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9.[推理能力]二次函数$y=ax^2+bx+c(b≤0)$的图象经过点$(-2,4),(0,-2),(2,m)$，其中$m≥-2$，以下选项错误的是（
A.$a+b＜\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{2}$
C.$2a+b≥0$
D.$-2≤m≤4$
A
）A.$a+b＜\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{2}$
C.$2a+b≥0$
D.$-2≤m≤4$
答案
9.A
10.若将抛物线$y=ax^2(a＞0)$向右平移$h(h＞0)$个单位长度，得到抛物线$y=ax^2+bx+c$，则函数$y=bx+c$的图象可能是（
）
）答案
10.C
11.已知抛物线$y=2x^2 -12x +13$.
(1)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小?
(3)将该抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位,请直接写出新抛物线的表达式.
(1)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小?
(3)将该抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位,请直接写出新抛物线的表达式.
答案
解:$\because y=2x^2-12x+13=2(x^2-6x+9)-5=2(x-3)^2-5$,$\therefore$抛物线开口向上,顶点为$(3,-5)$,对称轴为直线$x=3$.
(1)当$x=3$时,$y$有最小值,最小值为$-5$.
(2)当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而减小.
(3)抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到新抛物线的表达式为$y=2(x-5)^2-3$.
(1)当$x=3$时,$y$有最小值,最小值为$-5$.
(2)当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而减小.
(3)抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到新抛物线的表达式为$y=2(x-5)^2-3$.
12.[新考向·新定义试题]已知关于$x$的函数$y$，当$t≤ x≤ t+1$时，函数$y$的最大值为$P$，最小值为$Q$，令函数$g=\frac{P-Q}{2}$，则称函数$g$为函数$y$的“关联函数”。
(1)若$y=x+1$，$t=0$，求函数$y$的“关联函数”$g$的值；
(2)若$y=x^2 - 2x + k$。
①当$k=1$，$t≤0$时，求函数$y$的“关联函数”$g$的最小值；
②当函数$y$的“关联函数”$g$的值为$\frac{1}{4}$时，求$t$的值。
(1)若$y=x+1$，$t=0$，求函数$y$的“关联函数”$g$的值；
(2)若$y=x^2 - 2x + k$。
①当$k=1$，$t≤0$时，求函数$y$的“关联函数”$g$的最小值；
②当函数$y$的“关联函数”$g$的值为$\frac{1}{4}$时，求$t$的值。
答案
解:(1)$\because y=x+1$,$t=0$,$\therefore$当$0≤x≤1$时,$P=1+1=2$,$Q=0+1=1$,$\therefore g=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$.
(2)①当$k=1$时,$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$,当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x≤1$时,$y$随$x$的增大而减小.$\because t≤0$,$\therefore t+1≤1$,$\therefore$当$x=t+1$时,$Q=(t+1-1)^2=t^2$,当$x=t$时,$P=(t-1)^2$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{(t-1)^2-t^2}{2}=\frac{-2t+1}{2}=-t+\frac{1}{2}$.
$\because t≤0$,$\therefore$当$t=0$时,$g$有最小值,为$\frac{1}{2}$,$\therefore$函数$y$的“关联函数”$g$的最小值是$\frac{1}{2}$.
②$y=x^2-2x+k=(x-1)^2+k-1$,$\therefore$对称轴是直线$x=1$,分三种情况:
i.当$t+1≤1$,即$t≤0$时,$y$随$x$的增大而减小,在$t≤x≤t+1$中,$P=t^2-2t+k$,$Q=(t+1-1)^2+k-1=t^2+k-1$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2-2t+k-t^2-k+1}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{1}{4}$(舍);
ii.当$t≥1$时,$y$随$x$的增大而增大,在$t≤x≤t+1$中,$Q=t^2-2t+k$,$P=(t+1-1)^2+k-1=t^2+k-1$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2+k-1-t^2+2t-k}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{3}{4}$(舍);
iii.当$t＜1＜t+1$,即$0＜t＜1$时,$Q=k-1$,当$x=t$时,$y=t^2-2t+k$,当$x=t+1$时,$y=(t+1-1)^2+k-1=t^2+k-1$,若$t^2+k-1＞t^2-2t+k$,则$t＞\frac{1}{2}$,$P=t^2+k-1$,$\therefore \frac{1}{2}＜t＜1$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2+k-1-k+1}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$(负值舍去);若$t^2+k-1＜t^2-2t+k$,则$t＜\frac{1}{2}$,$P=t^2-2t+k$,$\therefore 0＜t＜\frac{1}{2}$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2-2t+k-k+1}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍),$t_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$,综上所述,$t$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)①当$k=1$时,$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$,当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x≤1$时,$y$随$x$的增大而减小.$\because t≤0$,$\therefore t+1≤1$,$\therefore$当$x=t+1$时,$Q=(t+1-1)^2=t^2$,当$x=t$时,$P=(t-1)^2$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{(t-1)^2-t^2}{2}=\frac{-2t+1}{2}=-t+\frac{1}{2}$.
$\because t≤0$,$\therefore$当$t=0$时,$g$有最小值,为$\frac{1}{2}$,$\therefore$函数$y$的“关联函数”$g$的最小值是$\frac{1}{2}$.
②$y=x^2-2x+k=(x-1)^2+k-1$,$\therefore$对称轴是直线$x=1$,分三种情况:
i.当$t+1≤1$,即$t≤0$时,$y$随$x$的增大而减小,在$t≤x≤t+1$中,$P=t^2-2t+k$,$Q=(t+1-1)^2+k-1=t^2+k-1$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2-2t+k-t^2-k+1}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{1}{4}$(舍);
ii.当$t≥1$时,$y$随$x$的增大而增大,在$t≤x≤t+1$中,$Q=t^2-2t+k$,$P=(t+1-1)^2+k-1=t^2+k-1$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2+k-1-t^2+2t-k}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{3}{4}$(舍);
iii.当$t＜1＜t+1$,即$0＜t＜1$时,$Q=k-1$,当$x=t$时,$y=t^2-2t+k$,当$x=t+1$时,$y=(t+1-1)^2+k-1=t^2+k-1$,若$t^2+k-1＞t^2-2t+k$,则$t＞\frac{1}{2}$,$P=t^2+k-1$,$\therefore \frac{1}{2}＜t＜1$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2+k-1-k+1}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$(负值舍去);若$t^2+k-1＜t^2-2t+k$,则$t＜\frac{1}{2}$,$P=t^2-2t+k$,$\therefore 0＜t＜\frac{1}{2}$,$\therefore g=\frac{P-Q}{2}=\frac{t^2-2t+k-k+1}{2}=\frac{1}{4}$,解得$t_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍),$t_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$,综上所述,$t$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
