1.「2025安徽合肥肥西期末」如图,已知$∠ AOB=120°$,$OC$是$∠ AOB$内的一条射线,且$∠ AOC:∠ BOC=1:2$.
(1)求$∠ AOC$和$∠ BOC$的度数.
(2)作射线$OM$平分$∠ AOC$,在$∠ BOC$内部作射线$ON$,使得$∠ CON:∠ BON=1:3$,求$∠ MON$的度数.

(1) 因为$∠ AOC : ∠ BOC = 1 : 2$, $∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 120°$,所以$∠ AOC = \frac{1}{3}∠ AOB = 40°$,所以$∠ BOC=2×40°=80°$.
(2) 因为$OM$平分$∠ AOC$,所以$∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC =20°$,因为$∠ CON : ∠ BON = 1 : 3$,所以$∠ NOC =\frac{1}{4}∠ COB = \frac{1}{4} × 80° = 20°$,所以$∠ MON = ∠ COM +∠ CON=20°+20°=40°$.

【分析】
(1) 已知$∠ AOB$的总度数，且$∠ AOC$与$∠ BOC$的和等于$∠ AOB$，同时二者的比例为$1:2$，可将$∠ AOB$的总度数按比例分配，先计算1份对应的角度，再分别求出两个角的度数。
(2) 首先根据角平分线的定义，由$OM$平分$∠ AOC$可求出$∠ MOC$的度数；再结合$∠ CON$与$∠ BON$的比例关系，和第一问求出的$∠ BOC$的度数，按比例分配求出$∠ CON$的度数；最后观察图形可知$∠ MON$是$∠ MOC$与$∠ CON$的和，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
(1) $\because ∠ AOC:∠ BOC=1:2$，$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=120°$，
$\therefore$ 把$∠ AOB$分为$1+2=3$份，每份的度数为$120°÷3=40°$，
$\therefore ∠ AOC=1×40°=40°$，$∠ BOC=2×40°=80°$。
(2) $\because OM$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
$\because ∠ CON:∠ BON=1:3$，$∠ CON+∠ BON=∠ BOC=80°$，
$\therefore$ 把$∠ BOC$分为$1+3=4$份，每份的度数为$80°÷4=20°$，
$\therefore ∠ CON=1×20°=20°$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC+∠ CON=20°+20°=40°$。
【答案】
(1) $∠ AOC=40°$，$∠ BOC=80°$；
(2) $∠ MON=40°$
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；按比例求角度
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，主要考查角的和差关系、角平分线定义与比例的结合应用，解题的核心是理清图中各角的数量关系，按步骤计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8

2.「2025广东汕头澄海期末」如图,已知O为直线AB上一点,$∠AOD=α,∠COD=90°$.
(1)若$α=55°$,求$∠BOC$的度数.
(2)若OF平分$∠BOC$,求$∠AOF$的度数.(用含α的式子表示)

(1)因为$O$为直线$AB$上一点,所以$∠ AOD+∠ COD+∠ BOC=180°$,因为$∠ AOD=α=55°$,$∠ COD=90°$,所以$∠ BOC=180°-55°-90°=35°$.
(2)由(1)可知$∠ BOC=180°-α-90°=90°-α$, 因为$OF$平分$∠ BOC$,所以$∠ BOF = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(90°-α) =45°-\frac{1}{2}α$, 所以$∠ AOF = 180° - ∠ BOF = 180° -(45°-\frac{1}{2}α )=135°+\frac{1}{2}α$.

【分析】
（1）首先由O是直线AB上的点，可得∠AOB是平角，度数为180°，观察图形可知∠AOB由∠AOD、∠COD、∠BOC三个角组成，已知∠AOD和∠COD的度数，用平角的度数减去这两个角的度数即可求出∠BOC的度数。
（2）先沿用第一问的思路，用含α的式子表示出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义，得到∠BOF是∠BOC的一半，用含α的式子表示出∠BOF；最后根据∠AOF与∠BOF和为180°，用180°减去∠BOF的度数即可求出∠AOF。
【解析】
(1) 因为O为直线AB上一点，所以$∠AOD+∠COD+∠BOC=180°$，已知$∠AOD=α=55°$，$∠COD=90°$，代入得：
$∠BOC=180°-55°-90°=35°$。
(2) 由平角的性质可得$∠BOC=180°-∠AOD-∠COD=180°-α-90°=90°-α$。
因为OF平分$∠BOC$，根据角平分线的定义：
$∠BOF = \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}(90°-α) =45°-\frac{1}{2}α$。
又因为$∠AOF+∠BOF=180°$，所以：
$∠AOF = 180° - ∠BOF = 180° -(45°-\frac{1}{2}α )=135°+\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boxed{35°}$；(2) $\boxed{135°+\frac{1}{2}α}$
【知识点】
平角的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础的角度运算题，解题的核心是结合图形找准各角之间的和差关系，熟练运用平角、角平分线的相关性质即可顺利求解，是角的运算部分的常规题型。
【难度系数】
0.8

3.「2026广东广州番禺期末」如图,已知$∠ AOB=∠ EOF=90°$,$OM$平分$∠ AOE$,$ON$平分$∠ BOF$.
(1)试分析$∠ AOE$与$∠ BOF$的数量关系,并说明理由.
(2)求$∠ MON$的度数.

