1[2026浙江嘉兴期末,中]若一个正数的算术平方根为$a(a≠1)$,则比这个正数大1的数是（）

A.$a+1$
B.$\sqrt{a^2+1}$
C.$\sqrt{a}$
D.$a^2+1$

【解析】若一个正数的算术平方根是 $a$($a≠1$),则这个正数是 $a^2$,所以比这个正数大 1 的数是 $a^2+1$. 故选 D.

2[2026 山东德州期中，中]下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：$\sqrt{225}=15$，$\sqrt{625}=25$，$\sqrt{1\ 225}=35$，$\sqrt{2\ 025}=45$，$\sqrt{3\ 025}=55$，$\sqrt{4\ 225}=65$，…，则$\sqrt{99\ 900\ 025}=$（）

A.9 595
B.9 995
C.9 955
D.5 995

【解析】因为 $\sqrt{225} = \sqrt{1×2×100+25} = \sqrt{15^2} = 15$,$\sqrt{625} = \sqrt{2×3×100+25} = \sqrt{25^2} = 25$,$\sqrt{1\ 225} = \sqrt{3×4×100+25} = \sqrt{35^2} = 35$,$\sqrt{2\ 025} = \sqrt{4×5×100+25} = \sqrt{45^2} = 45$,$\sqrt{3\ 025} = \sqrt{5×6×100+25} = \sqrt{55^2} = 55$,$\sqrt{4\ 225} = \sqrt{6×7×100+25} = \sqrt{65^2} = 65$,$\dots$,所以$\sqrt{a(a+1)×100+25} = \sqrt{(10a+5)^2} = 10a+5$($a$ 为正整数), 所以 $\sqrt{99\ 900\ 025} = \sqrt{999(999+1)×100+25} = 9\ 995$. 故选 B.

3[2025 湖北武汉调研,较难]已知$\sqrt{(x-100)^2}+(\sqrt{98-x})^2=200$，$y=\sqrt{m+24}+\sqrt{m-1}+\sqrt{1-m}$，则$y-x$的平方根是（）

A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\pm2$
C.$\pm\sqrt{5}$
D.$\pm\sqrt{6}$

【解析】由题意得 $98-x≥0$,所以 $x≤98$,所以 $x-100＜0$,则原式 $=100-x+98-x=200$,解得 $x=-1$. 因为 $y=\sqrt{m+24}+\sqrt{m-1}+\sqrt{1-m}$,所以 $m-1≥0,1-m≥0$,所以 $m=1$,则 $y=\sqrt{1+24}+\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1} =\sqrt{25} =5$,所以 $y-x=5-(-1)=6$,则 $y-x$ 的平方根为$\pm\sqrt{6}$,故选 D.

4[2026浙江温州期末,中]数学家秦九韶提出的“三斜求积术”(已知三角形三边长求三角形的面积)与海伦公式本质相同,通常称为海伦-秦九韶公式,表述为如果一个三角形的三边长分别为$ a,b,c $,记$ p = \frac{a+b+c}{2} $,那么这个三角形的面积$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $.若一个三角形的三边长分别为4,4,2,则这个三角形的面积为.

【解析】因为 $a=4,b=4,c=2$,所以 $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+4+2}{2}=5$,所以这个三角形的面积为 $\sqrt{5×(5-4)×(5-4)×(5-2)} = \sqrt{15}$, 故答案为 $\sqrt{15}$.

5[2025浙江宁波质检,中]某地气象资料表明此地雷雨持续的时间$t(\mathrm{h})$可以用公式$t=\sqrt{\frac{d^2}{900}}$来估计,其中$d(\mathrm{km})$是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为6 km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?
(2)如果一场雷雨持续了2 h,那么这场雷雨区域的直径大约是km.
6[2026浙江杭州期中,中](1)图(1)为$2×2$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,点$A,B,C,D$均在小正方形的顶点上,则阴影正方形的面积是,边$AB$长为.
(2)图(2)为$3×3$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,请你根据(1)的解题思路和方法,在网格中画出长为$\sqrt{5}$的线段.
(3)图(3)为$4×4$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,若把阴影部分剪拼成一个正方形,则这个正方形的边长是.

5.【解】(1) 将 $d=6$ 代入公式 $t=\sqrt{\dfrac{d^2}{900}}$ 得 $t=\sqrt{\dfrac{6^2}{900}}=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$.
答:这场雷雨大约能持续 $\dfrac{1}{5}$ h.
(2) 将 $t=2$ 代入公式 $t=\sqrt{\dfrac{d^2}{900}}$ 得 $2=\sqrt{\dfrac{d^2}{900}}$,所以 $d^2=3\ 600$,所以 $d=60$ 或 $d=-60$(舍去). 故这场雷雨区域的直径大约是 60 km,故答案为 60.
6.【解】(1)由题图(1)可得,阴影正方形的面积为四个小正方形面积之和的一半,即 $1×1×4×\dfrac{1}{2}=2$,所以边 $AB$ 的长为 $\sqrt{2}$. 故答案为 $2,\sqrt{2}$.
(2)如图,线段 CD 即为所求.
因为大正方形的面积为 9,空白部分的面积为 $4×\dfrac{1}{2}×2×1=4$,故阴影部分的面积为 $9-4=5$,故阴影正方形的边长为 $\sqrt{5}$.

(3)阴影部分的面积为 $2×\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×2=6$,所以这个正方形的边长为 $\sqrt{6}$. 故答案为 $\sqrt{6}$.

7 核心素养运算能力[较难]先观察下列等式,再回答问题:
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$;
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$;
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$.
(1)根据上面三个等式提供的信息,请你猜想
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=$;
(2)对任何实数$a$,用$[a]$表示不超过$a$的最大整数,如$[4]=4,[\sqrt{3}]=1$,计算: $[\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} + [\mathrm{图1}]}]$的值.

7.【解】(1) $\sqrt{1+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}} = 1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5} = 1\dfrac{1}{20}$,故答案为 $1\dfrac{1}{20}$.
(2) $[\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{1}{49^2}+\dfrac{1}{50^2}}] = [1\dfrac{1}{2}+1\dfrac{1}{6}+1\dfrac{1}{12}+\dots+1\dfrac{1}{49×50}] = [1×49+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{50}] = [49\dfrac{49}{50}] = 49.$