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1.一个二次函数的图象过$(-1,5),(1,1)$和$(3,5)$三个点,则这个二次函数的关系式为（
A.$y=-x^2-2x+2$
B.$y=x^2-2x+2$
C.$y=x^2-2x+1$
D.$y=x^2-2x-2$
B
）A.$y=-x^2-2x+2$
B.$y=x^2-2x+2$
C.$y=x^2-2x+1$
D.$y=x^2-2x-2$
答案
1.B
2.已知二次函数图象经过点$(-1,0),(1,-8)$和$(3,0)$,则它的解析式为
$y=2x^2-4x-6$
.答案
2.$y=2x^2-4x-6$
3.[数形结合]如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,其中点$A(-1,0)$,$C(0,5)$,$D(1,8)$都在抛物线上,$M$为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求直线$CM$的解析式;
(3)求$△ MCB$的面积.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求直线$CM$的解析式;
(3)求$△ MCB$的面积.
答案
3.解:(1)根据题意,得$\begin{cases} a-b+c=0,\\ c=5,\\ a+b+c=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1,\\ b=4,\\ c=5, \end{cases}$ $\therefore$二次函数的解析式为 $y=-x^2+4x+5$.
(2)$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,则 $M$ 点坐标为$(2,9)$,设直线 $MC$ 的解析式为 $y=mx+n$,把 $M(2,9)$和 $C(0,5)$代入,得$\begin{cases} 2m+n=9,\\ n=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=2,\\ n=5, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $CM$ 的解析式为 $y=2x+5$.
(3)设直线 $CM$ 与 $x$ 轴交于点 $E$.把 $y=0$ 代入 $y=2x+5$,得$2x+5=0$,解得 $x=-\dfrac{5}{2}$,则 $E$ 点坐标为$(-\dfrac{5}{2},0)$.把 $y=0$ 代入 $y=-x^2+4x+5$,得$-x^2+4x+5=0$,解得 $x_1=-1,x_2=5$,$\therefore B(5,0)$,$\therefore S_{△ MCB}=S_{△ MBE}-S_{△ CBE}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{15}{2}×9-\dfrac{1}{2}×\dfrac{15}{2}×5=15$.
(2)$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,则 $M$ 点坐标为$(2,9)$,设直线 $MC$ 的解析式为 $y=mx+n$,把 $M(2,9)$和 $C(0,5)$代入,得$\begin{cases} 2m+n=9,\\ n=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=2,\\ n=5, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $CM$ 的解析式为 $y=2x+5$.
(3)设直线 $CM$ 与 $x$ 轴交于点 $E$.把 $y=0$ 代入 $y=2x+5$,得$2x+5=0$,解得 $x=-\dfrac{5}{2}$,则 $E$ 点坐标为$(-\dfrac{5}{2},0)$.把 $y=0$ 代入 $y=-x^2+4x+5$,得$-x^2+4x+5=0$,解得 $x_1=-1,x_2=5$,$\therefore B(5,0)$,$\therefore S_{△ MCB}=S_{△ MBE}-S_{△ CBE}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{15}{2}×9-\dfrac{1}{2}×\dfrac{15}{2}×5=15$.
4.已知抛物线的顶点坐标是$(2,-1)$，且与$y$轴交于点$(0,3)$，这个抛物线的表达式是（
A.$y=x^2 -4x +3$
B.$y=x^2 +4x +3$
C.$y=x^2 +4x -1$
D.$y=x^2 -4x -1$
A
）A.$y=x^2 -4x +3$
B.$y=x^2 +4x +3$
C.$y=x^2 +4x -1$
D.$y=x^2 -4x -1$
答案
4.A
5.若抛物线的顶点为点$(2,3)$且抛物线经过点$(3,1)$，那么抛物线的解析式是（
A.$y=4(x-2)^2 -3$
B.$y=-2(x-2)^2 +3$
C.$y=-2(x-2)^2 -3$
D.$y=-\dfrac{2}{25}(x-2)^2 +3$
B
）A.$y=4(x-2)^2 -3$
B.$y=-2(x-2)^2 +3$
C.$y=-2(x-2)^2 -3$
D.$y=-\dfrac{2}{25}(x-2)^2 +3$
答案
5.B
6.若二次函数$y=ax^2+4ax+c$的最大值为4，且图象过点$(-3,0)$，则二次函数的解析式为
$y=-4(x+2)^2+4$
。答案
6.$y=-4(x+2)^2+4$ ［解析］二次函数的对称轴为直线 $x=-\dfrac{4a}{2a}=-2$,$\therefore$ 二次函数的顶点坐标为$(-2,4)$,设二次函数解析式为 $y=a(x+2)^2+4$,把$(-3,0)$代入,得 $a(-3+2)^2+4=0$,解得 $a=-4$,$\therefore$ 二次函数的解析式为 $y=-4(x+2)^2+4$.
7.根据下列条件求函数表达式.
(1)已知抛物线的顶点在原点,且过点$(3,-27)$,求抛物线的函数表达式;
(2)已知抛物线的顶点在$y$轴上,且经过$(2,2)$和$(1,1)$两点,求抛物线的函数表达式;
(3)已知抛物线的顶点为$(2,0)$,且过点$(-3,5)$,求抛物线的函数表达式.
(1)已知抛物线的顶点在原点,且过点$(3,-27)$,求抛物线的函数表达式;
(2)已知抛物线的顶点在$y$轴上,且经过$(2,2)$和$(1,1)$两点,求抛物线的函数表达式;
(3)已知抛物线的顶点为$(2,0)$,且过点$(-3,5)$,求抛物线的函数表达式.
答案
7.解:(1)设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2$.将点$(3,-27)$代入,得 $a=-3$,$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=-3x^2$.
(2)设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2+k$.把点$(2,2)$和$(1,1)$代入,得$\begin{cases} 4a+k=2,\\ a+k=1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{3},\\ k=\dfrac{2}{3}, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}$.
(3)设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-2)^2$.将点$(-3,5)$代入,得 $a=\dfrac{1}{5}$,$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{5}(x-2)^2$.
(2)设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2+k$.把点$(2,2)$和$(1,1)$代入,得$\begin{cases} 4a+k=2,\\ a+k=1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{3},\\ k=\dfrac{2}{3}, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}$.
(3)设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-2)^2$.将点$(-3,5)$代入,得 $a=\dfrac{1}{5}$,$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{5}(x-2)^2$.
8.二次函数的图象如图所示，则其解析式是
（
A.$y=-x^2+2x+3$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=-x^2-2x+3$
D.$y=-x^2-2x-3$
（
A
）A.$y=-x^2+2x+3$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=-x^2-2x+3$
D.$y=-x^2-2x-3$
答案
8.A ［解析］设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)(x-3)$,把$(0,3)$代入,得 $a·1·(-3)=3$,解得 $a=-1$,$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-(x+1)(x-3)$,即 $y=-x^2+2x+3$.
