1.「2026 安徽亳州期末」如图,已知 OD 是∠AOB 的平分线,∠AOC=2∠BOC.
(1)若∠AOB=126°,则∠COD=.
(2)若∠COD=26°,求∠AOB 的度数.
(3)猜想∠BOC 与∠COD 之间的数量关系,并说明理由.

(1) 因为 OD 平分∠AOB,所以∠AOD=∠BOD = 1/2∠AOB = 1/2×126°=63°,因为∠AOC=2∠BOC,所以∠BOC = 1/3∠AOB = 42°,所以∠COD = ∠BOD - ∠BOC=21°.
(2) 设∠AOB=2α,则∠AOD=∠BOD=1/2∠AOB=α,
因为∠AOC = 2∠BOC, ∠BOC = ∠BOD - ∠COD,
∠AOD + ∠COD = ∠AOC, 所以∠AOD + ∠COD = 2∠BOC=2(∠BOD-∠COD),因为∠COD=26°,所以α+26°=2(α-26°),解得α=78°,所以∠AOB=2α=156°.
(3) ∠COD=1/2∠BOC,理由如下:
因为∠AOC=2∠BOC,所以∠BOC=1/3∠AOB,因为∠BOD=1/2∠AOB,所以∠COD=∠BOD - ∠BOC = 1/2∠AOB -1/3∠AOB=1/6∠AOB,因为1/6∠AOB=1/2×1/3∠AOB=1/2∠BOC,所以∠COD=1/2∠BOC.

【分析】
这是一道与角的计算相关的几何题，解题核心是利用角平分线的性质和已知的角的倍分关系，理清各个角之间的和差联系：
1. 第(1)问：先根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，再结合∠AOC=2∠BOC求出∠BOC的度数，最后用∠BOD减去∠BOC即可得到∠COD的度数。
2. 第(2)问：通过设半角为参数，利用∠AOC和∠BOC的倍分关系建立方程，求解参数后即可得到∠AOB的度数。
3. 第(3)问：将∠COD和∠BOC都用公共角∠AOB表示，通过化简推导两者的数量关系。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOB，所以$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×126° = 63°$。
又因为$∠ AOC=2∠ BOC$，且$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB$，所以$∠ BOC = \frac{1}{3}∠ AOB = \frac{1}{3}×126° = 42°$。
因此$∠ COD = ∠ BOD - ∠ BOC = 63° - 42° = 21°$。
(2) 设$∠ AOB=2α$，因为OD平分$∠ AOB$，所以$∠ AOD=∠ BOD=α$。
由题意可知$∠ AOC = 2∠ BOC$，且$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ COD$，$∠ BOC = ∠ BOD - ∠ COD$。
代入$∠ COD=26°$，可得：$α + 26° = 2(α - 26°)$
展开得：$α + 26° = 2α - 52°$
移项解得：$α = 78°$
所以$∠ AOB=2α=2×78°=156°$。
(3) 猜想：$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC$，理由如下：
因为$∠ AOC=2∠ BOC$，$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB$，所以$∠ BOC = \frac{1}{3}∠ AOB$。
因为OD平分$∠ AOB$，所以$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ AOB$。
所以$∠ COD = ∠ BOD - ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB - \frac{1}{3}∠ AOB = \frac{1}{6}∠ AOB$。
又因为$\frac{1}{6}∠ AOB = \frac{1}{2}×\frac{1}{3}∠ AOB = \frac{1}{2}∠ BOC$，所以$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{21°}$
(2) $\boldsymbol{156°}$
(3) $\boldsymbol{∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；角的倍分关系
【点评】
本题是角的计算的常规题型，解题的关键是准确梳理图中各角的和差、倍分关系，合理运用角平分线的性质，对于存在等量关系的角的计算问题，通过设未知数列方程或统一用公共角表示的方法可以简化计算过程。
【难度系数】
0.6

2.「2026 重庆合川中学期末」已知 OC 是∠AOB 内部的一条射线，且∠AOB=3∠AOC.
(1)如图 1，若∠AOB=120°, OM 平分∠AOC, ON 平分∠AOB, 则∠MON 的度数为.
(2)如图 2, ∠AOB=x°, 射线 OP,OQ 分别从 OC, OB 出发,并分别以每秒 1°和每秒 2°的速度绕点 O 逆时针旋转,OP 和 OQ 分别在∠AOC 和∠BOC 内部旋转,运动时间为 t 秒.
①猜想∠AOP 和∠COQ 之间的数量关系,并说明理由.
②若∠AOB=150°, 当∠POQ=$\frac{2}{3}$∠BOP 时,求 t 的值.

