先求出顶点坐标，再判断横、纵坐标的正负：首先可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；再根据平方的非负性判断纵坐标的符号，结合横坐标的符号，最终根据象限内点的坐标特征确定顶点所在象限。
【解析】
先对抛物线解析式进行配方，转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2x + m^2 + 2\\&=(x^2 - 2x + 1) + m^2 + 2 - 1\\&=(x-1)^2 + (m^2 + 1)\end{aligned}$
因此抛物线的顶点坐标为$(1, m^2 + 1)$。
其中横坐标$1＞0$；
根据平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$m^2 + 1≥1＞0$，即纵坐标也为正数。
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为正的点在第一象限，因此该抛物线顶点在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的顶点坐标；非负数的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的性质，核心是掌握二次函数一般式化顶点式的方法，结合非负性判断点的坐标符号，属于基础题型，熟练掌握顶点坐标的求法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.(安阳期末)已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(-1,1)$和$(3,1)$，那么此二次函数图象的对称轴为
$x=1$
.答案
$x=1$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数的图象性质，抛物线是轴对称图形，若抛物线上两个点的纵坐标相同，则这两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴经过这两个点连线的中点且垂直于x轴。因此我们只需要计算已知两点横坐标的平均值，即可得到对称轴对应的x值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(-1,1)$和$(3,1)$，
∴这两个点的纵坐标相等，是抛物线上的一组对称点，
∴二次函数图象的对称轴为这两点横坐标的平均值对应的直线，
即$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
故此二次函数的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
二次函数的对称性；对称轴求解
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题关键是抓住纵坐标相等的两个点关于对称轴对称这一性质，无需代入解析式计算即可快速求出对称轴，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆二次函数的图象性质，抛物线是轴对称图形，若抛物线上两个点的纵坐标相同，则这两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴经过这两个点连线的中点且垂直于x轴。因此我们只需要计算已知两点横坐标的平均值，即可得到对称轴对应的x值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(-1,1)$和$(3,1)$，
∴这两个点的纵坐标相等，是抛物线上的一组对称点，
∴二次函数图象的对称轴为这两点横坐标的平均值对应的直线，
即$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
故此二次函数的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
二次函数的对称性；对称轴求解
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题关键是抓住纵坐标相等的两个点关于对称轴对称这一性质，无需代入解析式计算即可快速求出对称轴，难度较低。
【难度系数】
0.9
5.【开放性试题】(广东中考)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，把点$(c,0)$代入函数表达式得到关于b、c的等式；再结合“函数不经过原点”的条件，可知常数项$c≠0$，由此对等式化简得到b和c的数量关系；最后选取一个不为0的c值，算出对应的b，就能写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
1. 代入已知点列等式：将点$(c,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得：
$0=-c^2 + bc + c$ ①
2. 结合限制条件化简：因为函数不经过原点，所以当$x=0$时$y=c≠0$，可将①式两边同时除以$c$，得：
$0=-c + b +1$，整理得$b=c-1$
3. 赋值构造表达式：选取不为0的c值计算对应b即可，例如取$c=2$，则$b=2-1=1$，代入得表达式$y=-x^2+x+2$，符合要求。
【答案】
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是开放性基础题，解题核心是先通过已知条件推导出系数b和c的数量关系，再结合限制条件赋值即可，答案不唯一，主要考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，把点$(c,0)$代入函数表达式得到关于b、c的等式；再结合“函数不经过原点”的条件，可知常数项$c≠0$，由此对等式化简得到b和c的数量关系；最后选取一个不为0的c值，算出对应的b，就能写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
1. 代入已知点列等式：将点$(c,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得：
$0=-c^2 + bc + c$ ①
2. 结合限制条件化简：因为函数不经过原点，所以当$x=0$时$y=c≠0$，可将①式两边同时除以$c$，得：
$0=-c + b +1$，整理得$b=c-1$
3. 赋值构造表达式：选取不为0的c值计算对应b即可，例如取$c=2$，则$b=2-1=1$，代入得表达式$y=-x^2+x+2$，符合要求。
【答案】
