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12.已知二次函数$y=(x-2)^2 -2$，当$-1≤ x≤3$时，$y$的取值范围是
$-2≤ y≤7$
。答案
12.$-2≤ y≤7$
解析
【分析】
首先该二次函数为顶点式，先明确其基础性质：二次项系数a=1＞0，函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,-2)。接下来判断对称轴是否落在给定的x取值范围[-1,3]内，开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，再计算区间两个端点对应的函数值，比较大小得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=(x-2)^2 -2$：
1. 由解析式得二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-2)$。
2. 因为对称轴$x=2$在区间$-1≤ x≤3$内，所以当$x=2$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=-2$。
3. 分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2 -2=9-2=7$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2 -2=1-2=-1$。
4. 比较两个端点的函数值，$7＞-1$，因此当$x=-1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=7$。
综上可得y的取值范围。
【答案】
$-2≤ y≤7$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值计算；二次函数区间取值
【点评】
本题考查二次函数在指定区间内的取值范围求解，解题核心是先通过顶点式确定函数的开口方向、对称轴和顶点，优先判断顶点是否在给定区间内，再结合开口方向判断最值位置，不要直接仅代入区间端点计算，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.75
首先该二次函数为顶点式，先明确其基础性质：二次项系数a=1＞0，函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,-2)。接下来判断对称轴是否落在给定的x取值范围[-1,3]内，开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，再计算区间两个端点对应的函数值，比较大小得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=(x-2)^2 -2$：
1. 由解析式得二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-2)$。
2. 因为对称轴$x=2$在区间$-1≤ x≤3$内，所以当$x=2$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=-2$。
3. 分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2 -2=9-2=7$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2 -2=1-2=-1$。
4. 比较两个端点的函数值，$7＞-1$，因此当$x=-1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=7$。
综上可得y的取值范围。
【答案】
$-2≤ y≤7$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值计算；二次函数区间取值
【点评】
本题考查二次函数在指定区间内的取值范围求解，解题核心是先通过顶点式确定函数的开口方向、对称轴和顶点，优先判断顶点是否在给定区间内，再结合开口方向判断最值位置，不要直接仅代入区间端点计算，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.75
13.【新定义试题】若抛物线$C_1$的顶点在抛物线$C_2$上，而抛物线$C_2$的顶点又在抛物线$C_1$上(两个顶点不重合)，那么称抛物线$C_1$和$C_2$互为“和谐抛物线”.已知抛物线$C$：$y=2(x-1)^2+2$与$y$轴交于点$A$，点$B$与点$A$关于抛物线$C$的对称轴对称，那么以点$B$为顶点的抛物线$C$的“和谐抛物线”的表达式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
13.$y=-2(x-2)^2+4$
解析
【分析】
解题思路分三步：①先求已知抛物线C的顶点坐标、对称轴，以及它与y轴交点A的坐标；②根据轴对称的性质求出点B的坐标，B就是所求和谐抛物线的顶点；③设出以B为顶点的抛物线的顶点式，根据“和谐抛物线”的定义，抛物线C的顶点在待求抛物线上，将C的顶点坐标代入即可求出未知系数，得到解析式。
【解析】
1. 求抛物线C的基本信息：抛物线$C:y=2(x-1)^2+2$是顶点式，其顶点$P$的坐标为$(1,2)$，对称轴为直线$x=1$。
2. 求点A、B的坐标：令$x=0$，代入$C$的解析式得$y=2×(0-1)^2+2=4$，故$A(0,4)$；点B与A关于对称轴$x=1$对称，纵坐标不变，横坐标满足$\frac{0+x_B}{2}=1$，解得$x_B=2$，故$B(2,4)$。
3. 设待求抛物线解析式：因为待求抛物线以$B(2,4)$为顶点，设其解析式为$y=a(x-2)^2+4$。
4. 利用“和谐抛物线”定义求系数：根据定义，抛物线C的顶点$P(1,2)$需在待求抛物线上，将$(1,2)$代入解析式得：