(1) 因为∠AOB=3∠AOC,∠AOB=120°,
所以∠AOC=1/3×120°=40°,
因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠AOB,
所以∠AOM=1/2∠AOC=20°,∠AON=1/2∠AOB=60°,
所以∠MON=∠AON-∠AOM=60°-20°=40°.
(2) ①∠COQ=2∠AOP.理由如下:
因为∠AOB=3∠AOC,∠AOB=x°,
所以∠AOC=1/3 x°,则∠BOC=2/3 x°,
由题意,得∠COP=t°,∠BOQ=2t°,
所以∠AOP=∠AOC - ∠COP=(1/3 x - t)°, ∠COQ=∠BOC - ∠BOQ=(2/3 x - 2t)°=2(1/3 x - t)°,
所以∠COQ=2∠AOP.
②由①知∠COP=t°,∠COQ=(2/3 x - 2t)°,
因为∠AOB=x°=150°,所以∠COQ=(100-2t)°,
因为∠POQ=∠COQ+∠COP,∠BOP=∠BOQ+∠COQ+∠COP,所以∠POQ=(100-2t)°+t°=(100-t)°,
∠BOP=(100+t)°,
因为∠POQ=2/3∠BOP,
所以100-t=2/3(100+t),
解得t=20,故当∠POQ=2/3∠BOP时,t=20.

【分析】
(1) 先根据∠AOB=3∠AOC的关系和已知的∠AOB度数求出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义分别求出∠AOM、∠AON的度数，最后通过角的差的关系计算∠MON即可。
(2) ①先根据∠AOB=3∠AOC用含x的式子表示出∠AOC和∠BOC的度数，再结合OP、OQ的旋转速度和运动时间t，表示出旋转过的角度∠COP、∠BOQ，进而用含x、t的式子表示∠AOP和∠COQ，推导两者的数量关系；②先将∠AOB=150°代入，分别用含t的式子表示出∠POQ和∠BOP，再根据∠POQ=$\frac{2}{3}$∠BOP列方程求解即可得到t的值。
【解析】
(1) 因为∠AOB=3∠AOC，∠AOB=120°，
所以$∠ AOC=\frac{1}{3}×120°=40°$，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，
所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$，$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
所以$∠ MON=∠ AON-∠ AOM=60°-20°=40°$。
(2) ①$∠ COQ=2∠ AOP$，理由如下：
因为∠AOB=3∠AOC，∠AOB=x°，
所以$∠ AOC=\frac{1}{3}x°$，则$∠ BOC=\frac{2}{3}x°$，
由题意得$∠ COP=t°$，$∠ BOQ=2t°$，
所以$∠ AOP=∠ AOC-∠ COP=(\frac{1}{3}x-t)°$，$∠ COQ=∠ BOC-∠ BOQ=(\frac{2}{3}x-2t)°=2(\frac{1}{3}x-t)°$，
所以$∠ COQ=2∠ AOP$。
②由①知$∠ COP=t°$，$∠ COQ=(\frac{2}{3}x-2t)°$，
因为∠AOB=x°=150°，所以$∠ COQ=(100-2t)°$，
因为$∠ POQ=∠ COQ+∠ COP$，$∠ BOP=∠ BOQ+∠ COQ+∠ COP$，
所以$∠ POQ=(100-2t)°+t°=(100-t)°$，$∠ BOP=2t°+(100-2t)°+t°=(100+t)°$，
因为$∠ POQ=\frac{2}{3}∠ BOP$，
所以$100-t=\frac{2}{3}(100+t)$，
解得t=20。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) ①$\boldsymbol{∠ COQ=2∠ AOP}$；②$\boldsymbol{t=20}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合角平分线性质和射线旋转的动态情境考查角的相关计算，既考查基础的角的运算能力，也考查动态问题中用参数表示角度、建立方程求解的能力，解题的核心是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6

3.「2026 山西运城稷山期末」【问题情境】O 为直线 AB上一点,过点 O 在直线 AB 的上方作射线 OC,将一块三角板 DOE 的直角顶点与点 O 重合,射线OC 和三角板 DOE 均可以围绕点 O 旋转(旋转时始终在直线 AB 上方).
【操作探究】
(1)如图 1,若∠BOC=68°,当三角板的直角边OE 在 OB 上时,∠COD=°,∠AOC=°.
(2)在(1)的条件下,将三角板 DOE 绕点 O 逆时针旋转一定角度得到图 2,若此时 OE 恰好平分∠BOC,求证:OD 平分∠AOC.
(3)如图 3,旋转射线 OC 和三角板 DOE,始终满足 OC 平分∠BOD,当∠AOD = 78°时,求∠COE 的度数,并根据结果猜想旋转过程中∠AOD 与∠COE 之间的数量关系.

