4.【问题情境】
已知长方形纸片ABCD,点E在边AB上,点N在边AD上,将∠NAE沿EN翻折得到∠NA'E,射线EA'与CD交于点F.点M在边BC上,将∠MBE沿EM翻折得到∠MB'E,射线EB'与CD交于点G.
【初步探究】
(1)现将长方形纸片按照如图1所示的方式折叠,此时点F与点G重合,直接写出以E为顶点的两对相等的角,并求∠MEN的度数.
【深入探究】
(2)若将长方形纸片按照如图2所示的方式折叠,此时点F在点G的左侧,且∠AEN=∠FEG+15°,∠BEM=∠FEG+20°,请分别求出∠FEG与∠MEN的度数.
【类比拓展】
(3)若将长方形纸片按照如图3所示的方式折叠,此时点F在点G的右侧,且∠FEG=α,请直接写出∠MEN的度数(用含α的代数式表示).

(1) 由折叠可得∠AEN=∠A'EN,∠BEM=∠B'EM,因为∠AEN+∠A'EN+∠BEM+∠B'EM=180°,
所以∠A'EN+∠B'EM=1/2×180°=90°,即∠MEN=90°.
(2) 因为∠AEN=∠FEG+15°,∠BEM=∠FEG+20°,所以∠A'EN=∠AEN=∠FEG+15°,∠B'EM=∠BEM=∠FEG+20°,
因为∠AEN+∠A'EN+∠FEG+∠B'EM+∠BEM=180°,
所以∠FEG+15°+∠FEG+15°+∠FEG+∠FEG+20°+∠FEG+20°=180°,即5∠FEG+70°=180°,
所以∠FEG=22°,
所以∠A'EN=∠AEN=∠FEG+15°=22°+15°=37°,
∠B'EM=∠BEM=∠FEG+20°=22°+20°=42°,
所以∠MEN=∠A'EN+∠FEG+∠B'EM=101°.
(3) ∠MEN=90°-1/2α.
详解:由折叠可得∠AEN=∠A'EN,∠BEM=∠B'EM,
因为∠AEN+∠A'EN-∠FEG+∠B'EM+∠BEM=180°,
所以∠AEN+∠A'EN+∠BEM+∠B'EM=180°+∠FEG=180°+α,所以∠AEN+∠BEM=1/2(180°+α)=90°+1/2α,所以∠MEN=180°-(∠AEN+∠BEM)=180°-(90°+1/2α)=90°-1/2α.

【分析】
解决本题的核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角为180°的定义，通过角的和差关系建立等式求解：
(1) 先根据折叠性质直接写出两对相等的角，点F、G重合时，∠AEN、∠A'EN、∠BEM、∠B'EM四个角的和为平角180°，替换相等角后即可求出∠MEN的度数。
(2) 利用折叠性质得到对应角相等，将∠AEN、∠BEM都用∠FEG表示，根据五个角的和为180°列方程，先求出∠FEG，再计算∠MEN。
(3) 当F在G右侧时，∠A'EN和∠B'EM存在重叠部分∠FEG，因此四个相等角相加时要减去重叠的∠FEG才等于平角180°，变形推导即可得到∠MEN与α的关系。
【解析】
(1) 相等的角：$\boldsymbol{∠ AEN=∠ A'EN}$，$\boldsymbol{∠ BEM=∠ B'EM}$（答案不唯一，合理即可）。
由折叠性质得：$∠ AEN=∠ A'EN$，$∠ BEM=∠ B'EM$，
∵点F与G重合，$∠ AEB$是平角，即$∠ AEB=180°$，
∴$∠ AEN+∠ A'EN+∠ BEM+∠ B'EM=180°$，
整理得$2(∠ A'EN+∠ B'EM)=180°$，即$∠ A'EN+∠ B'EM=90°$，
∴$∠ MEN=∠ A'EN+∠ B'EM=90°$。
(2) 由折叠性质得：$∠ A'EN=∠ AEN$，$∠ B'EM=∠ BEM$，
已知$∠ AEN=∠ FEG+15°$，$∠ BEM=∠ FEG+20°$，
∴$∠ A'EN=∠ FEG+15°$，$∠ B'EM=∠ FEG+20°$，
∵$∠ AEN+∠ A'EN+∠ FEG+∠ B'EM+∠ BEM=180°$，
代入得：$(∠ FEG+15°)+(∠ FEG+15°)+∠ FEG+(∠ FEG+20°)+(∠ FEG+20°)=180°$，
整理得$5∠ FEG+70°=180°$，
解得$∠ FEG=22°$，
∴$∠ A'EN=22°+15°=37°$，$∠ B'EM=22°+20°=42°$，
∴$∠ MEN=∠ A'EN+∠ FEG+∠ B'EM=37°+22°+42°=101°$。
(3) 由折叠性质得：$∠ AEN=∠ A'EN$，$∠ BEM=∠ B'EM$，
∵点F在G右侧，$∠ AEB$为平角，
∴$∠ AEN+∠ A'EN-∠ FEG+∠ BEM+∠ B'EM=180°$，
即$2(∠ AEN+∠ BEM)-α=180°$，
∴$∠ AEN+∠ BEM=\frac{180°+α}{2}=90°+\frac{1}{2}α$，
又
∵$∠ AEN+∠ MEN+∠ BEM=180°$，
∴$∠ MEN=180°-(∠ AEN+∠ BEM)=180°-(90°+\frac{1}{2}α)=90°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) 相等的角示例：$∠ AEN=∠ A'EN$，$∠ BEM=∠ B'EM$；$∠ MEN=90°$
(2) $∠ FEG=22°$，$∠ MEN=101°$
(3) $∠ MEN=90°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题以长方形折叠为背景考查角的计算，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角特征建立角的数量关系，不同折叠位置下要注意重叠角的处理，体现了分类讨论的思想，能有效考查逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.3

