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9.[易错题]已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点在直线$y=x$上，且开口向下，请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式：
$y=-x^2$(答案不唯一)
。答案
9.$y=-x^2$(答案不唯一)
10.已知某二次函数图象上有两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，当$2＜x_1＜x_2$时，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＞0$；当$x_1＜x_2＜2$时，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)＜0$，则该二次函数的表达式可以是（
A.$y=3(x+2)^2$
B.$y=3(x-2)^2$
C.$y=-3(x+2)^2$
D.$y=-3(x-2)^2$
B
）A.$y=3(x+2)^2$
B.$y=3(x-2)^2$
C.$y=-3(x+2)^2$
D.$y=-3(x-2)^2$
答案
10.B
11.[学科特色·分类讨论思想]抛物线经过原点O，还经过A(2,m)，B(4,m)，若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$ 或 $y=\dfrac{1}{2}x^2-3x$
。答案
11.$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$ 或 $y=\dfrac{1}{2}x^2-3x$ ［解析］$\because$ 抛物线经过 $A(2,m),B(4,m)$,$\therefore$ 对称轴是直线 $x=3$,$AB=2$.$\because △ AOB$ 的面积为 4,$\therefore \dfrac{1}{2}AB·|m|=4$,$m=\pm4$.当 $m=4$ 时,则 $A(2,4),B(4,4)$,设抛物线的解析式为 $y=a(x-3)^2+h$,把$(0,0)$和$(2,4)$代入,得$\begin{cases} 9a+h=0,\\ a+h=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2},\\ h=\dfrac{9}{2}, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{9}{2}$,即 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$;当 $m=-4$ 时,则 $A(2,-4),B(4,-4)$,设抛物线的解析式为 $y=a(x-3)^2+h$,把$(0,0)$和$(2,-4)$代入,得$\begin{cases} 9a+h=0,\\ a+h=-4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2},\\ h=-\dfrac{9}{2}, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2-\dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{2}x^2-3x$.综上所述,抛物线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$ 或 $y=\dfrac{1}{2}x^2-3x$.
12.如图，抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$，点$B(2,-3)$，与$y$轴交于点$C$，抛物线的顶点为$D$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点$P$，使$△ PBC$的面积是$△ BCD$面积的4倍，若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点$P$，使$△ PBC$的面积是$△ BCD$面积的4倍，若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
12.解:(1)$\because$ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过点 $A(-1,0),B(2,-3)$,$\therefore \begin{cases} 1-b+c=0,\\ 4+2b+c=-3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2,\\ c=-3, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$.
(2)存在.$P$ 点坐标为$(1+\sqrt{5},1)$或$(1-\sqrt{5},1)$. ［解析］$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore D$ 点坐标为$(1,-4)$.令 $x=0$,则 $y=x^2-2x-3=-3$,$\therefore C$ 点坐标为$(0,-3)$.又$\because B$ 点坐标为$(2,-3)$,$\therefore BC// x$ 轴,$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$.设抛物线上点 $P$ 的坐标为 $(m,m^2-2m-3)$,$\therefore S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}×2×|m^2-2m-3-(-3)|=|m^2-2m|$.当$|m^2-2m|=4×1$时,解得 $m=1\pm\sqrt{5}$.当 $m=1+\sqrt{5}$ 时,$m^2-2m-3=1$;当 $m=1-\sqrt{5}$ 时,$m^2-2m-3=1$.综上,$P$ 点坐标为 $(1+\sqrt{5},1)$ 或 $(1-\sqrt{5},1)$.
(2)存在.$P$ 点坐标为$(1+\sqrt{5},1)$或$(1-\sqrt{5},1)$. ［解析］$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore D$ 点坐标为$(1,-4)$.令 $x=0$,则 $y=x^2-2x-3=-3$,$\therefore C$ 点坐标为$(0,-3)$.又$\because B$ 点坐标为$(2,-3)$,$\therefore BC// x$ 轴,$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$.设抛物线上点 $P$ 的坐标为 $(m,m^2-2m-3)$,$\therefore S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}×2×|m^2-2m-3-(-3)|=|m^2-2m|$.当$|m^2-2m|=4×1$时,解得 $m=1\pm\sqrt{5}$.当 $m=1+\sqrt{5}$ 时,$m^2-2m-3=1$;当 $m=1-\sqrt{5}$ 时,$m^2-2m-3=1$.综上,$P$ 点坐标为 $(1+\sqrt{5},1)$ 或 $(1-\sqrt{5},1)$.
13.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=x$的图象与二次函数$y=-x^2+bx$($b$为常数)的图象相交于$O,A$两点,点$A$坐标为$(3,m)$.
(1)求$m$的值以及二次函数的表达式;
(2)若点$P$为抛物线的顶点,连接$OP,AP$,求$△ POA$的面积.
(1)求$m$的值以及二次函数的表达式;
(2)若点$P$为抛物线的顶点,连接$OP,AP$,求$△ POA$的面积.
答案
13.解:(1)把点 $A$ 坐标$(3,m)$代入一次函数 $y=x$ 中,可得 $m=3$,$\therefore A(3,3)$,把点 $A$ 坐标$(3,3)$代入二次函数 $y=-x^2+bx$ 中,可得 $3=-9+3b$,解得 $b=4$,$\therefore y=-x^2+4x$,$\therefore m$ 的值为 3,二次函数的表达式为 $y=-x^2+4x$.
(2)过点 $P$ 作 $PC⊥ x$ 轴,垂足为 $C$,交 $OA$ 于点 $D$,过点 $A$ 作 $AE⊥ PC$,垂足为 $E$.$\because y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,$\therefore$ 顶点 $P(2,4)$,把 $x=2$ 代入 $y=x$ 中,得 $y=2$,$\therefore D(2,2)$,$\therefore PD=4-2=2$.$\because △ POA$ 的面积$=△ OPD$ 的面积$+△ APD$ 的面积,$\therefore △ POA$ 的面积$=\dfrac{1}{2}PD· OC+\dfrac{1}{2}PD· AE=\dfrac{1}{2}PD·(OC+AE)=\dfrac{1}{2}×2×3=3$,$\therefore △ POA$ 的面积为 3.
14.[几何直观]如图，已知平面直角坐标系中的四个点:$A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3)$.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过其中任意三个点，当$a$的值最大时，二次函数的表达式为
$y=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{9}{2}x+2$
。答案
14.$y=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{9}{2}x+2$ ［解析］$\because a$ 的值最大,$\therefore$ 抛物线开口最小,且 $a＞0$,由题图知,经过 $A,B,D$ 三点的抛物线开口向上,且开口最小,当抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $A,B,D$ 三点时,$\begin{cases} c=2,\\ a+b+c=0,\\ 4a+2b+c=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{5}{2},\\ b=-\dfrac{9}{2},\\ c=2, \end{cases}$ 故当 $a$ 的值最大时二次函数的表达式为 $y=\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{9}{2}x+2$.