$2=a×(1-2)^2+4$
解得$a=-2$。
因此待求抛物线的表达式为$y=-2(x-2)^2+4$。
【答案】
$y=-2(x-2)^2+4$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数对称性，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基本性质，解题的核心是准确理解“和谐抛物线”的定义，结合顶点式的特点代入点求解系数，需注意新定义的两个约束条件都要满足，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：①先求已知抛物线C的顶点坐标、对称轴，以及它与y轴交点A的坐标；②根据轴对称的性质求出点B的坐标，B就是所求和谐抛物线的顶点；③设出以B为顶点的抛物线的顶点式，根据“和谐抛物线”的定义，抛物线C的顶点在待求抛物线上，将C的顶点坐标代入即可求出未知系数，得到解析式。
【解析】
1. 求抛物线C的基本信息：抛物线$C:y=2(x-1)^2+2$是顶点式，其顶点$P$的坐标为$(1,2)$，对称轴为直线$x=1$。
2. 求点A、B的坐标：令$x=0$，代入$C$的解析式得$y=2×(0-1)^2+2=4$，故$A(0,4)$；点B与A关于对称轴$x=1$对称，纵坐标不变，横坐标满足$\frac{0+x_B}{2}=1$，解得$x_B=2$，故$B(2,4)$。
3. 设待求抛物线解析式：因为待求抛物线以$B(2,4)$为顶点，设其解析式为$y=a(x-2)^2+4$。
4. 利用“和谐抛物线”定义求系数：根据定义，抛物线C的顶点$P(1,2)$需在待求抛物线上，将$(1,2)$代入解析式得：
$2=a×(1-2)^2+4$
解得$a=-2$。
因此待求抛物线的表达式为$y=-2(x-2)^2+4$。
【答案】
$y=-2(x-2)^2+4$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数对称性，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基本性质，解题的核心是准确理解“和谐抛物线”的定义，结合顶点式的特点代入点求解系数，需注意新定义的两个约束条件都要满足，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.7
14. 二次函数 $y=a(x+m)^2+n$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=mx+n$ 的图象经过（
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
C
）A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
答案
14.C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，再结合图象判断顶点所在象限，从而得到$m$、$n$的正负，最后根据一次函数的系数与图象的关系，判断一次函数经过的象限即可。
【解析】
解：二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m, n)$。
由图象可知，二次函数的顶点在第四象限，因此顶点的横坐标为正、纵坐标为负，可得：
$\begin{cases}-m＞0 \\ n＜0\end{cases}$
解得$m＜0$，$n＜0$。
对于一次函数$y=mx+n$：
① 斜率$m＜0$，函数图象呈下降趋势，经过第二、四象限；
② 常数项$n＜0$，函数图象与$y$轴交于负半轴，因此还经过第三象限。
综上，一次函数$y=mx+n$的图象经过第二、三、四象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象性质，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心是掌握两类函数的系数和图象特征的对应关系，通过图象提取有效信息判断系数正负是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，再结合图象判断顶点所在象限，从而得到$m$、$n$的正负，最后根据一次函数的系数与图象的关系，判断一次函数经过的象限即可。
【解析】
解：二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m, n)$。
由图象可知，二次函数的顶点在第四象限，因此顶点的横坐标为正、纵坐标为负，可得：
$\begin{cases}-m＞0 \\ n＜0\end{cases}$
解得$m＜0$，$n＜0$。
对于一次函数$y=mx+n$：
① 斜率$m＜0$，函数图象呈下降趋势，经过第二、四象限；
② 常数项$n＜0$，函数图象与$y$轴交于负半轴，因此还经过第三象限。
综上，一次函数$y=mx+n$的图象经过第二、三、四象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象性质，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心是掌握两类函数的系数和图象特征的对应关系，通过图象提取有效信息判断系数正负是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15.(教材P41例2变式)在体育测试中,九年级的一名男生推铅球,已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示.已知这个男生的出手处A点的坐标是$(0,2)$,铅球路线的最高处B点的坐标是$(4,\frac{8}{3})$.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男生能把铅球推出去多远?
