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知识点三 切线长定理
1. 切线长：过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.
我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
1. 切线长：过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.
我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和
切点
之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
答案
1. 切点
解析
【分析】
本题考查切线长的基本定义，解题时只需回忆教材中切线长的定义内容即可。首先明确切线长的相关要素：过圆外一点作圆的切线，切线上圆外的这个点到切线与圆的交点（也就是切点）之间的线段长度，就是切线长，据此就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。因此空缺处应填入切点。
【答案】
切点
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对教材基础定义的掌握情况，熟练记忆相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长的基本定义，解题时只需回忆教材中切线长的定义内容即可。首先明确切线长的相关要素：过圆外一点作圆的切线，切线上圆外的这个点到切线与圆的交点（也就是切点）之间的线段长度，就是切线长，据此就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。因此空缺处应填入切点。
【答案】
切点
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对教材基础定义的掌握情况，熟练记忆相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例3 如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB的长为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，PA=3，所以PB=PA=3.
答案 B
解题要点
证明一条直线是否为切线的方法有两种题型：
（1）若已知圆上的点，则连半径证垂直；
（2）若不知圆上的点，则作垂直证明其等于半径.
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，PA=3，所以PB=PA=3.
答案 B
解题要点
证明一条直线是否为切线的方法有两种题型：
（1）若已知圆上的点，则连半径证垂直；
（2）若不知圆上的点，则作垂直证明其等于半径.
答案
解：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，所得的切线长相等。
∵ P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴ PB = PA。
∵ PA=3，
∴ PB=3。
故选：B。
∵ P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴ PB = PA。
∵ PA=3，
∴ PB=3。
故选：B。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：P是圆O外一点，PA、PB是从P点引到圆O的两条切线，已知PA的长度，要求PB的长度。首先回忆圆的切线相关定理，其中切线长定理明确说明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。本题的已知条件完全符合切线长定理的适用条件，因此直接套用定理即可得到PA和PB的长度关系，代入已知数值就能求出PB的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，所得的切线长相等。
∵ P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴ PB = PA。
又
∵ PA=3，
∴ PB=3。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，只要熟练掌握切线长定理的内容，结合题干给出的条件即可直接得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：P是圆O外一点，PA、PB是从P点引到圆O的两条切线，已知PA的长度，要求PB的长度。首先回忆圆的切线相关定理，其中切线长定理明确说明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。本题的已知条件完全符合切线长定理的适用条件，因此直接套用定理即可得到PA和PB的长度关系，代入已知数值就能求出PB的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，所得的切线长相等。
∵ P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴ PB = PA。
又
∵ PA=3，
∴ PB=3。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，只要熟练掌握切线长定理的内容，结合题干给出的条件即可直接得出答案。
【难度系数】
0.9
1. 如图，AB为$\odot O$的直径，圆周角$∠ ABC = 40°$，CD为$\odot O$的切线，则$∠ BCD$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时可按如下思路推导：首先观察图形特征，AB是圆的直径，圆的半径长度相等，可得到等腰△OCB，先求出∠OCB的度数；再结合CD是切线的条件，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得∠OCD为直角，最后用直角减去∠OCB的度数即可求出∠BCD的大小。
【解析】
连接OC，
∵ OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴ OC=OB，△OCB为等腰三角形，
∴ $∠ OCB=∠ ABC=40°$，
∵ CD是$\odot O$的切线，C为切点，
∴ $OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∴ $∠ BCD=∠ OCD-∠ OCB=90°-40°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题型，核心考查切线性质与等腰三角形角度计算的结合，解题的关键是正确连接辅助线OC，熟练掌握圆的基础性质即可快速求解，是圆章节的常考典型题。
【难度系数】
0.7
解题时可按如下思路推导：首先观察图形特征，AB是圆的直径，圆的半径长度相等，可得到等腰△OCB，先求出∠OCB的度数；再结合CD是切线的条件，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得∠OCD为直角，最后用直角减去∠OCB的度数即可求出∠BCD的大小。
【解析】
连接OC，
∵ OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴ OC=OB，△OCB为等腰三角形，
∴ $∠ OCB=∠ ABC=40°$，
∵ CD是$\odot O$的切线，C为切点，
∴ $OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∴ $∠ BCD=∠ OCD-∠ OCB=90°-40°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题型，核心考查切线性质与等腰三角形角度计算的结合，解题的关键是正确连接辅助线OC，熟练掌握圆的基础性质即可快速求解，是圆章节的常考典型题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，$∠ CDB = 25°$，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E，则$∠ E$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
A
）A.$40°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质构造辅助线：连接圆心O和切点C，可得OC⊥CE，得到直角三角形OCE；接下来利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠CDB的度数求出圆心角∠COB的度数；最后在Rt△OCE中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OC，
∵ CE是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∵ ∠COB和∠CDB都是弧BC所对的角，∠COB是圆心角，∠CDB是圆周角，
∴ 根据圆周角定理可得：∠COB=2∠CDB，
已知∠CDB=25°，
∴ ∠COB=2×25°=50°，
在Rt△OCE中，∠E + ∠COB = 90°，
∴ ∠E=90° - 50°=40°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的常见基础题型，解题的关键是掌握切线相关辅助线的构造方法，结合圆周角定理和直角三角形的性质求解，整体思路清晰，难度不大，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质构造辅助线：连接圆心O和切点C，可得OC⊥CE，得到直角三角形OCE；接下来利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠CDB的度数求出圆心角∠COB的度数；最后在Rt△OCE中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OC，
∵ CE是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∵ ∠COB和∠CDB都是弧BC所对的角，∠COB是圆心角，∠CDB是圆周角，
∴ 根据圆周角定理可得：∠COB=2∠CDB，
已知∠CDB=25°，
∴ ∠COB=2×25°=50°，
在Rt△OCE中，∠E + ∠COB = 90°，
∴ ∠E=90° - 50°=40°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的常见基础题型，解题的关键是掌握切线相关辅助线的构造方法，结合圆周角定理和直角三角形的性质求解，整体思路清晰，难度不大，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