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是开放性基础题，解题核心是先通过已知条件推导出系数b和c的数量关系，再结合限制条件赋值即可，答案不唯一，主要考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6.(攀枝花中考)关于抛物线$y=-x^2+6x-7$，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是$x=-3$
C.与$y$轴的交点是$(0,7)$
D.顶点是$(3,2)$
D
）A.开口向上
B.对称轴是$x=-3$
C.与$y$轴的交点是$(0,7)$
D.顶点是$(3,2)$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题思路是结合二次函数的相关公式，逐个验证选项的正确性，排除错误选项后得到正确答案。首先回忆二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标的计算方法，再代入题干中函数的系数逐一计算判断即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2+6x-7$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=-1$，$b=6$，$c=-7$。
1. 判断选项A：二次函数开口方向由$a$的符号决定，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A错误。
2. 判断选项B：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴是$x=3$，B错误。
3. 判断选项C：求与y轴交点时令$x=0$，代入解析式得$y=-0^2+6×0-7=-7$，即与y轴交点为$(0,-7)$，C错误。
4. 判断选项D：用配方法将解析式化为顶点式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x)-7=-(x^2-6x+9-9)-7=-(x-3)^2+2$
可得顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数开口方向判断
2. 二次函数对称轴与顶点计算
3. 二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握二次函数一般式相关的计算公式，通过逐个排除错误选项即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题思路是结合二次函数的相关公式，逐个验证选项的正确性，排除错误选项后得到正确答案。首先回忆二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标的计算方法，再代入题干中函数的系数逐一计算判断即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2+6x-7$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=-1$，$b=6$，$c=-7$。
1. 判断选项A：二次函数开口方向由$a$的符号决定，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A错误。
2. 判断选项B：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴是$x=3$，B错误。
3. 判断选项C：求与y轴交点时令$x=0$，代入解析式得$y=-0^2+6×0-7=-7$，即与y轴交点为$(0,-7)$，C错误。
4. 判断选项D：用配方法将解析式化为顶点式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x)-7=-(x^2-6x+9-9)-7=-(x-3)^2+2$
可得顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数开口方向判断
2. 二次函数对称轴与顶点计算
3. 二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，只要熟练掌握二次函数一般式相关的计算公式，通过逐个排除错误选项即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
7.(新乡辉县期末)若二次函数$y=-x^2+6x+c$的图象经过点$A(-1,y_1),B(2,y_2),C(5,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系正确的为（
A.$y_1＞y_3＞y_2$
B.$y_2＞y_3＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
B
）A.$y_1＞y_3＞y_2$
B.$y_2＞y_3＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
B
解析
【分析】
要比较二次函数上三个点的函数值大小，首先分析二次函数的基本性质：先由二次项系数的正负判断开口方向，再求出函数的对称轴，根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，最后计算三个点横坐标到对称轴的距离，即可比较y值大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+6x+c$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，点离对称轴越近，函数值越大。
抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$。
分别计算三个点横坐标到对称轴$x=3$的距离：
点A的横坐标为-1，距离为$|-1-3|=4$；
点B的横坐标为2，距离为$|2-3|=1$；
点C的横坐标为5，距离为$|5-3|=2$。
∵$1＜2＜4$，
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数值的大小比较，利用对称轴和开口方向结合点到对称轴的距离判断是最简便的方法，也可以直接将各点横坐标代入解析式计算y值再比较，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数上三个点的函数值大小，首先分析二次函数的基本性质：先由二次项系数的正负判断开口方向，再求出函数的对称轴，根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，最后计算三个点横坐标到对称轴的距离，即可比较y值大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+6x+c$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，点离对称轴越近，函数值越大。
抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$。
分别计算三个点横坐标到对称轴$x=3$的距离：
点A的横坐标为-1，距离为$|-1-3|=4$；
点B的横坐标为2，距离为$|2-3|=1$；
点C的横坐标为5，距离为$|5-3|=2$。
∵$1＜2＜4$，
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数值的大小比较，利用对称轴和开口方向结合点到对称轴的距离判断是最简便的方法，也可以直接将各点横坐标代入解析式计算y值再比较，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 二次函数$y=x^2+bx+3$的图象经过点$(3,0)$。
(1)求$b$的值；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)在所给平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^2+bx+3$的图象。
(1)求$b$的值；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)在所给平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^2+bx+3$的图象。
答案
解:(1)由题意,将点$(3,0)$代入$y=x^2+bx+3$,得$9+3b+3=0$,解得$b=-4$。
(2)由(1),得$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,则该二次函数图象的顶点坐标是$(2,-1)$,对称轴是$x=2$。
(3)如图所示即为所求。
解析
【分析】
(1) 要确定参数b的值，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将已知点(3,0)代入二次函数解析式，就能得到关于b的一元一次方程，解方程即可求出b。
(2) 求二次函数的顶点坐标和对称轴，先将第一问求出的b代入得到完整的解析式，再通过配方法把一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，就可以直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，这种方法计算简便，符合当前学段知识要求。
(3) 画二次函数图象时，先确定几个关键的点：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点以及y轴交点关于对称轴的对称点，再用平滑的曲线顺次连接这些点即可得到函数图象。
【解析】
(1) 把点$(3,0)$代入$y=x^2+bx+3$，可得：
$3^2+3b+3=0$
整理得$12+3b=0$，解得$b=-4$。
(2) 将$b=-4$代入解析式，得$y=x^2-4x+3$，对其配方：
$y=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
根据顶点式的性质，可得该二次函数图象的顶点坐标是$(2,-1)$，对称轴是直线$x=2$。
(3) 先确定关键点：顶点$(2,-1)$，与x轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$，以及$(0,3)$关于对称轴的对称点$(4,3)$，在坐标系中描出上述点后，用平滑曲线顺次连接，所得图象即为所求，如图：
【答案】
(1) $b=-4$
(2) 顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$
(3)
【知识点】
待定系数法求参数，二次函数的顶点与对称轴，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数的基础题，围绕二次函数的核心基础性质设置问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法的应用、配方法化一般式为顶点式的操作，以及二次函数描点画图的方法。
【难度系数】
0.85
(1) 要确定参数b的值，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将已知点(3,0)代入二次函数解析式，就能得到关于b的一元一次方程，解方程即可求出b。
(2) 求二次函数的顶点坐标和对称轴，先将第一问求出的b代入得到完整的解析式，再通过配方法把一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，就可以直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，这种方法计算简便，符合当前学段知识要求。
(3) 画二次函数图象时，先确定几个关键的点：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点以及y轴交点关于对称轴的对称点，再用平滑的曲线顺次连接这些点即可得到函数图象。
【解析】
(1) 把点$(3,0)$代入$y=x^2+bx+3$，可得：
$3^2+3b+3=0$
整理得$12+3b=0$，解得$b=-4$。
(2) 将$b=-4$代入解析式，得$y=x^2-4x+3$，对其配方：
$y=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
根据顶点式的性质，可得该二次函数图象的顶点坐标是$(2,-1)$，对称轴是直线$x=2$。
(3) 先确定关键点：顶点$(2,-1)$，与x轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$，以及$(0,3)$关于对称轴的对称点$(4,3)$，在坐标系中描出上述点后，用平滑曲线顺次连接，所得图象即为所求，如图：
【答案】
(1) $b=-4$
(2) 顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$
(3)
【知识点】
待定系数法求参数，二次函数的顶点与对称轴，二次函数图象画法
【点评】
本题是二次函数的基础题，围绕二次函数的核心基础性质设置问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法的应用、配方法化一般式为顶点式的操作，以及二次函数描点画图的方法。
【难度系数】
0.85