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男生能把铅球推出去多远?
答案
15.解:(1)
∵抛物线的顶点是$(4,\frac{8}{3})$,
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{8}{3}$. 又
∵抛物线经过点$(0,2)$,
∴$16a+\frac{8}{3}=2$,解得$a=-\frac{1}{24}$.
∴二次函数的解析式是$y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}$.
(2)令$y=0$,得$-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}=0$,解得$x_1=-4$(舍去),$x_2=12$. 答:该男生能把铅球推出去12米.
∵抛物线的顶点是$(4,\frac{8}{3})$,
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{8}{3}$. 又
∵抛物线经过点$(0,2)$,
∴$16a+\frac{8}{3}=2$,解得$a=-\frac{1}{24}$.
∴二次函数的解析式是$y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}$.
(2)令$y=0$,得$-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}=0$,解得$x_1=-4$(舍去),$x_2=12$. 答:该男生能把铅球推出去12米.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象的顶点坐标为$(4,\frac{8}{3})$，优先选择顶点式设函数解析式，将顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再代入已知点$A(0,2)$即可求出未知系数$a$，得到解析式。
(2) 铅球落地时高度为0，因此令函数中$y=0$，解对应的一元二次方程，得到的正根就是铅球推出的水平距离，负根不符合实际意义需舍去。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为$(4,\frac{8}{3})$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{8}{3}$。
又
∵抛物线经过点$A(0,2)$，将点代入解析式得：
$16a+\frac{8}{3}=2$，
解得$a=-\frac{1}{24}$，
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}$。
(2) 铅球落地时$y=0$，令$y=0$代入解析式得：
$-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}=0$，
整理得$(x-4)^2=64$，
解得$x_1=12$，$x_2=-4$，
距离不能为负，舍去$x_2=-4$，即推出的距离为12米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}$；
(2) 12米
【知识点】
二次函数顶点式求解析式，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题关键是结合已知条件选择合适的解析式形式，求解后注意结合实际场景对解进行取舍，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图象的顶点坐标为$(4,\frac{8}{3})$，优先选择顶点式设函数解析式，将顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，再代入已知点$A(0,2)$即可求出未知系数$a$，得到解析式。
(2) 铅球落地时高度为0，因此令函数中$y=0$，解对应的一元二次方程，得到的正根就是铅球推出的水平距离，负根不符合实际意义需舍去。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为$(4,\frac{8}{3})$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{8}{3}$。
又
∵抛物线经过点$A(0,2)$，将点代入解析式得：
$16a+\frac{8}{3}=2$，
解得$a=-\frac{1}{24}$，
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}$。
(2) 铅球落地时$y=0$，令$y=0$代入解析式得：
$-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}=0$，
整理得$(x-4)^2=64$，
解得$x_1=12$，$x_2=-4$，
距离不能为负，舍去$x_2=-4$，即推出的距离为12米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{8}{3}$；
(2) 12米
【知识点】
二次函数顶点式求解析式，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题关键是结合已知条件选择合适的解析式形式，求解后注意结合实际场景对解进行取舍，难度较低。
【难度系数】
0.7
16.已知抛物线 $ l_1: y=a(x+1)^2 -4(a≠0) $ 经过点A(1,0).
(1)求抛物线 $ l_1 $ 的函数解析式；
(2)将抛物线 $ l_1 $ 向上平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度得到抛物线 $ l_2 $.若抛物线 $ l_2 $ 的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线 $ l_1 $ 上,求m的值；
(3)把抛物线 $ l_1 $ 向右平移 $ n(n＞0) $ 个单位长度得到抛物线 $ l_3 $,若点B(2,y₁),C(4,y₂)在抛物线 $ l_3 $ 上,且 $ y_1＞y_2 $,求n的取值范围.