(1) 由题意得,∠DOB=90°,∠BOC=68°,
所以∠COD=∠DOB-∠BOC=22°,
∠AOC=180°-∠BOC=112°.
(2) 证明:因为 OE 平分∠BOC,所以∠COE=∠BOE,
因为∠DOE=90°,
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE=90°,
所以∠AOD=∠COD,
所以 OD 平分∠AOC.
(3) 因为∠DOE=90°,∠AOD=78°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=102°,
∠BOE=180°-∠DOE-∠AOD=12°,
因为 OC 平分∠BOD,
所以∠COD=∠BOC=51°,
所以∠COE=∠BOC-∠BOE=39°.
猜想:2∠COE=∠AOD.
理由:因为 OC 平分∠BOD,
所以∠COD=∠BOC,
所以∠COD=∠COE+∠BOE,
即∠BOE=∠COD-∠COE,
因为∠DOE=90°,
所以∠COD=90°-∠COE,
所以∠BOE=90°-∠COE-∠COE=90°-2∠COE,
因为∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°,
所以∠BOE=90°-∠AOD,
所以90°-2∠COE=90°-∠AOD,
所以2∠COE=∠AOD.

【分析】
(1) 先明确已知的固定角度：直线AB对应的平角∠AOB=180°，三角板的直角∠DOE=90°。当OE在OB上时，∠DOB就是三角板的直角90°，因此∠COD用∠DOB减去已知的∠BOC即可求出；∠AOC用平角180°减去∠BOC即可求出。
(2) 要证明OD平分∠AOC，只需证明∠AOD=∠COD即可。首先由OE平分∠BOC得到∠COE=∠BOE，再结合∠DOE=90°，可得∠COD和∠COE互余、∠AOD和∠BOE互余，根据等角的余角相等即可推出∠AOD=∠COD，完成证明。
(3) 先根据平角180°和已知的∠AOD求出∠BOD的度数，再由OC平分∠BOD求出∠BOC的度数；结合∠DOE=90°求出∠BOE的度数，用∠BOC减去∠BOE即可得到∠COE的度数。猜想数量关系时，抓住OC平分∠BOD、∠DOE=90°、∠AOB为平角这几个不变条件，通过角的等量代换就能推导出∠AOD和∠COE的关系。
【解析】
(1) 由题意得，三角板为直角三角板，故∠DOE=90°，当OE在OB上时，∠DOB=∠DOE=90°，已知∠BOC=68°，
∴∠COD=∠DOB - ∠BOC = 90° - 68° = 22°，
∵O在直线AB上，∠AOB=180°，
∴∠AOC=180° - ∠BOC = 180° - 68° = 112°。
(2) 证明：
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD + ∠COE = 90°，
又
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE = 90°，
∴∠AOD=∠COD（等角的余角相等），
∴OD平分∠AOC。
(3) 解：
∵∠AOB=180°，∠AOD=78°，
∴∠BOD=180° - ∠AOD = 102°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOE=180° - ∠AOD - ∠DOE = 180° - 78° - 90° = 12°，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOD = 51°，
∴∠COE=∠BOC - ∠BOE = 51° - 12° = 39°。
猜想：∠AOD=2∠COE，理由如下：
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠COD，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD = 90° - ∠COE，∠AOD + ∠BOE = 180° - 90° = 90°，即∠BOE=90° - ∠AOD，
又
∵∠BOC=∠COE + ∠BOE，
∴90° - ∠COE = ∠COE + 90° - ∠AOD，
整理得∠AOD=2∠COE。
【答案】
(1) $\boxed{22}$，$\boxed{112}$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boxed{∠COE=39°}$，数量关系为$\boxed{∠AOD=2∠COE}$（或$2∠COE=∠AOD$）。
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，余角的性质
【点评】
本题是与角相关的旋转类综合题，结合三角板的特性考查角的计算、角平分线的判定与性质，解题关键是抓住旋转过程中不变的量（平角180°、三角板的直角90°），通过角之间的等量代换求解，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6