5. 聚焦 中考 过程性学习 「2025广东东莞期末」
(1)如图1,将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
①若∠DCE=40°,则∠ACB= °;若∠ACB=120°,则∠DCE= °.
②猜想∠ACB与∠DCE之间有怎样的特殊关系,并说明理由.
(2)如图2,两个同样的三角板的60°锐角的顶点A重合,则∠DAB与∠CAE之间有怎样的关系?请说明理由.
(3)如图3,已知∠AOB=α,作∠COD=β(α,β都是锐角,且α＞β),若OC在∠AOB的内部,请直接写出∠AOD与∠BOC之间的关系.

(1) ①当∠DCE=40°时,因为∠ACD=90°,
所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-40°=50°,
因为∠BCE=90°,
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=50°+90°=140°.
当∠ACB=120°时,因为∠BCE=90°,
所以∠ACE=∠ACB-∠BCE=120°-90°=30°,
因为∠ACD=90°,
所以∠DCE=90°-30°=60°.
②∠ACB+∠DCE=180°.
理由:因为∠ACD=90°,∠BCE=90°,
所以∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCD+∠DCE
=∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°.
(2) ∠DAB+∠CAE=120°.
理由:因为∠CAD=60°,∠BAE=60°,
所以∠DAB+∠CAE=∠DAC+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠BAE=60°+60°=120°.
(3) ∠AOD+∠BOC=α+β 或 ∠AOD+∠BOC=α-β 或 ∠BOC-∠AOD=α-β.
详解:①当OD在OB左侧时,如,∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β;
②当OD在OB,OC之间时,如,∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β;
③当OD在OC,OA之间时,如,∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD=α-β;
④当OD在OA下方时,如,∠BOC-∠AOD=∠AOB-∠COD=α-β.
综上所述,∠AOD+∠BOC=α+β 或 ∠AOD+∠BOC=α-β 或 ∠BOC-∠AOD=α-β.

【分析】
解决本题核心是利用角的和差关系，结合已知角的度数推导：
(1)①两块直角三角板直角顶点重合，∠ACD和∠BCE均为90°，已知∠DCE时先求∠ACE，再相加得∠ACB；已知∠ACB时先求∠ACE，再计算∠DCE。②将∠ACB拆分为∠ACD+∠BCD，与∠DCE相加即可推导二者数量关系。
(2)两个三角板60°角顶点重合，∠CAD和∠BAE均为60°，将∠DAB拆分为∠DAC+∠BAC，与∠CAE相加即可推导二者关系。
(3)OC在∠AOB内部，但OD位置不确定，需分OD在OB左侧、OD在OB与OC之间、OD在OC与OA之间、OD在OA下方四种情况，分别计算∠AOD与∠BOC的和差关系，避免漏解。
【解析】
(1)①当∠DCE=40°时，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD - ∠DCE=90°-40°=50°，
又
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=∠ACE + ∠BCE=50°+90°=140°。
当∠ACB=120°时，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠ACB - ∠BCE=120°-90°=30°，
又
∵∠ACD=90°，
∴∠DCE=∠ACD - ∠ACE=90°-30°=60°。
②∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACB + ∠DCE=∠ACD + ∠BCD + ∠DCE=∠ACD + ∠BCE=90°+90°=180°。
(2)∠DAB + ∠CAE=120°，理由如下：
∵∠CAD=60°，∠BAE=60°，
∴∠DAB + ∠CAE=∠DAC + ∠BAC + ∠CAE=∠DAC + ∠BAE=60°+60°=120°。
(3)分四种情况讨论：
①当OD在OB左侧时，如，∠AOD + ∠BOC=∠AOB + ∠COD=α+β；
②当OD在OB、OC之间时，如，∠AOD + ∠BOC=∠AOB + ∠COD=α+β；
③当OD在OC、OA之间时，如，∠AOD + ∠BOC=∠AOB - ∠COD=α-β；
④当OD在OA下方时，如，∠BOC - ∠AOD=∠AOB - ∠COD=α-β。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{140}$；$\boldsymbol{60}$
②$\boldsymbol{∠ACB+∠DCE=180°}$，理由见解析。
(2)$\boldsymbol{∠DAB+∠CAE=120°}$，理由见解析。
(3)$\boldsymbol{∠AOD+∠BOC=α+β}$ 或 $\boldsymbol{∠AOD+∠BOC=α-β}$ 或 $\boldsymbol{∠BOC-∠AOD=α-β}$：
①当OD在OB左侧时，如，∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β；
②当OD在OB,OC之间时，如，∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β；
③当OD在OC,OA之间时，如，∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD=α-β；
④当OD在OA下方时，如，∠BOC-∠AOD=∠AOB-∠COD=α-β。
【知识点】
角的和差计算；三角板的角度特征；分类讨论思想
【点评】
本题以三角板叠放、角的构造为背景，考查角的和差运算，解题时需注意动态情况下角的位置变化，分类讨论要做到不重不漏，是角的运算类典型综合题，熟练掌握角的和差关系是解题核心。
【难度系数】
0.6