(1)求抛物线 $ l_1 $ 的函数解析式；
(2)将抛物线 $ l_1 $ 向上平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度得到抛物线 $ l_2 $.若抛物线 $ l_2 $ 的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线 $ l_1 $ 上,求m的值；
(3)把抛物线 $ l_1 $ 向右平移 $ n(n＞0) $ 个单位长度得到抛物线 $ l_3 $,若点B(2,y₁),C(4,y₂)在抛物线 $ l_3 $ 上,且 $ y_1＞y_2 $,求n的取值范围.
答案
16.解:(1)
∵抛物线$y=a(x+1)^2-4$经过点A(1,0),
∴$4a-4=0$,解得$a=1$.
∴抛物线$l_1$的函数解析式为$y=(x+1)^2-4$.
(2)
∵$y=(x+1)^2-4$,
∴抛物线$l_1$的顶点为$(-1,-4)$. 将抛物线$l_1$向上平移$m(m＞0)$个单位长度得到抛物线$l_2$,则抛物线$l_2$的顶点为$(-1,-4+m)$. 而$(-1,-4+m)$关于原点的对称点为$(1,4-m)$,把$(1,4-m)$代入$y=(x+1)^2-4$,得$(1+1)^2-4=4-m$,解得$m=4$.
(3)抛物线$l_1$向右平移$n(n＞0)$个单位长度得到抛物线$l_3$的解析式为$y=(x-n+1)^2-4$.
∵点$B(2,y_1),C(4,y_2)$在抛物线$l_3$上,
∴$y_1=(3-n)^2-4,y_2=(5-n)^2-4$.
∵$y_1＞y_2$,
∴$(3-n)^2-4＞(5-n)^2-4$,解得$n＞4$.
∴n的取值范围为$n＞4$.
∵抛物线$y=a(x+1)^2-4$经过点A(1,0),
∴$4a-4=0$,解得$a=1$.
∴抛物线$l_1$的函数解析式为$y=(x+1)^2-4$.
(2)
∵$y=(x+1)^2-4$,
∴抛物线$l_1$的顶点为$(-1,-4)$. 将抛物线$l_1$向上平移$m(m＞0)$个单位长度得到抛物线$l_2$,则抛物线$l_2$的顶点为$(-1,-4+m)$. 而$(-1,-4+m)$关于原点的对称点为$(1,4-m)$,把$(1,4-m)$代入$y=(x+1)^2-4$,得$(1+1)^2-4=4-m$,解得$m=4$.
(3)抛物线$l_1$向右平移$n(n＞0)$个单位长度得到抛物线$l_3$的解析式为$y=(x-n+1)^2-4$.
∵点$B(2,y_1),C(4,y_2)$在抛物线$l_3$上,
∴$y_1=(3-n)^2-4,y_2=(5-n)^2-4$.
∵$y_1＞y_2$,
∴$(3-n)^2-4＞(5-n)^2-4$,解得$n＞4$.