9. 将抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 向上平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是
（
A.开口大小改变
B.开口方向改变
C.对称轴不变
D.顶点位置不变
（
C
）A.开口大小改变
B.开口方向改变
C.对称轴不变
D.顶点位置不变
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确二次函数上下平移的解析式变化规律：上下平移仅改变函数的常数项，二次项系数a、一次项系数b均保持不变。再结合二次函数各性质的决定因素逐一判断选项：开口大小和方向由a决定，对称轴由a和b共同决定，顶点位置由a、b、c共同决定，由此可逐一排除错误选项，得到正确答案。
【解析】
将抛物线$y=ax^2+bx+c$向上平移时，新抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c+k$（$k＞0$），仅常数项发生变化，$a$、$b$均不变。
对各选项逐一分析：
A. 抛物线开口大小由二次项系数$a$的绝对值决定，平移前后$a$不变，故开口大小不变，A错误；
B. 抛物线开口方向由二次项系数$a$的符号决定，平移前后$a$不变，故开口方向不变，B错误；
C. 抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，平移前后$a$、$b$均不变，故对称轴不变，C正确；
D. 平移后抛物线顶点的纵坐标增大，横坐标不变，故顶点位置发生改变，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数平移时的性质变化，属于基础概念类考题，只要牢记二次函数中各系数对应的图象特征，以及平移时的参数变化规律，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数上下平移的解析式变化规律：上下平移仅改变函数的常数项，二次项系数a、一次项系数b均保持不变。再结合二次函数各性质的决定因素逐一判断选项：开口大小和方向由a决定，对称轴由a和b共同决定，顶点位置由a、b、c共同决定，由此可逐一排除错误选项，得到正确答案。
【解析】
将抛物线$y=ax^2+bx+c$向上平移时，新抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c+k$（$k＞0$），仅常数项发生变化，$a$、$b$均不变。
对各选项逐一分析：
A. 抛物线开口大小由二次项系数$a$的绝对值决定，平移前后$a$不变，故开口大小不变，A错误；
B. 抛物线开口方向由二次项系数$a$的符号决定，平移前后$a$不变，故开口方向不变，B错误；
C. 抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，平移前后$a$、$b$均不变，故对称轴不变，C正确；
D. 平移后抛物线顶点的纵坐标增大，横坐标不变，故顶点位置发生改变，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数平移时的性质变化，属于基础概念类考题，只要牢记二次函数中各系数对应的图象特征，以及平移时的参数变化规律，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 将抛物线$y=x^2 -4x -4$先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的解析式为（
A.$y=(x+1)^2 -13$
B.$y=(x-5)^2 -3$
C.$y=(x-5)^2 -13$
D.$y=(x+1)^2 -3$
D
）A.$y=(x+1)^2 -13$
B.$y=(x-5)^2 -3$
C.$y=(x-5)^2 -13$
D.$y=(x+1)^2 -3$
答案
D
解析
【分析】
要解决二次函数图象平移的问题，首先需要将给定的一般式二次函数转化为顶点式，方便后续平移计算。平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：左右平移时对自变量x进行操作（左移加、右移减），上下平移时对常数项进行操作（上移加、下移减）。我们先对原式配方得到顶点式，再按平移规则逐步计算即可得到平移后的解析式。
【解析】
步骤1：将原抛物线解析式化为顶点式
对$y=x^2 -4x -4$配方：
$\begin{aligned}y&=x^2 -4x -4\\&=(x^2-4x+4)-4-4\\&=(x-2)^2 -8\end{aligned}$
步骤2：按平移规则计算新解析式
①先向左平移3个单位长度，根据“左加右减”，将$x$替换为$x+3$：
$y=(x+3-2)^2 -8=(x+1)^2 -8$
②再向上平移5个单位长度，根据“上加下减”，给常数项加5：
$y=(x+1)^2 -8+5=(x+1)^2 -3$
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数平移规律 2.二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，解题时先将一般式转化为顶点式再进行平移运算，能有效避免计算错误，注意左右平移是针对自变量$x$本身进行操作，不要错对括号内的整体加减。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数图象平移的问题，首先需要将给定的一般式二次函数转化为顶点式，方便后续平移计算。平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：左右平移时对自变量x进行操作（左移加、右移减），上下平移时对常数项进行操作（上移加、下移减）。我们先对原式配方得到顶点式，再按平移规则逐步计算即可得到平移后的解析式。
【解析】
步骤1：将原抛物线解析式化为顶点式
对$y=x^2 -4x -4$配方：
$\begin{aligned}y&=x^2 -4x -4\\&=(x^2-4x+4)-4-4\\&=(x-2)^2 -8\end{aligned}$
步骤2：按平移规则计算新解析式
①先向左平移3个单位长度，根据“左加右减”，将$x$替换为$x+3$：
$y=(x+3-2)^2 -8=(x+1)^2 -8$
②再向上平移5个单位长度，根据“上加下减”，给常数项加5：
$y=(x+1)^2 -8+5=(x+1)^2 -3$
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数平移规律 2.二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，解题时先将一般式转化为顶点式再进行平移运算，能有效避免计算错误，注意左右平移是针对自变量$x$本身进行操作，不要错对括号内的整体加减。
【难度系数】
0.8