(1)$∠ AOE = ∠ BOF$.理由如下:因为$∠ AOB =∠ EOF=90°$,所以$∠ AOE+∠ BOE = ∠ BOF+∠ BOE =90°$,所以$∠ AOE=∠ BOF$.
(2)因为$OM$平分$∠ AOE$,$ON$平分$∠ BOF$,所以$∠ AOM=∠ MOE$,$∠ BON=∠ NOF$,因为$∠ AOE=∠ BOF$,所以$∠ AOM = ∠ MOE = ∠ BON = ∠ NOF$, 因为$∠ MON =∠ MOE + ∠ BOE + ∠ BON$, 所以$∠ MON = ∠ MOE +∠ BOE+∠ AOM=90°$.

【分析】
(1) 要判断∠AOE和∠BOF的数量关系，首先观察已知的两个直角∠AOB和∠EOF，二者都包含公共角∠BOE，∠AOE和∠BOF都与∠BOE相加等于90°，根据同角的余角相等即可推出两个角的关系。
(2) 求∠MON的度数时，先结合角平分线的定义，得到平分后的几组相等的角，再结合第一问的结论可得四个小角相等；最后将∠MON拆分为几个角的和，通过等量代换转化为已知的直角∠AOB，即可求出度数。
【解析】
(1) $\boxed{∠AOE = ∠BOF}$，理由如下：
因为$∠ AOB = ∠ EOF = 90°$，
所以$∠ AOE + ∠ BOE = 90°$，$∠ BOF + ∠ BOE = 90°$，
所以$∠ AOE = ∠ BOF$。
(2) 因为$OM$平分$∠ AOE$，$ON$平分$∠ BOF$，
所以$∠ AOM=∠ MOE$，$∠ BON=∠ NOF$，
由(1)得$∠ AOE=∠BOF$，所以$∠ AOM = ∠ MOE = ∠ BON = ∠ NOF$，
因为$∠ MON =∠ MOE + ∠ BOE + ∠ BON$，
所以$∠ MON = ∠ MOE +∠ BOE+∠ AOM = ∠ AOB = 90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOE = ∠BOF}$；
(2) $\boldsymbol{90°}$
【知识点】
余角的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础典型题，解题核心是找到角之间的公共部分和等量关系，通过角平分线性质完成等量代换，要求学生熟练掌握角的拆分方法，是后续复杂角度计算的基础。
【难度系数】
0.75

4.「2025安徽亳州蒙城期末」如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线.
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，求∠MON的度数.
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，求∠MON的度数.（用含α的式子表示）
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α,β的数量关系，并说明理由.

(1)因为$∠ AOB=90°$,$∠ BOC=60°$,所以$∠ AOC=90°+60°=150°$,因为$OM$平分$∠ AOC$,$ON$平分$∠ BOC$,所以$∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC = 75°$, $∠ NOC =\frac{1}{2}∠ BOC=30°$,所以$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=45°$.
(2)因为$∠ AOB=α$,$∠ BOC=60°$,所以$∠ AOC=α+60°$,因为$OM$平分$∠ AOC$,$ON$平分$∠ BOC$,所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}α+30°$, $∠ NOC = \frac{1}{2}∠ BOC = 30°$,所以$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}α+30°-30°=\frac{1}{2}α$.
(3)$∠ MON=\frac{1}{2}α$,与$β$的大小无关.
理由:因为$∠ AOB=α$,$∠ BOC=β$,所以$∠ AOC=α+β$,因为$OM$平分$∠ AOC$,$ON$平分$∠ BOC$,所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α+β)$,$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}β$,所以$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$,即$∠ MON=\frac{1}{2}α$,与$β$的大小无关.

【分析】
解决本题的核心是利用角平分线的定义得到平分后角与原角的数量关系，再结合角的和差关系推导∠MON的度数。解题时先根据已知的∠AOB和∠BOC求出∠AOC的度数，再由角平分线分别算出∠MOC和∠NOC，最后用∠MOC减去∠NOC即可得到∠MON的度数，第三问通过代数运算消去β即可得到最终的数量关系。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+60°=150°$，
$\because OM$是$∠ AOC$的平分线，$ON$是$∠ BOC$的平分线，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×150°=75°$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=75°-30°=45°$。
(2) 已知$∠ AOB=α$，$∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=α+60°$，
$\because OM$是$∠ AOC$的平分线，$ON$是$∠ BOC$的平分线，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α+60°)=\frac{1}{2}α+30°$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=(\frac{1}{2}α+30°)-30°=\frac{1}{2}α$。
(3) 猜想：$∠ MON=\frac{1}{2}α$，与$β$的大小无关。
理由：已知$∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=α+β$，
$\because OM$是$∠ AOC$的平分线，$ON$是$∠ BOC$的平分线，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α+β)$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}β$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$，
即$∠ MON=\frac{1}{2}α$，与$β$的大小无关。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；(2) $\boxed{\frac{1}{2}α}$；(3) $\boxed{∠ MON=\frac{1}{2}α}$，与$β$无关
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，角度运算
【点评】
本题是角平分线相关的典型探究题，按照从特殊到一般的顺序设问，既考查了角平分线性质的基础应用，又锻炼了代数式推导和归纳规律的能力，解题时找准所求角与已知角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7