∴n的取值范围为$n＞4$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线$l_1$为顶点式，且经过点$A(1,0)$，只需将点A坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程即可求出$a$的值，进而得到$l_1$的解析式。
(2) 先确定抛物线$l_1$的顶点坐标，根据“向上平移纵坐标加、横坐标不变”得到平移后抛物线$l_2$的顶点坐标；再求出该顶点关于原点对称的点的坐标（横、纵坐标均变为原数的相反数），将对称点代入$l_1$的解析式即可求出$m$的值。
(3) 根据抛物线平移“左加右减”的规律，写出向右平移$n$个单位后抛物线$l_3$的解析式；将点B、C坐标分别代入$l_3$的解析式表示出$y_1$和$y_2$，结合$y_1＞y_2$列不等式求解，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=a(x+1)^2-4$经过点$A(1,0)$，
∴将$x=1,y=0$代入得：$4a-4=0$，解得$a=1$，
∴抛物线$l_1$的函数解析式为$y=(x+1)^2-4$。
(2)
∵抛物线$l_1$的解析式为$y=(x+1)^2-4$，
∴$l_1$的顶点坐标为$(-1,-4)$，
将$l_1$向上平移$m(m＞0)$个单位得到$l_2$，则$l_2$的顶点坐标为$(-1,-4+m)$，
点$(-1,-4+m)$关于原点O的对称点为$(1,4-m)$，
∵该对称点在$l_1$上，将其代入$l_1$解析式得：$(1+1)^2-4=4-m$，
解得$m=4$。
(3) 将抛物线$l_1$向右平移$n(n＞0)$个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线$l_3$的解析式为$y=(x+1-n)^2-4$，
∵点$B(2,y_1)$、$C(4,y_2)$在抛物线$l_3$上，
∴分别代入得：$y_1=(2+1-n)^2-4=(3-n)^2-4$，$y_2=(4+1-n)^2-4=(5-n)^2-4$，
∵$y_1＞y_2$，
∴$(3-n)^2-4＞(5-n)^2-4$，
整理得：$9-6n+n^2＞25-10n+n^2$，
化简得$4n＞16$，解得$n＞4$，
∴n的取值范围为$n＞4$。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2-4$；
(2) $m=4$；
(3) $n＞4$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象平移规律
3. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，涉及解析式求解、图象平移、坐标对称和不等式求解等内容，难度适中，解题核心是熟练掌握二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则，灵活运用代入法求值、列不等式求解参数范围。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线$l_1$为顶点式，且经过点$A(1,0)$，只需将点A坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程即可求出$a$的值，进而得到$l_1$的解析式。
(2) 先确定抛物线$l_1$的顶点坐标，根据“向上平移纵坐标加、横坐标不变”得到平移后抛物线$l_2$的顶点坐标；再求出该顶点关于原点对称的点的坐标（横、纵坐标均变为原数的相反数），将对称点代入$l_1$的解析式即可求出$m$的值。
(3) 根据抛物线平移“左加右减”的规律，写出向右平移$n$个单位后抛物线$l_3$的解析式；将点B、C坐标分别代入$l_3$的解析式表示出$y_1$和$y_2$，结合$y_1＞y_2$列不等式求解，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=a(x+1)^2-4$经过点$A(1,0)$，
∴将$x=1,y=0$代入得：$4a-4=0$，解得$a=1$，
∴抛物线$l_1$的函数解析式为$y=(x+1)^2-4$。
(2)
∵抛物线$l_1$的解析式为$y=(x+1)^2-4$，
∴$l_1$的顶点坐标为$(-1,-4)$，
将$l_1$向上平移$m(m＞0)$个单位得到$l_2$，则$l_2$的顶点坐标为$(-1,-4+m)$，
点$(-1,-4+m)$关于原点O的对称点为$(1,4-m)$，
∵该对称点在$l_1$上，将其代入$l_1$解析式得：$(1+1)^2-4=4-m$，
解得$m=4$。
(3) 将抛物线$l_1$向右平移$n(n＞0)$个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线$l_3$的解析式为$y=(x+1-n)^2-4$，
∵点$B(2,y_1)$、$C(4,y_2)$在抛物线$l_3$上，
∴分别代入得：$y_1=(2+1-n)^2-4=(3-n)^2-4$，$y_2=(4+1-n)^2-4=(5-n)^2-4$，
∵$y_1＞y_2$，
∴$(3-n)^2-4＞(5-n)^2-4$，
整理得：$9-6n+n^2＞25-10n+n^2$，
化简得$4n＞16$，解得$n＞4$，
∴n的取值范围为$n＞4$。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2-4$；
(2) $m=4$；
(3) $n＞4$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象平移规律
3. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，涉及解析式求解、图象平移、坐标对称和不等式求解等内容，难度适中，解题核心是熟练掌握二次函数平移“左加右减、上加下减”的规则，灵活运用代入法求值、列不等式求解参数范围。
【难度系数】
0.7
